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9. 如图，已知$∠ 1=∠ 2$，那么添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABC ∽ △ ADE$的是（
A.$∠ B=∠ ADE$
B.$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
D.$∠ C=∠ E$
B
）A.$∠ B=∠ ADE$
B.$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
C.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
D.$∠ C=∠ E$
答案
9.B
解析
【分析】
首先由已知∠1=∠2，可推出∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即得到△ABC和△ADE的一组对应角∠BAC=∠DAE。要判定两三角形相似，结合已有的相等角，可添加另一组对应角相等，或添加该组相等角的两组夹边对应成比例，再逐一验证各选项是否满足判定条件即可。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
对各选项逐一分析：
A. 若∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B. 若$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，此时成比例的两组边的夹角并非已证的相等角∠BAC和∠DAE，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意；
C. 若$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，结合∠BAC=∠DAE，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D. 若∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，角的和差计算
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的灵活运用，易错点是误将“两边成比例+非夹角相等”的组合当作有效判定条件，要注意“边边角”的组合无法判定三角形相似或全等。
【难度系数】
0.7
首先由已知∠1=∠2，可推出∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即得到△ABC和△ADE的一组对应角∠BAC=∠DAE。要判定两三角形相似，结合已有的相等角，可添加另一组对应角相等，或添加该组相等角的两组夹边对应成比例，再逐一验证各选项是否满足判定条件即可。
【解析】
解：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
对各选项逐一分析：
A. 若∠B=∠ADE，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
B. 若$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，此时成比例的两组边的夹角并非已证的相等角∠BAC和∠DAE，不满足相似三角形的判定条件，无法判定△ABC∽△ADE，符合题意；
C. 若$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，结合∠BAC=∠DAE，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意；
D. 若∠C=∠E，结合∠BAC=∠DAE，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△ADE，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，角的和差计算
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的灵活运用，易错点是误将“两边成比例+非夹角相等”的组合当作有效判定条件，要注意“边边角”的组合无法判定三角形相似或全等。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图中的虚线剪开,则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (
C
)答案
10.C
解析
【分析】
要判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），结合原三角形已知条件∠A=78°、AB=4、AC=6逐一分析选项：
1. 选项A、B可通过公共角+78°角与∠A相等，用“两角对应相等”判定相似；
2. 选项C、D可通过公共角+夹公共角的两边比例是否相等，用“两边成比例且夹角相等”判定是否相似。
【解析】
逐个验证各选项：
选项A：阴影三角形与原△ABC有公共角∠C，且阴影内78°角与∠A相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，两三角形相似；
选项B：阴影三角形与原△ABC有公共角∠B，且阴影内78°角与∠A相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，两三角形相似；
选项C：阴影三角形与原△ABC有公共角∠B，夹∠B的两组边对应比为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、$\frac{3}{BC}$，原三角形中BC≠6，两边比例不相等，不满足相似判定条件，两三角形不相似；
选项D：阴影三角形与原△ABC有公共角∠A，夹∠A的两组边对应比为$\frac{6-4}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、$\frac{4-1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，两三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时需找准对应角、对应边的关系，结合已知条件逐一验证即可得出结果。
【难度系数】
0.7
要判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），结合原三角形已知条件∠A=78°、AB=4、AC=6逐一分析选项：
1. 选项A、B可通过公共角+78°角与∠A相等，用“两角对应相等”判定相似；
2. 选项C、D可通过公共角+夹公共角的两边比例是否相等，用“两边成比例且夹角相等”判定是否相似。
【解析】
逐个验证各选项：
选项A：阴影三角形与原△ABC有公共角∠C，且阴影内78°角与∠A相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，两三角形相似；
选项B：阴影三角形与原△ABC有公共角∠B，且阴影内78°角与∠A相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，两三角形相似；
选项C：阴影三角形与原△ABC有公共角∠B，夹∠B的两组边对应比为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、$\frac{3}{BC}$，原三角形中BC≠6，两边比例不相等，不满足相似判定条件，两三角形不相似；
