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9.某地一个窑洞的洞门示意图如图所示，其上方为半圆形。已知长方形ABCD的对角线AC=2.5 m，AD=1.5 m，求这个洞门的面积(π取3)。
答案
9. 解:因为$∠ ADC=90°,AC=2.5\ \mathrm{m},AD=1.5\ \mathrm{m}$,
所以 $CD^2=AC^2-AD^2=2.5^2-1.5^2=2^2$,
所以 $CD=2\ \mathrm{m}$。
所以 $S=\frac{1}{2}× π× (\frac{CD}{2})^2+AD· CD$
$=\frac{1}{2}× 3× 1^2+1.5× 2=4.5(\mathrm{m}^2)$。
所以 $CD^2=AC^2-AD^2=2.5^2-1.5^2=2^2$,
所以 $CD=2\ \mathrm{m}$。
所以 $S=\frac{1}{2}× π× (\frac{CD}{2})^2+AD· CD$
$=\frac{1}{2}× 3× 1^2+1.5× 2=4.5(\mathrm{m}^2)$。
解析
【分析】
要计算洞门的面积，首先观察洞门的组成：下方是长方形ABCD，上方是以CD为直径的半圆，因此总面积为长方形面积与半圆面积之和。首先需要求出CD的长度：长方形内角为直角，因此△ADC是直角三角形，已知斜边AC和直角边AD，可通过勾股定理求出CD，CD同时是上方半圆的直径，再分别代入长方形、半圆的面积公式计算求和即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AC=2.5 m，AD=1.5 m，
由勾股定理得：$CD^2=AC^2-AD^2=2.5^2-1.5^2=6.25-2.25=4=2^2$，
∴ CD=2 m，即上方半圆的直径为2 m，半径为1 m。
洞门的面积$S=S_{半圆}+S_{长方形ABCD}$
$=\frac{1}{2}×π×(\frac{CD}{2})^2 + AD×CD$
代入π=3，得：
$S=\frac{1}{2}×3×1^2 +1.5×2=1.5+3=4.5(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$4.5\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的常规计算题，解题核心是先通过勾股定理求出半圆的直径，再将组合图形拆分为熟悉的长方形和半圆分别计算面积，考查了图形拆分能力和基础几何公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算洞门的面积，首先观察洞门的组成：下方是长方形ABCD，上方是以CD为直径的半圆，因此总面积为长方形面积与半圆面积之和。首先需要求出CD的长度：长方形内角为直角，因此△ADC是直角三角形，已知斜边AC和直角边AD，可通过勾股定理求出CD，CD同时是上方半圆的直径，再分别代入长方形、半圆的面积公式计算求和即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AC=2.5 m，AD=1.5 m，
由勾股定理得：$CD^2=AC^2-AD^2=2.5^2-1.5^2=6.25-2.25=4=2^2$，
∴ CD=2 m，即上方半圆的直径为2 m，半径为1 m。
洞门的面积$S=S_{半圆}+S_{长方形ABCD}$
$=\frac{1}{2}×π×(\frac{CD}{2})^2 + AD×CD$
代入π=3，得：
$S=\frac{1}{2}×3×1^2 +1.5×2=1.5+3=4.5(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$4.5\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题属于组合图形面积的常规计算题，解题核心是先通过勾股定理求出半圆的直径，再将组合图形拆分为熟悉的长方形和半圆分别计算面积，考查了图形拆分能力和基础几何公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图,在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现在C处需要爆破。已知点C与公路上的停靠站A的距离为500 m,与另一停靠站B的距离为1 200 m,且CA⊥CB。为了安全起见,爆破点C周围半径400 m的范围内不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?请通过计算进行说明。
答案
10. 解:公路 AB 段不需要暂时封锁。理由如下:
如图,过点 C 作 $CD⊥ AB$ 于点 D。
因为 $CA⊥ CB$,
所以 $∠ ACB=90°$。
又因为 $BC=1\ 200\ \mathrm{m},AC=500\ \mathrm{m}$,
所以 $AB^2=BC^2+AC^2=1\ 200^2+500^2=1\ 300^2$,
所以 $AB=1\ 300\ \mathrm{m}$。
因为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$,
所以 $CD=\frac{BC· AC}{AB}$
$=\frac{1\ 200× 500}{1\ 300}$
$=\frac{6\ 000}{13}(\mathrm{m})$。
$400\ \mathrm{m}＜\frac{6\ 000}{13}\ \mathrm{m}$,
故公路 AB 段没有危险,
因此,公路 AB 段不需要暂时封锁。
解析
【分析】
要判断公路AB段是否有危险，本质是判断爆破点C到公路AB的最短距离是否小于等于危险半径400m，点到直线的最短距离是垂线段长度，因此我们过C作AB的垂线CD，只需要计算CD的长度再和400m比较即可。首先△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，先用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），就可以求出高CD的长度，最后比较大小得出结论。
