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6.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目:“今有立木,系索其末,委地三尺。引索却行,去本八尺而索尽。问索长几何?”大意是:如图,木柱AB⊥BC,绳索AC比木柱AB长3尺,BC的长为8尺,则绳索AC的长为多少?设绳索AC的长为x尺,根据题意可列方程
$(x-3)^2+8^2=x^2$
。答案
6.$(x-3)^2+8^2=x^2$
解析
【分析】
本题是直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先根据题意用含未知数x的式子表示出直角三角形各边的长度，已知AC=x尺，绳索AC比AB长3尺，因此AB=(x-3)尺，BC的长度已知为8尺；第二步，因为△ABC是直角三角形，∠B=90°，符合勾股定理的应用条件，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，将各边长度代入勾股定理公式即可列出方程。
【解析】
设绳索AC的长为x尺，由题意可知AB的长度为(x-3)尺。
∵ AB⊥BC，即∠B=90°，△ABC是直角三角形
∴ 根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AB=x-3$，$BC=8$，$AC=x$代入上式，得：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$
【答案】
$(x-3)^2+8^2=x^2$
【知识点】
勾股定理；根据实际问题列方程
【点评】
本题结合古代数学名著的经典问题，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是准确梳理各边的数量关系，用未知数正确表示出直角三角形的边长，再结合勾股定理列式，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：第一步，先根据题意用含未知数x的式子表示出直角三角形各边的长度，已知AC=x尺，绳索AC比AB长3尺，因此AB=(x-3)尺，BC的长度已知为8尺；第二步，因为△ABC是直角三角形，∠B=90°，符合勾股定理的应用条件，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，将各边长度代入勾股定理公式即可列出方程。
【解析】
设绳索AC的长为x尺，由题意可知AB的长度为(x-3)尺。
∵ AB⊥BC，即∠B=90°，△ABC是直角三角形
∴ 根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AB=x-3$，$BC=8$，$AC=x$代入上式，得：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$
【答案】
$(x-3)^2+8^2=x^2$
【知识点】
勾股定理；根据实际问题列方程
【点评】
本题结合古代数学名著的经典问题，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是准确梳理各边的数量关系，用未知数正确表示出直角三角形的边长，再结合勾股定理列式，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
7.如图,某小区有一块三角形空地ABC,为响应创建全国文明城市的号召,该小区计划将这块空地种上三种不同的花卉,中间用小路AD,DE隔开,且$DE⊥AB$。经测量,$AB=15$ m,$AC=13$ m,$AD=12$ m,$CD=5$ m。
(1)求BD的长;
(2)求小路DE的长。
(1)求BD的长;
(2)求小路DE的长。
答案
7. 解:(1)因为 $AC=13\ \mathrm{m},AD=12\ \mathrm{m},CD=5\ \mathrm{m}$,
所以 $AC^2=169,AD^2+CD^2=144+25=169$,
所以 $AC^2=AD^2+CD^2$,
所以 $∠ ADC=90°$,
所以 $∠ ADB=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,由勾股定理得
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=9^2$,
所以 $BD=9\ \mathrm{m}$。
(2)$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}AB· DE$,
即 $AD· BD=AB· DE$,
所以 $12× 9=15DE$,
所以 $DE=\frac{36}{5}\ \mathrm{m}$。
所以 $AC^2=169,AD^2+CD^2=144+25=169$,
所以 $AC^2=AD^2+CD^2$,
所以 $∠ ADC=90°$,
所以 $∠ ADB=90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,由勾股定理得
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=9^2$,
所以 $BD=9\ \mathrm{m}$。
(2)$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}AB· DE$,
即 $AD· BD=AB· DE$,
所以 $12× 9=15DE$,
所以 $DE=\frac{36}{5}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 要求BD的长，先观察已知的AC、AD、CD的长度，先验证三边是否满足勾股定理的逆定理，若满足即可得出∠ADC=90°，也就是AD⊥BC，此时△ADB为直角三角形，再利用勾股定理，结合已知的AB、AD长度就能求出BD的长。
