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1.如图，有一个圆柱形水杯，盖子圆心处插有吸管。已知水杯底面直径为10 cm，高度为12 cm，吸管长25 cm（底端在杯底）。设露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a的最小值为(
A.11
B.12
C.13
D.14
B
)A.11
B.12
C.13
D.14
答案
1.B
解析
【分析】
要求露在水杯外吸管的最小值a，首先明确核心逻辑：吸管总长度固定，当杯内吸管长度最大时，露在外面的长度a最小。杯内吸管最长的情况为：吸管底端在杯底边缘、上端在盖子圆心处，此时杯内吸管可看作直角三角形的斜边，两条直角边分别对应圆柱的高度、底面圆的半径，用勾股定理算出杯内吸管的最大长度后，用总长度减去该值即可得到a的最小值。
【解析】
解：要使露在水杯外的吸管长度a最小，需保证水杯内的吸管长度最大。
已知水杯底面直径为10cm，因此底面半径为$10÷2=5\mathrm{cm}$，水杯高度为$12\mathrm{cm}$。
此时杯内最长吸管长度为以底面半径、水杯高为直角边的直角三角形的斜边长，根据勾股定理：
杯内最大长度$=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
吸管总长度为$25\mathrm{cm}$，因此a的最小值为$25-13=12\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，圆柱特征，最值分析
【点评】
本题结合生活实际场景出题，解题关键是将立体几何的长度问题转化为平面直角三角形的计算问题，需要学生先判断出杯内吸管最长的摆放状态，再用勾股定理求解，能有效考查学生的空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要求露在水杯外吸管的最小值a，首先明确核心逻辑：吸管总长度固定，当杯内吸管长度最大时，露在外面的长度a最小。杯内吸管最长的情况为：吸管底端在杯底边缘、上端在盖子圆心处，此时杯内吸管可看作直角三角形的斜边，两条直角边分别对应圆柱的高度、底面圆的半径，用勾股定理算出杯内吸管的最大长度后，用总长度减去该值即可得到a的最小值。
【解析】
解：要使露在水杯外的吸管长度a最小，需保证水杯内的吸管长度最大。
已知水杯底面直径为10cm，因此底面半径为$10÷2=5\mathrm{cm}$，水杯高度为$12\mathrm{cm}$。
此时杯内最长吸管长度为以底面半径、水杯高为直角边的直角三角形的斜边长，根据勾股定理：
杯内最大长度$=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$
吸管总长度为$25\mathrm{cm}$，因此a的最小值为$25-13=12\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，圆柱特征，最值分析
【点评】
本题结合生活实际场景出题，解题关键是将立体几何的长度问题转化为平面直角三角形的计算问题，需要学生先判断出杯内吸管最长的摆放状态，再用勾股定理求解，能有效考查学生的空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
2.如图，一棵直立的大树在一次强台风中被吹断，折断处离地面2 m，倒下部分与地面成$30°$角，则这棵树折断前的高度为( 
)
A.$(2+2\sqrt{2})\mathrm{m}$
B.$(2+2\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.$4\mathrm{m}$
D.$6\mathrm{m}$
)A.$(2+2\sqrt{2})\mathrm{m}$
B.$(2+2\sqrt{3})\mathrm{m}$
C.$4\mathrm{m}$
D.$6\mathrm{m}$
答案
2.D
解析
【分析】
首先将实际场景转化为直角三角形模型：未折断的树与地面垂直，和折断部分、地面共同构成直角三角形。已知折断处离地面高度2m是该直角三角形中30°角所对的直角边，折断部分是直角三角形的斜边。我们可以先利用含30°角的直角三角形的性质求出折断部分的长度，再加上未折断的2m即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得，树未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形，其中30°角所对的直角边长度为2m（即折断处离地面的高度）。
根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度（斜边长度）为 $ 2 × 2 = 4\ \mathrm{m} $。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$ 2 + 4 = 6\ \mathrm{m} $。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，解直角三角形实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是把实际问题转化为直角三角形问题，准确找到30°角对应的对边，属于基础题，掌握特殊直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先将实际场景转化为直角三角形模型：未折断的树与地面垂直，和折断部分、地面共同构成直角三角形。已知折断处离地面高度2m是该直角三角形中30°角所对的直角边，折断部分是直角三角形的斜边。我们可以先利用含30°角的直角三角形的性质求出折断部分的长度，再加上未折断的2m即可得到树折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得，树未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形，其中30°角所对的直角边长度为2m（即折断处离地面的高度）。
