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1. 现在有两种给钱的方式：一种方式是一天给你1元，一直给你3650天；另一种方式是第一天给你1分钱，第二天给你2分钱，第三天给你4分钱，第四天给你8分钱，第五天给你16分钱，依此类推，一直给你20天.你选择哪种方式得到的钱多呢？请说明理由.
答案
1. 第二种方式得到的钱多。第一种方式可得到$1×365×10=3\ 650$(元)，第二种方式可得到$1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+…+2^{19}=1\ 048\ 575$(分)$=10\ 485.75$(元)。
解析
【分析】
要判断哪种方式得到的钱多，只需分别计算两种给钱方式的总金额，再比较大小即可。第一步先计算第一种方式的总金额：已知每天给1元，共给3650天，直接用天数乘每天的钱数就能得到总金额，单位为元。第二步计算第二种方式的总金额：观察规律可知第n天给的钱数是$2^{n-1}$分，共给20天，总钱数是20天所得钱数的和，计算出总和后将单位从分换算成元，方便和第一种方式的金额比较。最后对比两个总金额的大小，选择金额更高的方式即可。
【解析】
1. 计算第一种方式的总金额：
每天给1元，共给3650天，总金额为：
$1×3650=3650$（元）
2. 计算第二种方式的总金额：
由题意得，第1天得$1=2^0$分，第2天得$2=2^1$分，第3天得$4=2^2$分，……，第20天得$2^{19}$分，20天总钱数为：
$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{19}=2^{20}-1=1048576-1=1048575$（分）
换算单位：$1元=100分$，因此$1048575分=1048575÷100=10485.75$（元）
3. 比较大小：
$10485.75元＞3650元$，因此第二种方式得到的钱多。
【答案】
选择第二种方式得到的钱多。第一种方式可得到3650元，第二种方式可得到10485.75元，$10485.75元＞3650元$，故第二种方式得到的钱多。
【知识点】
乘方的应用；有理数大小比较；单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的相关计算，解题核心是准确梳理两种给钱方式的金额计算规则，通过计算对比可直观感受到指数增长的速度远快于匀速增长，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
要判断哪种方式得到的钱多，只需分别计算两种给钱方式的总金额，再比较大小即可。第一步先计算第一种方式的总金额：已知每天给1元，共给3650天，直接用天数乘每天的钱数就能得到总金额，单位为元。第二步计算第二种方式的总金额：观察规律可知第n天给的钱数是$2^{n-1}$分，共给20天，总钱数是20天所得钱数的和，计算出总和后将单位从分换算成元，方便和第一种方式的金额比较。最后对比两个总金额的大小，选择金额更高的方式即可。
【解析】
1. 计算第一种方式的总金额：
每天给1元，共给3650天，总金额为：
$1×3650=3650$（元）
2. 计算第二种方式的总金额：
由题意得，第1天得$1=2^0$分，第2天得$2=2^1$分，第3天得$4=2^2$分，……，第20天得$2^{19}$分，20天总钱数为：
$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{19}=2^{20}-1=1048576-1=1048575$（分）
换算单位：$1元=100分$，因此$1048575分=1048575÷100=10485.75$（元）
3. 比较大小：
$10485.75元＞3650元$，因此第二种方式得到的钱多。
【答案】
选择第二种方式得到的钱多。第一种方式可得到3650元，第二种方式可得到10485.75元，$10485.75元＞3650元$，故第二种方式得到的钱多。
【知识点】
乘方的应用；有理数大小比较；单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查乘方的相关计算，解题核心是准确梳理两种给钱方式的金额计算规则，通过计算对比可直观感受到指数增长的速度远快于匀速增长，兼具趣味性和实用性。
【难度系数】
0.7
2. 国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税方法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应纳超过800元的那一部分14%的税；（3）稿费高于4000元的应纳全部稿费的11%的税.李教授获得一笔稿费，纳税为445元，你能确定这笔稿费是多少元吗？（结果取整数）
答案
①当李教授的稿费(税前)大于800元而小于4 000元时，$445÷14\%+800≈3\ 979$(元)。②当李教授的稿费(税前)大于4 000元时，$445÷11\%≈4\ 045$(元)。
解析
【分析】
这是分段计费类的实际应用问题，解题需用到分类讨论思想：首先明确不同稿费区间对应的纳税规则，再分别假设这笔稿费属于“高于800元不高于4000元”“高于4000元”两个纳税区间，根据对应区间的纳税公式逆推稿费金额，最后验证计算结果是否符合对应区间的取值范围，符合的即为有效答案。
【解析】
我们分两种情况讨论：
① 假设稿费（税前）高于800元且不高于4000元：
该区间纳税规则为：纳税额 = （稿费 - 800）×14%，逆推可得：
稿费 = 纳税额÷14% + 800
代入纳税额445元计算：
$445÷14\% +800\approx3179+800=3979$（元）
验证：$3979＜4000$，符合该区间要求，结果有效。
② 假设稿费（税前）高于4000元：
该区间纳税规则为：纳税额 = 稿费×11%，逆推可得：
稿费 = 纳税额÷11%
代入纳税额445元计算：
$445÷11\%\approx4045$（元）
验证：$4045＞4000$，符合该区间要求，结果有效。
【答案】
这笔稿费可能是3979元，也可能是4045元。
【知识点】
分段计费问题；百分数实际应用；近似数计算
【点评】
本题结合生活中的纳税场景，考查分类讨论思想的应用，解题时需注意先理清各分段的计费规则，计算出结果后要验证是否符合对应分段的取值范围，避免出现漏解或结果不符合实际的问题。
【难度系数】
0.6
这是分段计费类的实际应用问题，解题需用到分类讨论思想：首先明确不同稿费区间对应的纳税规则，再分别假设这笔稿费属于“高于800元不高于4000元”“高于4000元”两个纳税区间，根据对应区间的纳税公式逆推稿费金额，最后验证计算结果是否符合对应区间的取值范围，符合的即为有效答案。
【解析】
我们分两种情况讨论：
① 假设稿费（税前）高于800元且不高于4000元：
该区间纳税规则为：纳税额 = （稿费 - 800）×14%，逆推可得：
稿费 = 纳税额÷14% + 800
代入纳税额445元计算：
$445÷14\% +800\approx3179+800=3979$（元）
验证：$3979＜4000$，符合该区间要求，结果有效。
② 假设稿费（税前）高于4000元：
该区间纳税规则为：纳税额 = 稿费×11%，逆推可得：
稿费 = 纳税额÷11%
代入纳税额445元计算：
$445÷11\%\approx4045$（元）
验证：$4045＞4000$，符合该区间要求，结果有效。
【答案】
这笔稿费可能是3979元，也可能是4045元。
【知识点】
分段计费问题；百分数实际应用；近似数计算
【点评】
本题结合生活中的纳税场景，考查分类讨论思想的应用，解题时需注意先理清各分段的计费规则，计算出结果后要验证是否符合对应分段的取值范围，避免出现漏解或结果不符合实际的问题。
【难度系数】
0.6
3. 当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题、二进制数的计算问题十分常见. 为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2. 例如，$10110_2$.
