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1. 如图，若$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{(\quad)}=\frac{AC}{AE}$，则$△ BAC ∽ △ DAE$. 括号内应填入
DE
.答案
1. DE
解析
【分析】
本题考查利用三边成比例判定三角形相似，解题时先明确相似三角形的对应关系：已知△BAC∽△DAE，顶点的书写顺序对应为B对应D、A对应A、C对应E，因此三组对应边分别为AB与AD、BC与DE、AC与AE。结合三边成比例的判定要求，三组对应边的比值相等，即可推出BC对应的分母为DE。
【解析】
解：根据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，若两个三角形相似，则三组对应边的比值相等。
由△BAC∽△DAE的顶点对应关系可得：AB对应AD，BC对应DE，AC对应AE，因此比例式为$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，所以括号内应填入DE。
【答案】
DE
【知识点】
相似三角形三边判定、相似三角形对应关系
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题核心是通过相似三角形的顶点书写顺序快速找准对应边，避免对应边混淆即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题考查利用三边成比例判定三角形相似，解题时先明确相似三角形的对应关系：已知△BAC∽△DAE，顶点的书写顺序对应为B对应D、A对应A、C对应E，因此三组对应边分别为AB与AD、BC与DE、AC与AE。结合三边成比例的判定要求，三组对应边的比值相等，即可推出BC对应的分母为DE。
【解析】
解：根据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，若两个三角形相似，则三组对应边的比值相等。
由△BAC∽△DAE的顶点对应关系可得：AB对应AD，BC对应DE，AC对应AE，因此比例式为$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，所以括号内应填入DE。
【答案】
DE
【知识点】
相似三角形三边判定、相似三角形对应关系
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题核心是通过相似三角形的顶点书写顺序快速找准对应边，避免对应边混淆即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知$△ ABC$的三边长分别为$\sqrt{2},\sqrt{6},2$，$△ A'B'C'$的两边长分别为 1 和$\sqrt{3}$. 当$△ A'B'C'$第三边的长为________时，$△ ABC$与$△ A'B'C'$相似.
答案
2. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
要判定两个三角形相似，根据三边成比例的判定定理，需先明确两个三角形三边的对应比例关系。首先将△ABC的三边按从小到大排序，计算出其三边的最简比，再结合△A'B'C'已知的两边，找到对应比例中缺少的项，即可求出第三边的长度。解题时要注意先排序边长再找对应，避免对应边匹配错误。
【解析】
第一步：将△ABC的三边长按从小到大排列：$\sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{6}$，对三边比进行化简：
$\sqrt{2}:2:\sqrt{6}=(\sqrt{2}÷\sqrt{2}):(2÷\sqrt{2}):(\sqrt{6}÷\sqrt{2})=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
第二步：根据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，可知△A'B'C'的三边比也需为$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
第三步：设△A'B'C'第三边长为$x$，已知△A'B'C'的两边长为1和$\sqrt{3}$，对应上述比例的第一项和第三项，因此可列比例式：
$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{x}$
计算得公共相似比为$\sqrt{2}$，因此$\frac{2}{x}=\sqrt{2}$，解得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形三边判定、二次根式化简、相似比计算
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，核心考查三边成比例的相似判定方法，解题的关键是先对已知三角形的边长排序并化简三边比例，再匹配对应边求解，能很好地锻炼学生对应边匹配的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
要判定两个三角形相似，根据三边成比例的判定定理，需先明确两个三角形三边的对应比例关系。首先将△ABC的三边按从小到大排序，计算出其三边的最简比，再结合△A'B'C'已知的两边，找到对应比例中缺少的项，即可求出第三边的长度。解题时要注意先排序边长再找对应，避免对应边匹配错误。
【解析】
第一步：将△ABC的三边长按从小到大排列：$\sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{6}$，对三边比进行化简：
$\sqrt{2}:2:\sqrt{6}=(\sqrt{2}÷\sqrt{2}):(2÷\sqrt{2}):(\sqrt{6}÷\sqrt{2})=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
第二步：根据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，可知△A'B'C'的三边比也需为$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
第三步：设△A'B'C'第三边长为$x$，已知△A'B'C'的两边长为1和$\sqrt{3}$，对应上述比例的第一项和第三项，因此可列比例式：
$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{x}$
