5. 有一张长方形的桌子，长2 m，宽1 m. 将一块长方形桌布铺在桌面上，各边垂下的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍. 桌布的长和宽各是多少？

5. 设桌布的长为$x$ m，则宽为$(x-1)$m. 依题意，$x(x-1)=2×2×1$，解得$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$. $\because x＞0$，$\therefore x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$x-1=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$. 所以桌布的长为$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$ m，宽为$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$ m.

【分析】
首先先计算桌面面积为$2×1=2\ \mathrm{m}^2$，因此桌布面积为$2×2=4\ \mathrm{m}^2$。由于桌布各边垂下的长度相同，桌布的长比桌面长多2倍的垂下长度，桌布的宽也比桌面宽多2倍的垂下长度，因此桌布长宽的差和桌面长宽的差相等，即$2-1=1\ \mathrm{m}$。我们可以设桌布的长为$x$ m，则宽为$(x-1)$ m，再根据桌布面积列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到桌布的长宽。
【解析】
解：设桌布的长为$x$ m，由桌布长宽差为1m可知，桌布的宽为$(x-1)$m。
根据桌布面积是桌面面积的2倍，列方程：
$x(x-1)=2×(2×1)$
整理得$x^2-x-4=0$，由一元二次方程求根公式解得：
$x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$
$\because$ 长度为正数，$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜0$不符合实际，故舍去
$\therefore x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$
桌布的宽为：$x-1=\frac{1+\sqrt{17}}{2}-1=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$
【答案】
桌布的长为$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$ m，宽为$\frac{\sqrt{17}-1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程应用，长方形面积计算，根的取舍
【点评】
本题是方程结合几何实际的典型题型，解题关键是通过“各边垂下长度相同”推导出台布长宽的数量关系，再结合面积等量关系列方程求解，解题时要注意结合实际场景对根进行筛选，避免出现不符合常理的解。
【难度系数】
0.7

6. 小阳家有一块长8 m，宽6 m的矩形空地，小阳爸爸准备在该空地上建造一个花园，计划使花园面积为矩形空地总面积的一半，爱思考的小阳设计了如图所示的四种方案供爸爸挑选. 请你选择其中一种方案并帮小阳求出图中的x的值.

6. 以方案一为例：依题意，$(8-x)(6-x)=\frac{1}{2}×8×6$，解得$x_1=12$(舍)，$x_2=2$，$\therefore x=2$.

【分析】
我们选择方案一进行求解：观察方案一的图形，可将分散的空白小矩形通过平移拼接为一个规则的新矩形，新矩形的长为原矩形长减去竖条宽度x，即$(8-x)\mathrm{m}$，宽为原矩形宽减去横条宽度x，即$(6-x)\mathrm{m}$。已知花园面积为空地总面积的一半，因此空白部分面积也等于总面积的一半，据此列一元二次方程求解，最后结合x的实际意义（宽度大于0且小于矩形的宽6）舍去不符合题意的根即可。
【解析】
解：选择方案一解答：
矩形空地的总面积为：$8×6=48(\mathrm{m}^2)$
根据题意空白部分面积为总面积的一半，列方程得：
$\begin{aligned}(8-x)(6-x)&=\frac{1}{2}×48\\x^2-14x+48&=24\\x^2-14x+24&=0\\(x-2)(x-12)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=2$，$x_2=12$
$\because x$为道路宽度，需满足$0＜x＜6$，$\therefore x=12$不符合实际，舍去
$\therefore x=2$
【答案】
$x=2$（以方案一为例）
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题验根
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，解题关键是通过平移法将不规则的空白区域转化为规则图形，快速找到面积等量关系，求解后要结合实际场景对根进行取舍，是一元二次方程实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7