(1)类比十进制的计数原理：$12035=1×10^4 +2×10^3 +0×10^2 +3×10^1 +5$，把一个二进制数转化为十进制数的方法：$10110_2=1×2^4 +0×2^3 +1×2^2 +1×2^1 +0=22$.
请你将二进制数$10011_2$转化为十进制数，则$10011_2=$
(2)把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果. 例如，将十进制数302转化为二进制数：
$302÷2=151……0$；$151÷2=75……1$；$75÷2=37……1$；$37÷2=18……1$；$18÷2=9……0$；$9÷2=4……1$；$4÷2=2……0$；$2÷2=1……0$；$1÷2=0……1$.
所以$302=100101110_2$.
请你将十进制数101转化为二进制数，则$101=$
(1)类比十进制的计数原理：$12035=1×10^4 +2×10^3 +0×10^2 +3×10^1 +5$，把一个二进制数转化为十进制数的方法：$10110_2=1×2^4 +0×2^3 +1×2^2 +1×2^1 +0=22$.
请你将二进制数$10011_2$转化为十进制数，则$10011_2=$
19
.(2)把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果. 例如，将十进制数302转化为二进制数：
$302÷2=151……0$；$151÷2=75……1$；$75÷2=37……1$；$37÷2=18……1$；$18÷2=9……0$；$9÷2=4……1$；$4÷2=2……0$；$2÷2=1……0$；$1÷2=0……1$.
所以$302=100101110_2$.
请你将十进制数101转化为二进制数，则$101=$
1100101
$_2$.答案
3. (1) 19 (2) 1100101 提示：(1)$10011_2=1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1=16+0+0+2+1=19$ (2)$101÷2=50……1$；$50÷2=25……0$；$25÷2=12……1$；$12÷2=6……0$；$6÷2=3……0$；$3÷2=1……1$；$1÷2=0……1$，所以$101=1100101_2$。
解析
【分析】
（1）二进制转十进制可直接套用题干给出的转换规则：二进制数每一位上的数字乘对应位次的2的幂次（最右侧位对应$2^0$，从右往左幂次依次加1），再将所有乘积相加，即可得到对应的十进制数，按规则代入计算即可。
（2）十进制转二进制按照题干给出的“除以2取余数，余数从下向上倒序排列”的规则操作：逐次用十进制数除以2记录余数，直到商为0，最后把所有余数倒序排列就是所求的二进制数。
【解析】
(1) 根据二进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}10011_2&=1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=1×16 + 0×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1\\&=16+0+0+2+1\\&=19\end{aligned}$
(2) 按照“除以2取余数”的方法逐次计算：
$101÷2=50······1$
$50÷2=25······0$
$25÷2=12······1$
$12÷2=6······0$
$6÷2=3······0$
$3÷2=1······1$
$1÷2=0······1$
将余数从下向上倒序排列得1100101，即$101=1100101_2$。
【答案】
(1) 19；(2) 1100101
【知识点】
进制转换；有理数乘方运算
【点评】
本题属于信息迁移类基础题，主要考查对题干给定规则的阅读理解能力和类比应用能力，解题核心是严格按照题目给出的转换规则逐步运算，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
（1）二进制转十进制可直接套用题干给出的转换规则：二进制数每一位上的数字乘对应位次的2的幂次（最右侧位对应$2^0$，从右往左幂次依次加1），再将所有乘积相加，即可得到对应的十进制数，按规则代入计算即可。
（2）十进制转二进制按照题干给出的“除以2取余数，余数从下向上倒序排列”的规则操作：逐次用十进制数除以2记录余数，直到商为0，最后把所有余数倒序排列就是所求的二进制数。
【解析】
(1) 根据二进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}10011_2&=1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=1×16 + 0×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1\\&=16+0+0+2+1\\&=19\end{aligned}$
(2) 按照“除以2取余数”的方法逐次计算：
$101÷2=50······1$
$50÷2=25······0$
$25÷2=12······1$
$12÷2=6······0$
$6÷2=3······0$
$3÷2=1······1$
$1÷2=0······1$
将余数从下向上倒序排列得1100101，即$101=1100101_2$。
【答案】
(1) 19；(2) 1100101
【知识点】
进制转换；有理数乘方运算
【点评】
本题属于信息迁移类基础题，主要考查对题干给定规则的阅读理解能力和类比应用能力，解题核心是严格按照题目给出的转换规则逐步运算，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