计算得公共相似比为$\sqrt{2}$，因此$\frac{2}{x}=\sqrt{2}$，解得$x=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形三边判定、二次根式化简、相似比计算
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，核心考查三边成比例的相似判定方法，解题的关键是先对已知三角形的边长排序并化简三边比例，再匹配对应边求解，能很好地锻炼学生对应边匹配的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
3. 下列数据分别表示两个三角形的三边长，则两个三角形相似的是（
A.2,4,5与4,9,12
B.3,5,7与$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}$
C.3,2,4与9,12,6
D.2.5,5,4与0.5,1.1,1.5
C
）A.2,4,5与4,9,12
B.3,5,7与$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7}$
C.3,2,4与9,12,6
D.2.5,5,4与0.5,1.1,1.5
答案
3. C
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，需依据“三边对应成比例的两个三角形相似”这一判定定理解题。解题步骤为：①先将每组中两个三角形的三边长分别按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②依次计算三组对应边的比值；③判断三个比值是否完全相等，相等则两三角形相似，否则不相似。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，逐一分析选项：
A选项：第一个三角形三边长从小到大排序为2，4，5；第二个为4，9，12。对应边比值：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{4}{9}≠\frac{1}{2}$，比值不相等，两三角形不相似。
B选项：第一个三角形三边长从小到大排序为3，5，7；第二个为$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$。对应边比值：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，$\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，比值不相等，两三角形不相似。
C选项：第一个三角形三边长从小到大排序为2，3，4；第二个三角形三边长9，12，6从小到大排序为6，9，12。对应边比值：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，三组比值均相等，两三角形相似。
D选项：第一个三角形三边长从小到大排序为2.5，4，5；第二个为0.5，1.1，1.5。对应边比值：$\frac{2.5}{0.5}=5$，$\frac{4}{1.1}\approx3.64≠5$，比值不相等，两三角形不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形三边判定、比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先对两组边长统一排序，找准对应边再计算比值，避免因对应边匹配错误失分。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，需依据“三边对应成比例的两个三角形相似”这一判定定理解题。解题步骤为：①先将每组中两个三角形的三边长分别按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②依次计算三组对应边的比值；③判断三个比值是否完全相等，相等则两三角形相似，否则不相似。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，逐一分析选项：
A选项：第一个三角形三边长从小到大排序为2，4，5；第二个为4，9，12。对应边比值：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{4}{9}≠\frac{1}{2}$，比值不相等，两三角形不相似。
B选项：第一个三角形三边长从小到大排序为3，5，7；第二个为$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$。对应边比值：$\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，$\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，$\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，比值不相等，两三角形不相似。
C选项：第一个三角形三边长从小到大排序为2，3，4；第二个三角形三边长9，12，6从小到大排序为6，9，12。对应边比值：$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，三组比值均相等，两三角形相似。
D选项：第一个三角形三边长从小到大排序为2.5，4，5；第二个为0.5，1.1，1.5。对应边比值：$\frac{2.5}{0.5}=5$，$\frac{4}{1.1}\approx3.64≠5$，比值不相等，两三角形不相似。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形三边判定、比例计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题关键是先对两组边长统一排序，找准对应边再计算比值，避免因对应边匹配错误失分。
【难度系数】
0.8
4.若将$△ ABC$的每条边长增加各自的10%得到$△ A'B'C'$，则$∠ B'$的度数与其对应角$∠ B$的度数相比 （
A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了$(1+10\%)$
D.没有改变
D
）A.增加了10%
B.减少了10%
C.增加了$(1+10\%)$
D.没有改变
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先要明确边长增加10%的含义：新边长是原边长的1.1倍，由此可得到两个三角形三组对应边的比值相等。结合相似三角形的判定定理“三边成比例的两个三角形相似”，可判断两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等的性质，就能得出对应角∠B'和∠B的大小关系。
