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例1 如图，小明和小亮学习了“勾股定理”后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15 m；
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线BC的长为25 m；
③牵线放风筝的小明的身高AB为1.6 m。
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12 m，那么他应该往回收多少米线？
[点拨] (1)根据勾股定理求出CD的长即可得出结果；
(2)根据勾股定理计算即可得出结果。
[解] (1)在 $Rt△ BDC$ 中，由勾股定理得
$CD^2 = BC^2 - BD^2 = 25^2 - 15^2 = 20^2$，
所以 $CD = 20\ \mathrm{m}$。
所以 $CE = CD + DE = 20 + 1.6 = 21.6(\mathrm{m})$。
(2)如图，在 $Rt△ BDF$ 中，由勾股定理得
$BF^2 = DF^2 + BD^2 = (20 - 12)^2 + 15^2 = 17^2$，
所以 $BF = 17\ \mathrm{m}$。
$25\ \mathrm{m} - 17\ \mathrm{m} = 8\ \mathrm{m}$，
所以他应该往回收 $8\ \mathrm{m}$ 线。
变式训练 庆庆家附近有一条东西走向的公路(AB)，一天一辆宣传车从这条路上经过。如图，在监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿AB所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离(AC)为400 m，与这辆宣传车的起始位置B的距离(BC)为300 m，且 $∠ ACB = 90°$。过点C作 $CD ⊥ AB$ 于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为260 m的圆形区域内都能听到宣传车的声音。
域内都能听到宣传车的声音。
(1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离；
(2)若这辆宣传车的行驶速度为25 m/min，则在庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？
①测得水平距离BD的长为15 m；
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线BC的长为25 m；
③牵线放风筝的小明的身高AB为1.6 m。
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12 m，那么他应该往回收多少米线？
[点拨] (1)根据勾股定理求出CD的长即可得出结果；
(2)根据勾股定理计算即可得出结果。
[解] (1)在 $Rt△ BDC$ 中，由勾股定理得
$CD^2 = BC^2 - BD^2 = 25^2 - 15^2 = 20^2$，
所以 $CD = 20\ \mathrm{m}$。
所以 $CE = CD + DE = 20 + 1.6 = 21.6(\mathrm{m})$。
(2)如图，在 $Rt△ BDF$ 中，由勾股定理得
$BF^2 = DF^2 + BD^2 = (20 - 12)^2 + 15^2 = 17^2$，
所以 $BF = 17\ \mathrm{m}$。
$25\ \mathrm{m} - 17\ \mathrm{m} = 8\ \mathrm{m}$，
所以他应该往回收 $8\ \mathrm{m}$ 线。
变式训练 庆庆家附近有一条东西走向的公路(AB)，一天一辆宣传车从这条路上经过。如图，在监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿AB所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离(AC)为400 m，与这辆宣传车的起始位置B的距离(BC)为300 m，且 $∠ ACB = 90°$。过点C作 $CD ⊥ AB$ 于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为260 m的圆形区域内都能听到宣传车的声音。
域内都能听到宣传车的声音。
(1)求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离；
(2)若这辆宣传车的行驶速度为25 m/min，则在庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？
答案
解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC=300\ \mathrm{m}$,
$AC=400\ \mathrm{m},∠ ACB=90°$,
所以 $AB^2=AC^2+BC^2=400^2+300^2=500^2$,
所以 $AB=500\ \mathrm{m}$。
(2)因为$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$,
所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
所以 $400× 300=500CD$,
所以 $CD=240\ \mathrm{m}$。
因为以宣传车为圆心,半径为 260 m 的圆形区域内都能听到宣传车的声音,
所以在庆庆家 C 会听到宣传车的声音。
如图,以点 C 为圆心,以 260 m 长为半径作弧,交AB 于点 E,F,
则 $CE=CF=260\ \mathrm{m}$,此时正好影响 C。
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,由勾股定理得
$ED^2=CE^2-CD^2=260^2-240^2=100^2$,
所以 $ED=100\ \mathrm{m}$,
所以 $EF=200\ \mathrm{m}$。
因为宣传车的速度为 25 m/min,
所以 $t=200÷ 25=8(\mathrm{min})$,
所以在庆庆家能听到宣传车声音的时间为 8 min。
解析
【分析】
第(1)问：已知△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，给出了两条直角边AC、BC的长度，求斜边AB，直接运用勾股定理即可求解。
第(2)问：要计算能听到声音的时长，首先需明确当宣传车到C的距离≤260m时可被听到：第一步先求点C到AB的最短距离CD，判断CD与260m的大小关系，确定存在可听到声音的路段；第二步以C为圆心、260m为半径作弧交AB于E、F，EF就是宣传车行驶时能被听到的路段，用勾股定理求出ED长度，进而得到EF总长度；最后根据“时间=路程÷速度”计算时长即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=300\ \mathrm{m}$，$AC=400\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=400^2+300^2=250000=500^2$，
