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一、选择题
1. 中国航母辽宁舰是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为$6.75×10^{4}\ \mathrm{t}$，这个数据表示的原数为(
A.6 750
B.67 500
C.675 000
D.6 750 000
1. 中国航母辽宁舰是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，该舰的满载排水量为$6.75×10^{4}\ \mathrm{t}$，这个数据表示的原数为(
B
)。A.6 750
B.67 500
C.675 000
D.6 750 000
答案
1. B
解析
【分析】
本题要求将科学记数法表示的数还原为原数，解题思路如下：首先回忆科学记数法的表示形式为$a×10^n$（其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数），还原正指数的科学记数法时，只需将$a$的小数点向右移动$n$位，位数不够的补0即可。本题中$a=6.75$，$n=4$，按规律移动小数点就能得到原数。
【解析】
科学记数法$6.75×10^4$中，$10^4=10000$，因此计算可得：
$6.75×10^4=6.75×10000=67500$
也可以通过移动小数点的方法：将6.75的小数点向右移动4位，得到67500，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题，核心考查科学记数法的逆运算，只要掌握正指数科学记数法还原时小数点的移动规律，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
本题要求将科学记数法表示的数还原为原数，解题思路如下：首先回忆科学记数法的表示形式为$a×10^n$（其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数），还原正指数的科学记数法时，只需将$a$的小数点向右移动$n$位，位数不够的补0即可。本题中$a=6.75$，$n=4$，按规律移动小数点就能得到原数。
【解析】
科学记数法$6.75×10^4$中，$10^4=10000$，因此计算可得：
$6.75×10^4=6.75×10000=67500$
也可以通过移动小数点的方法：将6.75的小数点向右移动4位，得到67500，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题，核心考查科学记数法的逆运算，只要掌握正指数科学记数法还原时小数点的移动规律，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
2. 小怡家冰箱冷藏室的温度是$5\ °\mathrm{C}$，冷冻室的温度是$-18\ °\mathrm{C}$，则她家冰箱冷藏室的温度比冷冻室的温度高(
A.$13\ °\mathrm{C}$
B.$-13\ °\mathrm{C}$
C.$23\ °\mathrm{C}$
D.$-23\ °\mathrm{C}$
C
).A.$13\ °\mathrm{C}$
B.$-13\ °\mathrm{C}$
C.$23\ °\mathrm{C}$
D.$-23\ °\mathrm{C}$
答案
2. C
解析
【分析】
要计算冷藏室温度比冷冻室高多少，本质是求两个温度的差值，需用冷藏室温度减去冷冻室温度列式计算。运算涉及负数的减法，需运用有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即可求出结果。
【解析】
根据题意，可列算式：
$5 - (-18)$
依据有理数减法法则，减去一个负数等于加上这个负数的相反数，因此：
$5 - (-18) = 5 + 18 = 23(°\mathrm{C})$
故答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数减法运算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查有理数减法的应用，解题核心是正确列出差值算式并掌握有理数减法的运算规则，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
要计算冷藏室温度比冷冻室高多少，本质是求两个温度的差值，需用冷藏室温度减去冷冻室温度列式计算。运算涉及负数的减法，需运用有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即可求出结果。
【解析】
根据题意，可列算式：
$5 - (-18)$
依据有理数减法法则，减去一个负数等于加上这个负数的相反数，因此：
$5 - (-18) = 5 + 18 = 23(°\mathrm{C})$
故答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数减法运算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查有理数减法的应用，解题核心是正确列出差值算式并掌握有理数减法的运算规则，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
3. 下列等式正确的是(
A.$-(-3)^2=9$
B.$-(-1)^3=3$
C.$-|-5|-(-5)=10$
D.$(-\dfrac{1}{2})÷(-2)=\dfrac{1}{4}$
D
).A.$-(-3)^2=9$
B.$-(-1)^3=3$
C.$-|-5|-(-5)=10$
D.$(-\dfrac{1}{2})÷(-2)=\dfrac{1}{4}$
答案
3. D
解析
【分析】
这道题考查有理数的基础运算，解题时需要按照有理数的运算顺序和相关法则，逐个计算四个选项的结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。计算时要格外注意符号的处理，先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：先计算乘方$(-3)^2=9$，再算前面的负号，因此$-(-3)^2=-9≠9$，A错误；