选项D：阴影三角形与原△ABC有公共角∠A，夹∠A的两组边对应比为$\frac{6-4}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$、$\frac{4-1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，两三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时需找准对应角、对应边的关系，结合已知条件逐一验证即可得出结果。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示的是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10 cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳(AC和BD的长相等)去测量零件的内孔直径AB。如果$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{3}$，且量得CD的长是3 cm，那么零件的厚度x=
0.5 cm
。答案
11.0.5 cm
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，可发现△OCD与△OAB存在公共对顶角，结合已知的两边比例关系，可通过“两边成比例且夹角相等”判定两三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质求出内孔直径AB的长度；最后结合零件外径与AB、厚度x的数量关系列方程求解x即可。
【解析】
解：在△OCD和△OAB中，
∵∠COD = ∠AOB（对顶角相等），且$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴△OCD∽△OAB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{3}$，
已知CD=3cm，代入得$\frac{3}{AB}=\frac{1}{3}$，解得AB=9cm。
由零件剖面图可知，外径长度 = 内孔直径AB + 2×厚度x，已知外径为10cm，
∴$2x + 9 = 10$，
解得$x=0.5$cm。
【答案】
0.5 cm
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是准确找到相似三角形并利用相似性质求出未知边长，再结合几何图形的长度关系计算所求量，注重对基础定理的理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，可发现△OCD与△OAB存在公共对顶角，结合已知的两边比例关系，可通过“两边成比例且夹角相等”判定两三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质求出内孔直径AB的长度；最后结合零件外径与AB、厚度x的数量关系列方程求解x即可。
【解析】
解：在△OCD和△OAB中，
∵∠COD = ∠AOB（对顶角相等），且$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴△OCD∽△OAB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{3}$，
已知CD=3cm，代入得$\frac{3}{AB}=\frac{1}{3}$，解得AB=9cm。
由零件剖面图可知，外径长度 = 内孔直径AB + 2×厚度x，已知外径为10cm，
∴$2x + 9 = 10$，
解得$x=0.5$cm。
【答案】
0.5 cm
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是准确找到相似三角形并利用相似性质求出未知边长，再结合几何图形的长度关系计算所求量，注重对基础定理的理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC=\sqrt{2}BC$，则$\dfrac{AB}{OB}=$
$\sqrt{2}$
.答案
12.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC与AC的数量关系，结合已知AC=√2 BC，推导得出△ABC和△BCO的两组对应边成比例，再找到两组边的公共夹角，利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出所求比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴OC = $\frac{1}{2}$AC，即AC=2OC
∵AC=$\sqrt{2}$BC
∴2OC=$\sqrt{2}$BC，整理得$\frac{BC}{OC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，同时$\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{OC}=\sqrt{2}$
又
∵∠ACB=∠BCO（公共角）
∴△ABC∽△BOC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{OB}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质和平行四边形性质的综合应用题，解题的核心是结合已知边的关系构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC与AC的数量关系，结合已知AC=√2 BC，推导得出△ABC和△BCO的两组对应边成比例，再找到两组边的公共夹角，利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出所求比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴OC = $\frac{1}{2}$AC，即AC=2OC
∵AC=$\sqrt{2}$BC
∴2OC=$\sqrt{2}$BC，整理得$\frac{BC}{OC}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，同时$\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{OC}=\sqrt{2}$
又
∵∠ACB=∠BCO（公共角）
∴△ABC∽△BOC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{OB}=\frac{AC}{BC}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形判定与性质和平行四边形性质的综合应用题，解题的核心是结合已知边的关系构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.6
13.如图，已知$△ ABC$，$△ DCE$，$△ FEG$，$△ HGI$是4个全等的等腰三角形，底边$BC$，$CE$，$EG$，$GI$在同一条直线上，且$AB=2$，$BC=1$，连接$AI$，交$GH$于点$Q$。
(1)求证：$△ IAB ∽ △ ACB$。
(2)求$\frac{HQ}{QG}$的值。
(1)求证：$△ IAB ∽ △ ACB$。
(2)求$\frac{HQ}{QG}$的值。
答案