【解析】
设△ABC的三边长分别为a、b、c，
将每条边长增加各自的10%后，△A'B'C'的三边长分别为1.1a、1.1b、1.1c。
计算对应边的比值：
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{1.1c}{c}=1.1$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{1.1a}{a}=1.1$，$\frac{A'C'}{AC}=\frac{1.1b}{b}=1.1$，
即△ABC与△A'B'C'的三组对应边成比例，
根据三边成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△A'B'C'。
又因为相似三角形的对应角相等，所以∠B'=∠B，即∠B'的度数没有改变。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题的核心是根据边长的变化关系推导得到两个三角形相似，是对基础知识点的常规考查，掌握相似三角形的相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确边长增加10%的含义：新边长是原边长的1.1倍，由此可得到两个三角形三组对应边的比值相等。结合相似三角形的判定定理“三边成比例的两个三角形相似”，可判断两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等的性质，就能得出对应角∠B'和∠B的大小关系。
【解析】
设△ABC的三边长分别为a、b、c，
将每条边长增加各自的10%后，△A'B'C'的三边长分别为1.1a、1.1b、1.1c。
计算对应边的比值：
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{1.1c}{c}=1.1$，$\frac{B'C'}{BC}=\frac{1.1a}{a}=1.1$，$\frac{A'C'}{AC}=\frac{1.1b}{b}=1.1$，
即△ABC与△A'B'C'的三组对应边成比例，
根据三边成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△A'B'C'。
又因为相似三角形的对应角相等，所以∠B'=∠B，即∠B'的度数没有改变。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题的核心是根据边长的变化关系推导得到两个三角形相似，是对基础知识点的常规考查，掌握相似三角形的相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
5.(教材习题变式)如图，若$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，$∠ BAE=30°$，$∠ BAC=70°$，则$∠ DAB=$（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
C
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
5. C
解析
【分析】
首先观察已知条件，给出了两个三角形三组对应边的比相等，根据相似三角形的判定定理，三边成比例的两个三角形相似，可推出△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应角相等得到∠DAE=∠BAC，最后结合角的和差关系，用∠DAE减去∠BAE即可求出∠DAB的度数。
【解析】
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$（三边成比例的两个三角形相似）
∴ $∠ DAE = ∠ BAC = 70°$
又
∵ $∠ BAE = 30°$
∴ $∠ DAB = ∠ DAE - ∠ BAE = 70° - 30° = 40°$
故选C
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用类题目，解题的核心是先通过三边成比例判定三角形相似，得到对应角相等后结合角的和差关系计算待求角度，解题时要注意准确识别相似三角形的对应角。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，给出了两个三角形三组对应边的比相等，根据相似三角形的判定定理，三边成比例的两个三角形相似，可推出△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应角相等得到∠DAE=∠BAC，最后结合角的和差关系，用∠DAE减去∠BAE即可求出∠DAB的度数。
【解析】
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$
∴ $△ ABC ∽ △ ADE$（三边成比例的两个三角形相似）
∴ $∠ DAE = ∠ BAC = 70°$
又
∵ $∠ BAE = 30°$
∴ $∠ DAB = ∠ DAE - ∠ BAE = 70° - 30° = 40°$
故选C
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用类题目，解题的核心是先通过三边成比例判定三角形相似，得到对应角相等后结合角的和差关系计算待求角度，解题时要注意准确识别相似三角形的对应角。
【难度系数】
0.7
6. A教材经典图形·三角形三边中点 如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是CA,AB,BC的中点.求证:$△ ABC ∽ △ FDE$.
答案
6. 证明: $\because D,E,F$分别是$CA,AB,BC$的中点, $\therefore DE,DF,EF$是$△ ABC$的中位线. $\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{FD}=\frac{AC}{FE}=2. \therefore △ ABC∽△ FDE.$
解析
【分析】
要证明两个三角形相似，已知D、E、F是△ABC三边的中点，首先联想到三角形中位线的性质：三角形的中位线等于第三边的一半。通过该性质可以推导出△FDE的三边与△ABC的三边的对应比值相等，再利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理即可完成证明。解题时先由中点推导出中位线，再由中位线性质得到三边比例关系，最后套用相似判定定理得出结论。
【解析】
证明：$\because D,E,F$分别是$CA,AB,BC$的中点,
$\therefore DE,DF,EF$是$△ ABC$的中位线.