B选项：先计算乘方$(-1)^3=-1$，再化简符号，$-(-1)^3=-(-1)=1≠3$，B错误；
C选项：先计算绝对值$|-5|=5$，因此$-|-5|-(-5)=-5+5=0≠10$，C错误；
D选项：两个负数相除，商为正数，再把绝对值相除，$(-\dfrac{1}{2})÷(-2)=\dfrac{1}{2}÷2=\dfrac{1}{4}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、绝对值的性质、有理数除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是熟练掌握有理数各类运算的法则，尤其要注意运算顺序和符号的判断，避免因符号混淆、运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
这道题考查有理数的基础运算，解题时需要按照有理数的运算顺序和相关法则，逐个计算四个选项的结果，再和选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。计算时要格外注意符号的处理，先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：先计算乘方$(-3)^2=9$，再算前面的负号，因此$-(-3)^2=-9≠9$，A错误；
B选项：先计算乘方$(-1)^3=-1$，再化简符号，$-(-1)^3=-(-1)=1≠3$，B错误；
C选项：先计算绝对值$|-5|=5$，因此$-|-5|-(-5)=-5+5=0≠10$，C错误；
D选项：两个负数相除，商为正数，再把绝对值相除，$(-\dfrac{1}{2})÷(-2)=\dfrac{1}{2}÷2=\dfrac{1}{4}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算、绝对值的性质、有理数除法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的核心是熟练掌握有理数各类运算的法则，尤其要注意运算顺序和符号的判断，避免因符号混淆、运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
4. 若$|a+3| + (b-2)^2 = 0$，则$(a+b)^{2025}$的值是(
A.1
B.-1
C.-2025
D.无法计算
B
)。A.1
B.-1
C.-2025
D.无法计算
答案
4. B
解析
【分析】
解题思路要紧扣非负数的性质：我们学过绝对值和有理数的平方都是非负数，两个非负数相加的和为0，说明这两个非负数各自都等于0。按以下步骤思考：第一步根据非负数的性质列等式求出a、b的值；第二步计算a+b的结果；第三步结合乘方的运算规则求出最终的幂的值即可。
【解析】
解：
∵绝对值和平方都具有非负性，即$\vert a+3\vert≥0$，$(b-2)^2≥0$，
又
∵$\vert a+3\vert + (b-2)^2 = 0$，
∴仅当$\vert a+3\vert=0$且$(b-2)^2=0$时等式成立，
可得：$a+3=0$，$b-2=0$，
解得$a=-3$，$b=2$，
∴$a+b=-3+2=-1$，
∵2025是奇数，负数的奇次幂为负，
∴$(a+b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的非负性；平方的非负性；有理数乘方
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查非负数的性质，只要掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0”的规律，结合乘方的简单运算就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路要紧扣非负数的性质：我们学过绝对值和有理数的平方都是非负数，两个非负数相加的和为0，说明这两个非负数各自都等于0。按以下步骤思考：第一步根据非负数的性质列等式求出a、b的值；第二步计算a+b的结果；第三步结合乘方的运算规则求出最终的幂的值即可。
【解析】
解：
∵绝对值和平方都具有非负性，即$\vert a+3\vert≥0$，$(b-2)^2≥0$，
又
∵$\vert a+3\vert + (b-2)^2 = 0$，
∴仅当$\vert a+3\vert=0$且$(b-2)^2=0$时等式成立，
可得：$a+3=0$，$b-2=0$，
解得$a=-3$，$b=2$，
∴$a+b=-3+2=-1$，
∵2025是奇数，负数的奇次幂为负，
∴$(a+b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的非负性；平方的非负性；有理数乘方
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查非负数的性质，只要掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0”的规律，结合乘方的简单运算就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 下列计算结果为正数的是(
A.$-3^2 × (-2)^4$
B.$-(-2)^{2023} × (-2)^6$
C.$(999 - 1000)^{2022} + (-5)^3$
D.$-2 × (-3)^2$
B
).A.$-3^2 × (-2)^4$
B.$-(-2)^{2023} × (-2)^6$
C.$(999 - 1000)^{2022} + (-5)^3$
D.$-2 × (-3)^2$
答案
5. B
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的符号判断及有理数混合运算的符号规律，解题思路是逐一分析每个选项的运算结果符号：首先牢记乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；再结合有理数乘法、加法的符号规则，逐个判断选项的结果正负，最终选出结果为正数的选项。解题时要注意区分$-a^n$（$a$的n次幂的相反数）和$(-a)^n$（$-a$的n次幂）的差异，避免符号判断出错。
【解析】