解得$AB=500\ \mathrm{m}$。
(2) 因为$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，利用直角三角形面积的两种计算方法可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值：$400× 300=500CD$，解得$CD=240\ \mathrm{m}$。
由于宣传车影响半径为260m，$240\mathrm{m}＜260\mathrm{m}$，因此庆庆家能听到宣传车声音。
以点C为圆心、260m为半径作弧，交AB于点E、F，则$CE=CF=260\ \mathrm{m}$，即EF为可听到声音的行驶路段。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$ED^2=CE^2-CD^2=260^2-240^2=10000=100^2$，
解得$ED=100\ \mathrm{m}$，因此$EF=2ED=200\ \mathrm{m}$。
已知宣传车速度为25m/min，可得听到声音的时长：
$t=200÷ 25=8(\mathrm{min})$。
【答案】
解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC=300\ \mathrm{m}$,
$AC=400\ \mathrm{m},∠ ACB=90°$,
所以 $AB^2=AC^2+BC^2=400^2+300^2=500^2$,
所以 $AB=500\ \mathrm{m}$。
(2)因为$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$,
所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
所以 $400× 300=500CD$,
所以 $CD=240\ \mathrm{m}$。
因为以宣传车为圆心,半径为 260 m 的圆形区域内都能听到宣传车的声音,
所以在庆庆家 C 会听到宣传车的声音。
如图,以点 C 为圆心,以 260 m 长为半径作弧,交AB 于点 E,F,
则 $CE=CF=260\ \mathrm{m}$,此时正好影响 C。
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,由勾股定理得
$ED^2=CE^2-CD^2=260^2-240^2=100^2$,
所以 $ED=100\ \mathrm{m}$,
所以 $EF=200\ \mathrm{m}$。
因为宣传车的速度为 25 m/min,
所以 $t=200÷ 25=8(\mathrm{min})$,
所以在庆庆家能听到宣传车声音的时间为 8 min。
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；行程问题公式
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，既考查了勾股定理的基础运用，也考查了等积法求高的方法，突出了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
第(1)问：已知△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，给出了两条直角边AC、BC的长度，求斜边AB，直接运用勾股定理即可求解。
第(2)问：要计算能听到声音的时长，首先需明确当宣传车到C的距离≤260m时可被听到：第一步先求点C到AB的最短距离CD，判断CD与260m的大小关系，确定存在可听到声音的路段；第二步以C为圆心、260m为半径作弧交AB于E、F，EF就是宣传车行驶时能被听到的路段，用勾股定理求出ED长度，进而得到EF总长度；最后根据“时间=路程÷速度”计算时长即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=300\ \mathrm{m}$，$AC=400\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=400^2+300^2=250000=500^2$，
解得$AB=500\ \mathrm{m}$。
(2) 因为$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，利用直角三角形面积的两种计算方法可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值：$400× 300=500CD$，解得$CD=240\ \mathrm{m}$。
由于宣传车影响半径为260m，$240\mathrm{m}＜260\mathrm{m}$，因此庆庆家能听到宣传车声音。
以点C为圆心、260m为半径作弧，交AB于点E、F，则$CE=CF=260\ \mathrm{m}$，即EF为可听到声音的行驶路段。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得：
$ED^2=CE^2-CD^2=260^2-240^2=10000=100^2$，
解得$ED=100\ \mathrm{m}$，因此$EF=2ED=200\ \mathrm{m}$。
已知宣传车速度为25m/min，可得听到声音的时长：
$t=200÷ 25=8(\mathrm{min})$。
【答案】
解:(1)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC=300\ \mathrm{m}$,
$AC=400\ \mathrm{m},∠ ACB=90°$,
所以 $AB^2=AC^2+BC^2=400^2+300^2=500^2$,
所以 $AB=500\ \mathrm{m}$。
(2)因为$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$,
所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
所以 $400× 300=500CD$,
所以 $CD=240\ \mathrm{m}$。
因为以宣传车为圆心,半径为 260 m 的圆形区域内都能听到宣传车的声音,
所以在庆庆家 C 会听到宣传车的声音。
如图,以点 C 为圆心,以 260 m 长为半径作弧,交AB 于点 E,F,
则 $CE=CF=260\ \mathrm{m}$,此时正好影响 C。
在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,由勾股定理得
$ED^2=CE^2-CD^2=260^2-240^2=100^2$,
所以 $ED=100\ \mathrm{m}$,
所以 $EF=200\ \mathrm{m}$。
因为宣传车的速度为 25 m/min,
所以 $t=200÷ 25=8(\mathrm{min})$,
所以在庆庆家能听到宣传车声音的时间为 8 min。
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；行程问题公式
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的数学模型，既考查了勾股定理的基础运用，也考查了等积法求高的方法，突出了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