根据三角形中位线性质，可得$DE=\frac{1}{2}BC$，$FD=\frac{1}{2}AB$，$FE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{FD}=\frac{AC}{FE}=2$.
由三边对应成比例的两个三角形相似，可证得$△ ABC∽△ FDE$.
【答案】
证明: $\because D,E,F$分别是$CA,AB,BC$的中点, $\therefore DE,DF,EF$是$△ ABC$的中位线. $\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{FD}=\frac{AC}{FE}=2. \therefore △ ABC∽△ FDE.$
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是利用中位线性质得到两个三角形三边的比例关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要证明两个三角形相似，已知D、E、F是△ABC三边的中点，首先联想到三角形中位线的性质：三角形的中位线等于第三边的一半。通过该性质可以推导出△FDE的三边与△ABC的三边的对应比值相等，再利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理即可完成证明。解题时先由中点推导出中位线，再由中位线性质得到三边比例关系，最后套用相似判定定理得出结论。
【解析】
证明：$\because D,E,F$分别是$CA,AB,BC$的中点,
$\therefore DE,DF,EF$是$△ ABC$的中位线.
根据三角形中位线性质，可得$DE=\frac{1}{2}BC$，$FD=\frac{1}{2}AB$，$FE=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{FD}=\frac{AC}{FE}=2$.
由三边对应成比例的两个三角形相似，可证得$△ ABC∽△ FDE$.
【答案】
证明: $\because D,E,F$分别是$CA,AB,BC$的中点, $\therefore DE,DF,EF$是$△ ABC$的中位线. $\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{FD}=\frac{AC}{FE}=2. \therefore △ ABC∽△ FDE.$
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题核心是利用中位线性质得到两个三角形三边的比例关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
7.(教材习题变式)在方格纸中,每个小方格的顶点叫作格点,以格点连线为边的图形叫作格点图形.如图,方格纸中小方格是边长为1的正方形,试判断格点图形△ABC与△DEF是否相似,并说明理由.
答案
7. 解: $△ ABC∽△ DEF$. 理由如下:根据勾股定理,易求得 $DE=\sqrt{2}$,$DF=2,EF=\sqrt{10},AB=\sqrt{5},AC=\sqrt{10},BC=5. \therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{2}. \therefore △ ABC∽△ DEF.$
解析
【分析】
要判断两个格点三角形是否相似，题目未给出角的相关条件，因此优先采用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法。解题步骤如下：第一步，利用勾股定理分别计算△ABC和△DEF的三条边长；第二步，计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值完全相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
解：$△ ABC∽△ DEF$，理由如下：
已知每个小方格的边长为1，根据勾股定理计算两个三角形的各边长度：
在$△ DEF$中：
$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$DF=2$，
$EF=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
在$△ ABC$中：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
$BC=5$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，
根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC∽△ DEF$。
【答案】
$△ ABC∽△ DEF$
【知识点】
勾股定理；相似三角形判定；格点线段计算
【点评】
本题是格点图形相似判定的典型基础题，解题核心是准确运用勾股定理计算各边长度，再验证三边比值是否相等，解题时需要注意找准两个三角形的对应边，避免因对应边匹配错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
要判断两个格点三角形是否相似，题目未给出角的相关条件，因此优先采用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法。解题步骤如下：第一步，利用勾股定理分别计算△ABC和△DEF的三条边长；第二步，计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边的比值完全相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