根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得折断部分的长度（斜边长度）为 $ 2 × 2 = 4\ \mathrm{m} $。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分：$ 2 + 4 = 6\ \mathrm{m} $。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，解直角三角形实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是把实际问题转化为直角三角形问题，准确找到30°角对应的对边，属于基础题，掌握特殊直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图，某自动感应门的正上方A处有一个感应器，离地高度$AB=2.1\ \mathrm{m}$。当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一个身高$1.6\ \mathrm{m}$的学生$CD$正对门，缓慢走到离门$1.2\ \mathrm{m}$的地方时($BC=1.2\ \mathrm{m}$)，感应门自动打开，则此学生头顶离感应器的距离$AD$等于(
A.$1.2\ \mathrm{m}$
B.$1.3\ \mathrm{m}$
C.$1.5\ \mathrm{m}$
D.$2\ \mathrm{m}$
B
)A.$1.2\ \mathrm{m}$
B.$1.3\ \mathrm{m}$
C.$1.5\ \mathrm{m}$
D.$2\ \mathrm{m}$
答案
3.B
解析
【分析】
要计算学生头顶离感应器的距离AD，需先将实际问题转化为几何问题，通过构造直角三角形求解。我们可以过D向AB作垂线得到直角三角形，水平直角边长度等于学生离门的距离BC，竖直直角边长度等于感应器离地高度减去学生身高，最后利用勾股定理计算斜边AD的长度即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E：
由题意可得，DE=BC=1.2 m，
AE=AB - CD=2.1 m - 1.6 m=0.5 m，
在Rt△ADE中，根据勾股定理：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.5^2+1.2^2=0.25+1.44=1.69$，
因此$AD=\sqrt{1.69}=1.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，准确找准两条直角边的长度后代入公式计算即可，注意计算过程中不要出错。
【难度系数】
0.8
要计算学生头顶离感应器的距离AD，需先将实际问题转化为几何问题，通过构造直角三角形求解。我们可以过D向AB作垂线得到直角三角形，水平直角边长度等于学生离门的距离BC，竖直直角边长度等于感应器离地高度减去学生身高，最后利用勾股定理计算斜边AD的长度即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E：
由题意可得，DE=BC=1.2 m，
AE=AB - CD=2.1 m - 1.6 m=0.5 m，
在Rt△ADE中，根据勾股定理：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.5^2+1.2^2=0.25+1.44=1.69$，
因此$AD=\sqrt{1.69}=1.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的典型应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，准确找准两条直角边的长度后代入公式计算即可，注意计算过程中不要出错。
【难度系数】
0.8
4.如图，湖的两岸有A，C两点，在与AC成直角的BC方向上的点C处测得AB＝15 m，BC＝12 m，则A，C两点间的距离为
9
m。答案
4.9
解析
【分析】
首先由题意可知AC与BC垂直，因此△ABC是直角三角形，且∠C为直角。已知直角三角形的斜边AB和其中一条直角边BC的长度，要求另一条直角边AC的长度，可直接运用勾股定理进行求解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，将已知数值代入公式变形即可求出AC的长度。
【解析】
解：由题意得∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
变形得：$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$
代入AB=15m，BC=12m，得：
$AC = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9(m)$
【答案】
9
【知识点】
勾股定理、直角三角形边长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是先根据题意确定三角形为直角三角形，再对应勾股定理的公式代入数值计算即可，主要考查学生对勾股定理的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.9