(2) 要求DE的长，已知DE⊥AB，DE是△ABD中AB边上的高，△ABD的面积既可以用BD为底、AD为高计算，也可以用AB为底、DE为高计算，利用两种计算方式面积相等的等面积法，代入已知数值即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 已知$AC=13\ \mathrm{m},AD=12\ \mathrm{m},CD=5\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2=13^2=169$，$AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，
因此$AC^2=AD^2+CD^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ADC=90°$，
所以$∠ ADB=180°-∠ ADC=90°$，即$△ ADB$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81=9^2$，
所以$BD=9\ \mathrm{m}$。
(2) 因为$DE⊥ AB$，所以$△ ABD$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}AB· DE$，
两边同时乘2得：$AD· BD=AB· DE$，
将$AD=12\ \mathrm{m},BD=9\ \mathrm{m},AB=15\ \mathrm{m}$代入得：
$12× 9=15DE$，
解得$DE=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $BD$的长为$9\ \mathrm{m}$；
(2) 小路$DE$的长为$\frac{36}{5}\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，等面积法
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题关键是先通过勾股定理的逆定理证明AD垂直BC，再结合勾股定理和等面积法求解对应线段长度，侧重对基础定理的理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要求BD的长，先观察已知的AC、AD、CD的长度，先验证三边是否满足勾股定理的逆定理，若满足即可得出∠ADC=90°，也就是AD⊥BC，此时△ADB为直角三角形，再利用勾股定理，结合已知的AB、AD长度就能求出BD的长。
(2) 要求DE的长，已知DE⊥AB，DE是△ABD中AB边上的高，△ABD的面积既可以用BD为底、AD为高计算，也可以用AB为底、DE为高计算，利用两种计算方式面积相等的等面积法，代入已知数值即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 已知$AC=13\ \mathrm{m},AD=12\ \mathrm{m},CD=5\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2=13^2=169$，$AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，
因此$AC^2=AD^2+CD^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ADC=90°$，
所以$∠ ADB=180°-∠ ADC=90°$，即$△ ADB$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=225-144=81=9^2$，
所以$BD=9\ \mathrm{m}$。
(2) 因为$DE⊥ AB$，所以$△ ABD$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}AB· DE$，
两边同时乘2得：$AD· BD=AB· DE$，
将$AD=12\ \mathrm{m},BD=9\ \mathrm{m},AB=15\ \mathrm{m}$代入得：
$12× 9=15DE$，
解得$DE=\frac{108}{15}=\frac{36}{5}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $BD$的长为$9\ \mathrm{m}$；
(2) 小路$DE$的长为$\frac{36}{5}\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，等面积法
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题关键是先通过勾股定理的逆定理证明AD垂直BC，再结合勾股定理和等面积法求解对应线段长度，侧重对基础定理的理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
8. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造。已知∠A=90°, AB=12 m, AD=9 m, BC=17 m, CD=8 m。
(1)要在B,D两点间铺一条鹅卵石路,若铺设成本为120元/米,则最低花费为多少元?
(2)如果种植草皮的费用是200元/米²,那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元?
(1)要在B,D两点间铺一条鹅卵石路,若铺设成本为120元/米,则最低花费为多少元?
(2)如果种植草皮的费用是200元/米²,那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元?