13.解:(1)证明:由题意,得$BI=4BC=4. \therefore \frac{AB}{IB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}. \therefore \frac{AB}{IB}=\frac{BC}{BA}.$ 又$\because ∠ ABI=∠ CBA,\therefore △ IAB∽ △ ACB.$ (2) $\because ∠ ABC=∠ HGI,∠ AIB=∠ QIG,\therefore △ QGI∽ △ ABI. \therefore \frac{QG}{AB}=\frac{GI}{BI}=\frac{1}{4}. \therefore QG=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}. \therefore HQ=GH-QG=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \therefore \frac{HQ}{QG}=3.$
解析
【分析】
(1)要证明△IAB∽△ACB，可选用“两边成比例且夹角相等”的相似判定方法。首先根据4个全等等腰三角形的性质求出BI的长度，再计算两组对应边的比值验证其相等，结合公共角∠ABI=∠CBA即可完成证明。
(2)要求$\frac{HQ}{QG}$的值，先根据全等等腰三角形的性质得到∠HGI=∠ABC，结合公共角∠AIB=∠QIG证明△QGI∽△ABI，利用相似性质求出QG的长度，再结合GH=AB的关系求出HQ的长度，最终计算比值即可。
【解析】
(1) 证明：已知4个三角形全等，底边$BC=CE=EG=GI=1$，因此$BI=BC+CE+EG+GI=4BC=4$。
已知$AB=2$，$BC=1$，因此$\frac{AB}{IB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{AB}{IB}=\frac{BC}{BA}$。
又
∵$∠ABI=∠CBA$（公共角），
∴$△ IAB ∽ △ ACB$。
(2) 解：
∵△ABC、△HGI是全等的等腰三角形，
∴$∠ABC=∠HGI$，$GH=AB=2$，$GI=BC=1$。
又
∵$∠AIB=∠QIG$（公共角），
∴$△ QGI∽ △ ABI$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{QG}{AB}=\frac{GI}{BI}=\frac{1}{4}$，
因此$QG=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$。
∴$HQ=GH-QG=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{HQ}{QG}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的典型应用题型，解题核心是结合已知全等三角形的边长、角度关系找到相似条件，公共角在相似证明中的作用是重要的突破口，能有效考查学生的逻辑推理能力和对相似知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△IAB∽△ACB，可选用“两边成比例且夹角相等”的相似判定方法。首先根据4个全等等腰三角形的性质求出BI的长度，再计算两组对应边的比值验证其相等，结合公共角∠ABI=∠CBA即可完成证明。
(2)要求$\frac{HQ}{QG}$的值，先根据全等等腰三角形的性质得到∠HGI=∠ABC，结合公共角∠AIB=∠QIG证明△QGI∽△ABI，利用相似性质求出QG的长度，再结合GH=AB的关系求出HQ的长度，最终计算比值即可。
【解析】
(1) 证明：已知4个三角形全等，底边$BC=CE=EG=GI=1$，因此$BI=BC+CE+EG+GI=4BC=4$。
已知$AB=2$，$BC=1$，因此$\frac{AB}{IB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}$，可得$\frac{AB}{IB}=\frac{BC}{BA}$。
又
∵$∠ABI=∠CBA$（公共角），
∴$△ IAB ∽ △ ACB$。
(2) 解：
∵△ABC、△HGI是全等的等腰三角形，
∴$∠ABC=∠HGI$，$GH=AB=2$，$GI=BC=1$。
又
∵$∠AIB=∠QIG$（公共角），
∴$△ QGI∽ △ ABI$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{QG}{AB}=\frac{GI}{BI}=\frac{1}{4}$，
因此$QG=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$。
∴$HQ=GH-QG=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{HQ}{QG}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\boxed{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的典型应用题型，解题核心是结合已知全等三角形的边长、角度关系找到相似条件，公共角在相似证明中的作用是重要的突破口，能有效考查学生的逻辑推理能力和对相似知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
14. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = 10\ \mathrm{cm}$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$. 点$M$从点$C$出发，以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$CA$向点$A$匀速运动，点$N$从点$B$出发，以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$向点$C$匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动.
(1)经过几秒后，$△ MCN$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{2}{5}$？
(2)经过几秒后，$△ MCN$与$△ ABC$相似？
(1)经过几秒后，$△ MCN$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{2}{5}$？
(2)经过几秒后，$△ MCN$与$△ ABC$相似？
答案
14.解:(1)设经过$x$ s后,$△ MCN$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{2}{5}$.根据题意,得$\frac{1}{2}× 2x(8-x)=\frac{1}{2}× 8× 10× \frac{2}{5}$,解得$x_1=x_2=4$.答:经过4 s后,$△ MCN$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{2}{5}$. (2)设经过$t$ s,$△ MCN$与$△ ABC$相似.$\because ∠ C=∠ C,\therefore$可分两种情况讨论: ①$\frac{MC}{BC}=\frac{NC}{AC}$,即$\frac{2t}{8}=\frac{8-t}{10}$,解得$t=\frac{16}{7}$;②$\frac{MC}{AC}=\frac{NC}{BC}$,即$\frac{2t}{10}=\frac{8-t}{8}$,解得$t=\frac{40}{13}$.答:经过$\frac{16}{7}$ s或$\frac{40}{13}$ s后,$△ MCN$与$△ ABC$相似.