我们逐个分析各选项的结果符号：
A. $-3^2 × (-2)^4$：
$-3^2$是$3^2$的相反数，结果为$-9$；$(-2)^4$是负数的偶次幂，结果为正。
原式$=-9×16=-144$，结果为负数，不符合要求。
B. $-(-2)^{2023} × (-2)^6$：
$(-2)^{2023}$是负数的奇次幂，结果为$-2^{2023}$，因此$-(-2)^{2023} = 2^{2023}$（正数）；$(-2)^6$是负数的偶次幂，结果为正。
原式$=2^{2023}×2^6=2^{2029}$，结果为正数，符合要求。
C. $(999 - 1000)^{2022} + (-5)^3$：
先算括号内：$999-1000=-1$，$(-1)^{2022}$是负数的偶次幂，结果为$1$；$(-5)^3$是负数的奇次幂，结果为$-125$。
原式$=1 + (-125)=-124$，结果为负数，不符合要求。
D. $-2 × (-3)^2$：
$(-3)^2$是负数的偶次幂，结果为$9$。
原式$=-2×9=-18$，结果为负数，不符合要求。
综上只有B选项的结果为正数。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；有理数符号法则；有理数混合运算
【点评】
本题重点考查有理数乘方的符号判断能力，解题的易错点是混淆$-a^n$与$(-a)^n$的运算结果，计算时要先明确乘方的底数，再判断符号，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘方的符号判断及有理数混合运算的符号规律，解题思路是逐一分析每个选项的运算结果符号：首先牢记乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；再结合有理数乘法、加法的符号规则，逐个判断选项的结果正负，最终选出结果为正数的选项。解题时要注意区分$-a^n$（$a$的n次幂的相反数）和$(-a)^n$（$-a$的n次幂）的差异，避免符号判断出错。
【解析】
我们逐个分析各选项的结果符号：
A. $-3^2 × (-2)^4$：
$-3^2$是$3^2$的相反数，结果为$-9$；$(-2)^4$是负数的偶次幂，结果为正。
原式$=-9×16=-144$，结果为负数，不符合要求。
B. $-(-2)^{2023} × (-2)^6$：
$(-2)^{2023}$是负数的奇次幂，结果为$-2^{2023}$，因此$-(-2)^{2023} = 2^{2023}$（正数）；$(-2)^6$是负数的偶次幂，结果为正。
原式$=2^{2023}×2^6=2^{2029}$，结果为正数，符合要求。
C. $(999 - 1000)^{2022} + (-5)^3$：
先算括号内：$999-1000=-1$，$(-1)^{2022}$是负数的偶次幂，结果为$1$；$(-5)^3$是负数的奇次幂，结果为$-125$。
原式$=1 + (-125)=-124$，结果为负数，不符合要求。
D. $-2 × (-3)^2$：
$(-3)^2$是负数的偶次幂，结果为$9$。
原式$=-2×9=-18$，结果为负数，不符合要求。
综上只有B选项的结果为正数。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；有理数符号法则；有理数混合运算
【点评】
本题重点考查有理数乘方的符号判断能力，解题的易错点是混淆$-a^n$与$(-a)^n$的运算结果，计算时要先明确乘方的底数，再判断符号，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
6.《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完. 若按此方式截一根长为1的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取第1天剩余的一半，以此类推，第5天截取后木棍剩余的长度是(
A.$1-\frac{1}{2^5}$
B.$1-\frac{1}{2^4}$
C.$\frac{1}{2^5}$
D.$\frac{1}{2^4}$
C
).A.$1-\frac{1}{2^5}$
B.$1-\frac{1}{2^4}$
C.$\frac{1}{2^5}$
D.$\frac{1}{2^4}$
答案
6. C
解析
【分析】
我们可以通过计算前几天截取后剩余的木棍长度，归纳出通用规律，再推导第5天的剩余长度。第一天截取一半后，剩余长度是原长的$\frac{1}{2}$；第二天再截取当天长度的一半，剩余长度是第一天剩余的$\frac{1}{2}$，也就是原长的$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2}$；以此类推可得到第n天剩余长度的规律，代入n=5即可求出结果。
【解析】
解：第1天截取后剩余长度：$1 × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$
第2天截取后剩余长度：$\frac{1}{2} × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^2}$
第3天截取后剩余长度：$\frac{1}{2^2} × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^3}$
……
依此规律，第n天截取后剩余长度为$\frac{1}{2^n}$
当n=5时，剩余长度为$\frac{1}{2^5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 规律探究
【点评】
本题结合古代经典论述考查乘方的实际应用，需要学生通过列举前几天的剩余量归纳通用规律，既考查了基础运算能力，也融合了传统文化元素。
【难度系数】
0.8
我们可以通过计算前几天截取后剩余的木棍长度，归纳出通用规律，再推导第5天的剩余长度。第一天截取一半后，剩余长度是原长的$\frac{1}{2}$；第二天再截取当天长度的一半，剩余长度是第一天剩余的$\frac{1}{2}$，也就是原长的$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{2^2}$；以此类推可得到第n天剩余长度的规律，代入n=5即可求出结果。