【解析】
1. 作辅助线：过点C作$CD⊥AB$于点D，CD即为点C到AB的最短距离。
2. 求斜边AB长度：
因为$CA⊥CB$，所以$∠ACB=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
已知$BC=1200\ \mathrm{m}$，$AC=500\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AB^2=BC^2+AC^2=1200^2+500^2=1440000+250000=1690000=1300^2$
所以$AB=1300\ \mathrm{m}$。
3. 求高CD的长度：
三角形面积可以用两种方式计算：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·CD$
化简得$CD=\frac{BC·AC}{AB}$，代入数值：
$CD=\frac{1200×500}{1300}=\frac{6000}{13}\approx461.5\ \mathrm{m}$
4. 比较判断：
因为$400\ \mathrm{m}＜\frac{6000}{13}\ \mathrm{m}$，说明C到AB的最短距离大于危险半径，因此AB段没有危险。
【答案】
公路AB段不需要暂时封锁。理由如下:
如图,过点 C 作 $CD⊥ AB$ 于点 D。
因为 $CA⊥ CB$,
所以 $∠ ACB=90°$。
又因为 $BC=1\ 200\ \mathrm{m},AC=500\ \mathrm{m}$,
所以 $AB^2=BC^2+AC^2=1\ 200^2+500^2=1\ 300^2$,
所以 $AB=1\ 300\ \mathrm{m}$。
因为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$,
所以 $CD=\frac{BC· AC}{AB}$
$=\frac{1\ 200× 500}{1\ 300}$
$=\frac{6\ 000}{13}(\mathrm{m})$。
$400\ \mathrm{m}＜\frac{6\ 000}{13}\ \mathrm{m}$,
故公路 AB 段没有危险,
因此,公路 AB 段不需要暂时封锁。
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题是几何知识解决实际生活问题的典型题型，解题关键是将实际安全问题转化为比较点到直线的距离和危险半径的大小问题，利用面积法求直角三角形斜边上的高是常用的简便技巧。
【难度系数】
0.7
要判断公路AB段是否有危险，本质是判断爆破点C到公路AB的最短距离是否小于等于危险半径400m，点到直线的最短距离是垂线段长度，因此我们过C作AB的垂线CD，只需要计算CD的长度再和400m比较即可。首先△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，先用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），就可以求出高CD的长度，最后比较大小得出结论。
【解析】
1. 作辅助线：过点C作$CD⊥AB$于点D，CD即为点C到AB的最短距离。
2. 求斜边AB长度：
因为$CA⊥CB$，所以$∠ACB=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
已知$BC=1200\ \mathrm{m}$，$AC=500\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AB^2=BC^2+AC^2=1200^2+500^2=1440000+250000=1690000=1300^2$
所以$AB=1300\ \mathrm{m}$。
3. 求高CD的长度：
三角形面积可以用两种方式计算：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}AB·CD$
化简得$CD=\frac{BC·AC}{AB}$，代入数值：
$CD=\frac{1200×500}{1300}=\frac{6000}{13}\approx461.5\ \mathrm{m}$
4. 比较判断：
因为$400\ \mathrm{m}＜\frac{6000}{13}\ \mathrm{m}$，说明C到AB的最短距离大于危险半径，因此AB段没有危险。
【答案】
公路AB段不需要暂时封锁。理由如下:
如图,过点 C 作 $CD⊥ AB$ 于点 D。
因为 $CA⊥ CB$,
所以 $∠ ACB=90°$。
又因为 $BC=1\ 200\ \mathrm{m},AC=500\ \mathrm{m}$,
所以 $AB^2=BC^2+AC^2=1\ 200^2+500^2=1\ 300^2$,
所以 $AB=1\ 300\ \mathrm{m}$。
因为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$,
所以 $CD=\frac{BC· AC}{AB}$
$=\frac{1\ 200× 500}{1\ 300}$
$=\frac{6\ 000}{13}(\mathrm{m})$。
$400\ \mathrm{m}＜\frac{6\ 000}{13}\ \mathrm{m}$,
故公路 AB 段没有危险,
因此,公路 AB 段不需要暂时封锁。
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题是几何知识解决实际生活问题的典型题型，解题关键是将实际安全问题转化为比较点到直线的距离和危险半径的大小问题，利用面积法求直角三角形斜边上的高是常用的简便技巧。
【难度系数】
0.7