解析
【分析】
(1) 先计算△ABC的面积，设运动时间为x s，用含x的代数式分别表示出△MCN的两条直角边MC、NC的长度：MC为点M的运动路程，即2x cm；NC为BC减去点N的运动路程，即(8-x) cm。再根据“△MCN的面积等于△ABC面积的$\frac{2}{5}$”的等量关系列一元二次方程，求解后验证解是否符合运动时间的取值范围即可。
(2) 两个三角形有公共直角∠C，根据两边成比例且夹角相等的相似判定定理，需分两种对应情况讨论：第一种是MC与BC为对应边、NC与AC为对应边；第二种是MC与AC为对应边、NC与BC为对应边，分别列比例式求解，验证解的合理性即可。
【解析】
(1) 设经过$x$ s后，$△ MCN$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{2}{5}$。
首先计算$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×10×8=40\ \mathrm{cm^2}$，
此时$MC=2x\ \mathrm{cm}$，$NC=BC-BN=(8-x)\ \mathrm{cm}$，$∠ C=90°$，
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}× 2x(8-x)=\frac{1}{2}× 8× 10× \frac{2}{5}$
化简得$x^2-8x+16=0$，解得$x_1=x_2=4$，
验证可知$x=4$在运动时间的取值范围内（点M最多运动$10÷2=5$ s，点N最多运动$8÷1=8$ s，故$0≤ x≤5$），符合题意。
(2) 设经过$t$ s，$△ MCN$与$△ ABC$相似，此时$MC=2t\ \mathrm{cm}$，$NC=(8-t)\ \mathrm{cm}$，$0≤ t≤5$。
$\because ∠ C=∠ C=90°$，分两种情况讨论：
① 当$\frac{MC}{BC}=\frac{NC}{AC}$时，$△ MCN ∽ △ BCA$，
代入得$\frac{2t}{8}=\frac{8-t}{10}$，解得$t=\frac{16}{7}$，符合取值范围；
② 当$\frac{MC}{AC}=\frac{NC}{BC}$时，$△ MCN ∽ △ ACB$，
代入得$\frac{2t}{10}=\frac{8-t}{8}$，解得$t=\frac{40}{13}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{4\ \mathrm{s}}$；(2) $\boxed{\frac{16}{7}\ \mathrm{s}}$或$\boxed{\frac{40}{13}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
一元二次方程应用，相似三角形判定，三角形面积计算
【点评】
本题是动点综合问题，结合了面积计算、方程求解和相似判定的相关知识，解题核心是用含时间的代数式表示出动点形成的线段长度，相似问题要注意分类讨论不同的对应边关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 先计算△ABC的面积，设运动时间为x s，用含x的代数式分别表示出△MCN的两条直角边MC、NC的长度：MC为点M的运动路程，即2x cm；NC为BC减去点N的运动路程，即(8-x) cm。再根据“△MCN的面积等于△ABC面积的$\frac{2}{5}$”的等量关系列一元二次方程，求解后验证解是否符合运动时间的取值范围即可。
(2) 两个三角形有公共直角∠C，根据两边成比例且夹角相等的相似判定定理，需分两种对应情况讨论：第一种是MC与BC为对应边、NC与AC为对应边；第二种是MC与AC为对应边、NC与BC为对应边，分别列比例式求解，验证解的合理性即可。
【解析】
(1) 设经过$x$ s后，$△ MCN$的面积等于$△ ABC$面积的$\frac{2}{5}$。
首先计算$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×10×8=40\ \mathrm{cm^2}$，
此时$MC=2x\ \mathrm{cm}$，$NC=BC-BN=(8-x)\ \mathrm{cm}$，$∠ C=90°$，
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}× 2x(8-x)=\frac{1}{2}× 8× 10× \frac{2}{5}$
化简得$x^2-8x+16=0$，解得$x_1=x_2=4$，
验证可知$x=4$在运动时间的取值范围内（点M最多运动$10÷2=5$ s，点N最多运动$8÷1=8$ s，故$0≤ x≤5$），符合题意。
(2) 设经过$t$ s，$△ MCN$与$△ ABC$相似，此时$MC=2t\ \mathrm{cm}$，$NC=(8-t)\ \mathrm{cm}$，$0≤ t≤5$。
$\because ∠ C=∠ C=90°$，分两种情况讨论：
① 当$\frac{MC}{BC}=\frac{NC}{AC}$时，$△ MCN ∽ △ BCA$，
代入得$\frac{2t}{8}=\frac{8-t}{10}$，解得$t=\frac{16}{7}$，符合取值范围；
② 当$\frac{MC}{AC}=\frac{NC}{BC}$时，$△ MCN ∽ △ ACB$，
代入得$\frac{2t}{10}=\frac{8-t}{8}$，解得$t=\frac{40}{13}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{4\ \mathrm{s}}$；(2) $\boxed{\frac{16}{7}\ \mathrm{s}}$或$\boxed{\frac{40}{13}\ \mathrm{s}}$
【知识点】
一元二次方程应用，相似三角形判定，三角形面积计算
【点评】
本题是动点综合问题，结合了面积计算、方程求解和相似判定的相关知识，解题核心是用含时间的代数式表示出动点形成的线段长度，相似问题要注意分类讨论不同的对应边关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