解：$△ ABC∽△ DEF$，理由如下：
已知每个小方格的边长为1，根据勾股定理计算两个三角形的各边长度：
在$△ DEF$中：
$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$DF=2$，
$EF=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
在$△ ABC$中：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
$BC=5$。
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，
根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC∽△ DEF$。
【答案】
$△ ABC∽△ DEF$
【知识点】
勾股定理；相似三角形判定；格点线段计算
【点评】
本题是格点图形相似判定的典型基础题，解题核心是准确运用勾股定理计算各边长度，再验证三边比值是否相等，解题时需要注意找准两个三角形的对应边，避免因对应边匹配错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
8.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，当另一个直角三角形的三边长分别是3，4，
5或$\sqrt{7}$
时，这两个三角形相似。答案
8. 5或$\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时首先要对第一个直角三角形的边长进行分类讨论：因为题目未明确6和8是直角边还是其中一条为斜边，因此需分两种情况计算第一个直角三角形的第三边；再结合相似三角形三边对应成比例的判定规则，观察到第二个三角形的边长3、4分别是第一个三角形边长6、8的$\frac{1}{2}$，可得相似比为$1:2$，对应计算两种情况下第二个三角形的第三边即可，最后验证所求第三边能构成直角三角形。
【解析】
分两种情况讨论第一个直角三角形的边长：
1. 当边长6和8均为直角边时：
由勾股定理得，第一个直角三角形的斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$，即第一个三角形三边长为6、8、10。
已知第二个三角形有两边3、4，且$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，即两三角形相似比为$\frac{1}{2}$，因此第二个三角形的第三边为$10×\frac{1}{2}=5$，验证$3^2+4^2=5^2$，符合直角三角形要求。
2. 当边长8为第一个直角三角形的斜边时：
由勾股定理得，第一个直角三角形的另一条直角边长为$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，即第一个三角形三边长为6、$2\sqrt{7}$、8。
同理相似比为$\frac{1}{2}$，因此第二个三角形的第三边为$2\sqrt{7}×\frac{1}{2}=\sqrt{7}$，验证$3^2+(\sqrt{7})^2=4^2$，符合直角三角形要求。
综上，第三个边长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形三边成比例判定
【点评】
本题的易错点是忽略对直角三角形已知边的分类讨论，默认6和8均为直角边导致漏解，解题时需注意：直角三角形已知两边求第三边时，要先判断较长边是否为斜边，再结合勾股定理和相似的性质求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要对第一个直角三角形的边长进行分类讨论：因为题目未明确6和8是直角边还是其中一条为斜边，因此需分两种情况计算第一个直角三角形的第三边；再结合相似三角形三边对应成比例的判定规则，观察到第二个三角形的边长3、4分别是第一个三角形边长6、8的$\frac{1}{2}$，可得相似比为$1:2$，对应计算两种情况下第二个三角形的第三边即可，最后验证所求第三边能构成直角三角形。
【解析】
分两种情况讨论第一个直角三角形的边长：
1. 当边长6和8均为直角边时：
由勾股定理得，第一个直角三角形的斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$，即第一个三角形三边长为6、8、10。
已知第二个三角形有两边3、4，且$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，即两三角形相似比为$\frac{1}{2}$，因此第二个三角形的第三边为$10×\frac{1}{2}=5$，验证$3^2+4^2=5^2$，符合直角三角形要求。
2. 当边长8为第一个直角三角形的斜边时：
由勾股定理得，第一个直角三角形的另一条直角边长为$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，即第一个三角形三边长为6、$2\sqrt{7}$、8。
同理相似比为$\frac{1}{2}$，因此第二个三角形的第三边为$2\sqrt{7}×\frac{1}{2}=\sqrt{7}$，验证$3^2+(\sqrt{7})^2=4^2$，符合直角三角形要求。
综上，第三个边长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 相似三角形三边成比例判定
【点评】
本题的易错点是忽略对直角三角形已知边的分类讨论，默认6和8均为直角边导致漏解，解题时需注意：直角三角形已知两边求第三边时，要先判断较长边是否为斜边，再结合勾股定理和相似的性质求解。
【难度系数】
0.6