首先由题意可知AC与BC垂直，因此△ABC是直角三角形，且∠C为直角。已知直角三角形的斜边AB和其中一条直角边BC的长度，要求另一条直角边AC的长度，可直接运用勾股定理进行求解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，将已知数值代入公式变形即可求出AC的长度。
【解析】
解：由题意得∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形。
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
变形得：$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$
代入AB=15m，BC=12m，得：
$AC = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9(m)$
【答案】
9
【知识点】
勾股定理、直角三角形边长计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是先根据题意确定三角形为直角三角形，再对应勾股定理的公式代入数值计算即可，主要考查学生对勾股定理的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.9
5.如图,一架 10 m 长的梯子斜靠在路灯杆上,梯子顶端刚好抵达 8 m 高的路灯。当电工师傅沿梯子上去修路灯时,把梯子顶端向下滑动 2 m 至$A'$处,则下滑前后梯脚间的距离是
2
m。答案
5.2
解析
【分析】
本题考查勾股定理的实际应用，解题思路如下：首先明确梯子滑动前后长度始终为10m，且路灯杆与地面垂直，滑动前后均构成直角三角形；其次先利用勾股定理计算下滑前梯脚到路灯杆底部O的距离；再计算下滑后顶端的高度，再次用勾股定理算出下滑后梯脚到O的距离；最后将两个距离作差即可得到梯脚滑动的距离，也就是所求的下滑前后梯脚间的距离。
【解析】
由题意得：$∠ O=90°$，梯子长度$AB=A'B'=10\mathrm{m}$，$OA=8\mathrm{m}$，$AA'=2\mathrm{m}$，
∴ 下滑后顶端高度$OA' = OA - AA' = 8 - 2 = 6(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据勾股定理：$OB^2 + OA^2 = AB^2$，
代入数据得：$OB^2 + 8^2 = 10^2$，
解得$OB^2 = 100 - 64 = 36$，
∵ 长度为正数，
∴ $OB = \sqrt{36} = 6(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ A'OB'$中，根据勾股定理：$OB'^2 + OA'^2 = A'B'^2$，
代入数据得：$OB'^2 + 6^2 = 10^2$，
解得$OB'^2 = 100 - 36 = 64$，
∵ 长度为正数，
∴ $OB' = \sqrt{64} = 8(\mathrm{m})$。
∴ 下滑前后梯脚间的距离$BB' = OB' - OB = 8 - 6 = 2(\mathrm{m})$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，实际问题应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的关键是抓住梯子长度不变这一隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理的实际应用，解题思路如下：首先明确梯子滑动前后长度始终为10m，且路灯杆与地面垂直，滑动前后均构成直角三角形；其次先利用勾股定理计算下滑前梯脚到路灯杆底部O的距离；再计算下滑后顶端的高度，再次用勾股定理算出下滑后梯脚到O的距离；最后将两个距离作差即可得到梯脚滑动的距离，也就是所求的下滑前后梯脚间的距离。
【解析】
由题意得：$∠ O=90°$，梯子长度$AB=A'B'=10\mathrm{m}$，$OA=8\mathrm{m}$，$AA'=2\mathrm{m}$，
∴ 下滑后顶端高度$OA' = OA - AA' = 8 - 2 = 6(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据勾股定理：$OB^2 + OA^2 = AB^2$，
代入数据得：$OB^2 + 8^2 = 10^2$，
解得$OB^2 = 100 - 64 = 36$，
∵ 长度为正数，
∴ $OB = \sqrt{36} = 6(\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ A'OB'$中，根据勾股定理：$OB'^2 + OA'^2 = A'B'^2$，
代入数据得：$OB'^2 + 6^2 = 10^2$，
解得$OB'^2 = 100 - 36 = 64$，
∵ 长度为正数，
∴ $OB' = \sqrt{64} = 8(\mathrm{m})$。
∴ 下滑前后梯脚间的距离$BB' = OB' - OB = 8 - 6 = 2(\mathrm{m})$。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，实际问题应用
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的应用，解题的关键是抓住梯子长度不变这一隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