答案
8. 解:(1)如图,连接 BD。
因为$∠ A=90°,AB=12\ \mathrm{m},AD=9\ \mathrm{m}$,
所以 $BD^2=AB^2+AD^2=12^2+9^2=15^2$,
所以 $BD=15\ \mathrm{m}$。
因为铺设成本为 120 元/m,
所以铺设这条鹅卵石路的最低花费为
$120× 15=1\ 800$(元)。
(2)因为 $CD=8\ \mathrm{m},BC=17\ \mathrm{m},BD=15\ \mathrm{m}$,
所以 $CD^2+BD^2=8^2+15^2=289=17^2=BC^2$,
所以 $∠ BDC=90°$,
所以整块空地的面积为 $S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× 9× 12+\frac{1}{2}× 15× 8=114(\mathrm{m}^2)$。
因为种植草皮的费用是 200 元/m²,
所以在整块空地上种植草皮共需投入 $114× 200=22\ 800$(元)。
解析
【分析】
(1) 求B、D间铺路的最低花费，依据两点之间线段最短，最短路径为线段BD，因此先连接BD。已知△ABD中∠A=90°，且给出AB、AD的长度，可通过勾股定理计算BD的长度，再用BD长度乘每米铺设成本即可得到最低花费。
(2) 求种植草皮的总投入，需先计算四边形ABCD的面积。该四边形为不规则图形，连接BD后可拆分为△ABD和△BCD两个三角形：△ABD是直角三角形，面积可直接计算；再结合△BCD的三边长，用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形，若为直角三角形即可计算其面积，两个三角形面积相加得到四边形总面积，再乘每平方米草皮费用即可得到总投入。
【解析】
(1) 如图，连接BD。
已知$∠ A=90°$，$AB=12\ \mathrm{m}$，$AD=9\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2+AD^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2$，
解得$BD=15\ \mathrm{m}$。
已知铺设成本为120元/米，因此最低花费为：
$120×15=1800$（元）。
(2) 在$△ BCD$中，已知$CD=8\ \mathrm{m}$，$BC=17\ \mathrm{m}$，$BD=15\ \mathrm{m}$，计算得：
$CD^2+BD^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$∠ BDC=90°$，即$△ BCD$为直角三角形。
四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× AB× AD+\frac{1}{2}× BD× CD=\frac{1}{2}×12×9+\frac{1}{2}×15×8=54+60=114(\mathrm{m}^2)$。
已知种植草皮费用为200元/$\mathrm{m}^2$，因此总投入为：
$114×200=22800$（元）。
【答案】
(1)，铺设鹅卵石路的最低花费为1800元；
(2) 整块空地种植草皮共需投入22800元。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查了勾股定理及其逆定理的综合应用，解题的关键是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，分别计算边长和面积，能够有效锻炼学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求B、D间铺路的最低花费，依据两点之间线段最短，最短路径为线段BD，因此先连接BD。已知△ABD中∠A=90°，且给出AB、AD的长度，可通过勾股定理计算BD的长度，再用BD长度乘每米铺设成本即可得到最低花费。
(2) 求种植草皮的总投入，需先计算四边形ABCD的面积。该四边形为不规则图形，连接BD后可拆分为△ABD和△BCD两个三角形：△ABD是直角三角形，面积可直接计算；再结合△BCD的三边长，用勾股定理的逆定理判断其是否为直角三角形，若为直角三角形即可计算其面积，两个三角形面积相加得到四边形总面积，再乘每平方米草皮费用即可得到总投入。
【解析】
(1) 如图，连接BD。
已知$∠ A=90°$，$AB=12\ \mathrm{m}$，$AD=9\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2+AD^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2$，
解得$BD=15\ \mathrm{m}$。
已知铺设成本为120元/米，因此最低花费为：
$120×15=1800$（元）。
(2) 在$△ BCD$中，已知$CD=8\ \mathrm{m}$，$BC=17\ \mathrm{m}$，$BD=15\ \mathrm{m}$，计算得：
$CD^2+BD^2=8^2+15^2=64+225=289=17^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$∠ BDC=90°$，即$△ BCD$为直角三角形。
四边形ABCD的面积为两个直角三角形的面积和：
$S_{ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× AB× AD+\frac{1}{2}× BD× CD=\frac{1}{2}×12×9+\frac{1}{2}×15×8=54+60=114(\mathrm{m}^2)$。
已知种植草皮费用为200元/$\mathrm{m}^2$，因此总投入为：
$114×200=22800$（元）。
【答案】
(1)
，铺设鹅卵石路的最低花费为1800元；(2) 整块空地种植草皮共需投入22800元。
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，不规则图形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查了勾股定理及其逆定理的综合应用，解题的关键是通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形，分别计算边长和面积，能够有效锻炼学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
