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1. 学校计划修建一个面积为$375\ \mathrm{m}^2$的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m. 设游泳池的长为$x$ m，则可列方程为(
A.$x(x-10)=375$
B.$x(x+10)=375$
C.$2x(2x-10)=375$
D.$2x(2x+10)=375$
A
).A.$x(x-10)=375$
B.$x(x+10)=375$
C.$2x(2x-10)=375$
D.$2x(2x+10)=375$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，首先回忆矩形面积的计算公式为“面积=长×宽”。题目已经设长为x m，我们先根据“宽比长短10 m”的条件，用含x的式子表示出宽，再代入面积公式即可得到对应方程。
【解析】
解：已知设游泳池的长为$ x \, \mathrm{m} $，
因为游泳池的宽比长短10 m，所以宽为$ (x-10) \, \mathrm{m} $，
根据矩形面积公式$ S=长×宽 $，且已知面积为$ 375 \, \mathrm{m}^2 $，代入得：
$ x(x-10)=375 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是基础的实际应用类列方程题目，解题核心是先根据数量关系用含未知数的式子表示出所有相关未知量，再结合对应的公式列出等式，是方程实际应用的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要解决这道列方程的题目，首先回忆矩形面积的计算公式为“面积=长×宽”。题目已经设长为x m，我们先根据“宽比长短10 m”的条件，用含x的式子表示出宽，再代入面积公式即可得到对应方程。
【解析】
解：已知设游泳池的长为$ x \, \mathrm{m} $，
因为游泳池的宽比长短10 m，所以宽为$ (x-10) \, \mathrm{m} $，
根据矩形面积公式$ S=长×宽 $，且已知面积为$ 375 \, \mathrm{m}^2 $，代入得：
$ x(x-10)=375 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是基础的实际应用类列方程题目，解题核心是先根据数量关系用含未知数的式子表示出所有相关未知量，再结合对应的公式列出等式，是方程实际应用的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2. 在一幅长 60 cm，宽 40 cm 的矩形书画作品的四周镶等宽金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示. 如果要使整个作品的面积是 2 816 cm²，设金色纸边的宽为 $ x $ cm，那么 $ x $ 满足的方程是(
A.$(60 + 2x)(40 + 2x) = 2816$
B.$(60 + x)(40 + x) = 2816$
C.$(60 + 2x)(40 + x) = 2816$
D.$(60 + x)(40 + 2x) = 2816$
A
).A.$(60 + 2x)(40 + 2x) = 2816$
B.$(60 + x)(40 + x) = 2816$
C.$(60 + 2x)(40 + x) = 2816$
D.$(60 + x)(40 + 2x) = 2816$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确镶等宽纸边后整个矩形挂图的长和宽的表示方法：金色纸边宽为$x\ \mathrm{cm}$，书画左右两侧都有宽为$x$的纸边，因此挂图的长需要在原书画长60cm的基础上加2个$x$；同理书画上下两侧都有宽为$x$的纸边，挂图的宽需要在原书画宽40cm的基础上加2个$x$。再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知的总面积即可列出对应方程。
【解析】
1. 求镶边后挂图的长：原书画长60cm，左右各加$x\ \mathrm{cm}$的纸边，因此挂图长为$(60+2x)\ \mathrm{cm}$；
2. 求镶边后挂图的宽：原书画宽40cm，上下各加$x\ \mathrm{cm}$的纸边，因此挂图宽为$(40+2x)\ \mathrm{cm}$；
3. 根据矩形面积公式，结合总面积为$2816\ \mathrm{cm}^2$，可列方程：$(60+2x)(40+2x)=2816$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题是几何类实际应用基础题，解题核心是准确表示镶边后矩形的长和宽，注意纸边分布在书画的四周，长和宽都需要加2倍的纸边宽度，避免出现只加1倍$x$的错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确镶等宽纸边后整个矩形挂图的长和宽的表示方法：金色纸边宽为$x\ \mathrm{cm}$，书画左右两侧都有宽为$x$的纸边，因此挂图的长需要在原书画长60cm的基础上加2个$x$；同理书画上下两侧都有宽为$x$的纸边，挂图的宽需要在原书画宽40cm的基础上加2个$x$。再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知的总面积即可列出对应方程。
【解析】
1. 求镶边后挂图的长：原书画长60cm，左右各加$x\ \mathrm{cm}$的纸边，因此挂图长为$(60+2x)\ \mathrm{cm}$；
2. 求镶边后挂图的宽：原书画宽40cm，上下各加$x\ \mathrm{cm}$的纸边，因此挂图宽为$(40+2x)\ \mathrm{cm}$；
3. 根据矩形面积公式，结合总面积为$2816\ \mathrm{cm}^2$，可列方程：$(60+2x)(40+2x)=2816$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积计算
【点评】
本题是几何类实际应用基础题，解题核心是准确表示镶边后矩形的长和宽，注意纸边分布在书画的四周，长和宽都需要加2倍的纸边宽度，避免出现只加1倍$x$的错误。
【难度系数】
0.8
3. 在一块正方形钢板上截去 3 cm 宽的长方形钢条，剩下的面积是 54 cm²，