【解析】
解：第1天截取后剩余长度：$1 × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$
第2天截取后剩余长度：$\frac{1}{2} × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^2}$
第3天截取后剩余长度：$\frac{1}{2^2} × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^3}$
……
依此规律，第n天截取后剩余长度为$\frac{1}{2^n}$
当n=5时，剩余长度为$\frac{1}{2^5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 规律探究
【点评】
本题结合古代经典论述考查乘方的实际应用，需要学生通过列举前几天的剩余量归纳通用规律，既考查了基础运算能力，也融合了传统文化元素。
【难度系数】
0.8
二、填空题
7. 计算：$-1÷\frac{1}{3}×(-3)=$
7. 计算：$-1÷\frac{1}{3}×(-3)=$
9
。答案
7. 9
解析
【分析】
本题考查有理数的乘除混合运算，解题思路如下：首先明确有理数乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，不能优先计算右侧的乘法；其次计算时先将除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数），再根据负因数的个数判断结果的符号，最后计算绝对值的乘积即可。要注意避免出现先算$\frac{1}{3}×(-3)$的错误运算顺序。
【解析】
根据有理数乘除混合运算法则，同级运算从左到右依次计算，将除法转化为乘法后逐步计算：
$\begin{aligned}-1÷\frac{1}{3}×(-3)&=-1×3×(-3)\\&=(-3)×(-3)\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
有理数乘除混合运算、有理数除法法则、同级运算顺序
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是违反同级运算从左到右的规则，错误先计算$\frac{1}{3}×(-3)$得到-1，最终算出错误结果3，计算时牢记运算顺序、正确处理符号即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的乘除混合运算，解题思路如下：首先明确有理数乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，不能优先计算右侧的乘法；其次计算时先将除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数），再根据负因数的个数判断结果的符号，最后计算绝对值的乘积即可。要注意避免出现先算$\frac{1}{3}×(-3)$的错误运算顺序。
【解析】
根据有理数乘除混合运算法则，同级运算从左到右依次计算，将除法转化为乘法后逐步计算：
$\begin{aligned}-1÷\frac{1}{3}×(-3)&=-1×3×(-3)\\&=(-3)×(-3)\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
有理数乘除混合运算、有理数除法法则、同级运算顺序
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是违反同级运算从左到右的规则，错误先计算$\frac{1}{3}×(-3)$得到-1，最终算出错误结果3，计算时牢记运算顺序、正确处理符号即可得分。
【难度系数】
0.8
8. 已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，则$(a+c)÷b=$
-1
。答案
8. -1
解析
【分析】
解题时首先需要根据题干给出的描述，结合有理数的相关概念，分别确定a、b、c三个数的取值：第一步根据负整数的特征找到最大的负整数得到a的值，第二步根据正整数的特征找到最小的正整数得到b的值，第三步根据绝对值的性质找到绝对值最小的数得到c的值，最后将三个值代入代数式$(a+c)÷ b$按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
首先根据相关概念确定各字母的值：
1. 因为a是最大的负整数，所以$a=-1$；
2. 因为b是最小的正整数，所以$b=1$；
3. 因为c是绝对值最小的数，所以$c=0$；
将$a=-1$，$b=1$，$c=0$代入式子计算：
$(a+c)÷ b=(-1+0)÷1=-1÷1=-1$
【答案】
-1
【知识点】
有理数的分类；绝对值的性质；有理数的运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记特殊有理数的相关性质，只要准确识别a、b、c的取值，代入计算即可得到正确结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先需要根据题干给出的描述，结合有理数的相关概念，分别确定a、b、c三个数的取值：第一步根据负整数的特征找到最大的负整数得到a的值，第二步根据正整数的特征找到最小的正整数得到b的值，第三步根据绝对值的性质找到绝对值最小的数得到c的值，最后将三个值代入代数式$(a+c)÷ b$按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
首先根据相关概念确定各字母的值：
1. 因为a是最大的负整数，所以$a=-1$；
2. 因为b是最小的正整数，所以$b=1$；
3. 因为c是绝对值最小的数，所以$c=0$；
将$a=-1$，$b=1$，$c=0$代入式子计算：
$(a+c)÷ b=(-1+0)÷1=-1÷1=-1$
【答案】
-1
【知识点】
有理数的分类；绝对值的性质；有理数的运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记特殊有理数的相关性质，只要准确识别a、b、c的取值，代入计算即可得到正确结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