则原来这块钢板的面积是
则原来这块钢板的面积是
81
cm².答案
3. 81
解析
【分析】
我们可以通过设未知数结合方程求解本题。首先设原来正方形钢板的边长为x cm，截去3cm宽的长方形钢条后，剩余图形为长是x cm、宽是(x-3)cm的长方形，已知剩余面积为54 cm²，根据“长方形面积=长×宽”的等量关系即可列出一元二次方程，求解得到符合实际意义的边长后，即可计算原正方形的面积。
【解析】
解：设原来正方形钢板的边长为$ x $ cm。
截去长方形钢条后，剩余部分是长为$ x $ cm、宽为$ (x-3) $ cm的长方形，根据题意列方程：
$ x(x-3) = 54 $
整理得：$ x^2 - 3x - 54 = 0 $
因式分解得：$ (x-9)(x+6) = 0 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=-6 $
因为钢板边长为正数，故舍去$ x=-6 $。
原正方形钢板的面积为：$ 9 × 9 = 81 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
81
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确找到剩余图形的边长对应关系，建立正确的方程，求解时要注意结合实际场景舍去不符合逻辑的负根。
【难度系数】
0.8
我们可以通过设未知数结合方程求解本题。首先设原来正方形钢板的边长为x cm，截去3cm宽的长方形钢条后，剩余图形为长是x cm、宽是(x-3)cm的长方形，已知剩余面积为54 cm²，根据“长方形面积=长×宽”的等量关系即可列出一元二次方程，求解得到符合实际意义的边长后，即可计算原正方形的面积。
【解析】
解：设原来正方形钢板的边长为$ x $ cm。
截去长方形钢条后，剩余部分是长为$ x $ cm、宽为$ (x-3) $ cm的长方形，根据题意列方程：
$ x(x-3) = 54 $
整理得：$ x^2 - 3x - 54 = 0 $
因式分解得：$ (x-9)(x+6) = 0 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=-6 $
因为钢板边长为正数，故舍去$ x=-6 $。
原正方形钢板的面积为：$ 9 × 9 = 81 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
81
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确找到剩余图形的边长对应关系，建立正确的方程，求解时要注意结合实际场景舍去不符合逻辑的负根。
【难度系数】
0.8
4. 一个正的两位数，其十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，新的两位数与原来的两位数的积为736，求原来的两位数.
答案
4. 设原来的两位数十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$5-x$. 依题意，$(10x+5-x)[10(5-x)+x]=736$，解得$x_1=2$，$x_2=3$，$\therefore$原来的两位数是23或32.
解析
【分析】
这是一道数字类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；②题目已知两个数位的数字之和为5，因此可以设十位数字为x，那么个位数字可直接用5-x表示，注意x的取值范围是1≤x≤4的整数（十位不能为0，个位不能为负数）；③分别写出原两位数和对调后新两位数的表达式，再根据“新两位数与原两位数的积为736”的等量关系列方程；④解方程后验证解是否符合数位的实际意义，最终得到原来的两位数。
【解析】
设原来的两位数十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$5-x$。
原两位数可表示为：$10x + (5-x) = 9x +5$
对调后的新两位数可表示为：$10(5-x) + x = 50 -9x$
根据题意列方程得：
$(9x+5)(50-9x)=736$
整理得：$x^2 -5x +6 =0$
因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$，均符合数位取值要求。
当$x=2$时，个位数字为$5-2=3$，原两位数为23；
当$x=3$时，个位数字为$5-3=2$，原两位数为32。
【答案】
23或32
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 两位数的表示
【点评】
本题属于基础方程应用题，解题核心是正确用含未知数的式子表示两位数，再根据题干给出的等量关系列方程求解，注意解得的结果要符合数位数字的实际取值要求。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；②题目已知两个数位的数字之和为5，因此可以设十位数字为x，那么个位数字可直接用5-x表示，注意x的取值范围是1≤x≤4的整数（十位不能为0，个位不能为负数）；③分别写出原两位数和对调后新两位数的表达式，再根据“新两位数与原两位数的积为736”的等量关系列方程；④解方程后验证解是否符合数位的实际意义，最终得到原来的两位数。
【解析】
设原来的两位数十位上的数字为$x$，则个位上的数字为$5-x$。
原两位数可表示为：$10x + (5-x) = 9x +5$
对调后的新两位数可表示为：$10(5-x) + x = 50 -9x$
根据题意列方程得：
$(9x+5)(50-9x)=736$
整理得：$x^2 -5x +6 =0$
因式分解得：$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$，均符合数位取值要求。
当$x=2$时，个位数字为$5-2=3$，原两位数为23；
当$x=3$时，个位数字为$5-3=2$，原两位数为32。
【答案】
23或32
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 两位数的表示
【点评】
本题属于基础方程应用题，解题核心是正确用含未知数的式子表示两位数，再根据题干给出的等量关系列方程求解，注意解得的结果要符合数位数字的实际取值要求。
【难度系数】
0.7
