9. 观察下列每组三角形,不能判定相似的是（）

9. D

【分析】
要判断哪组三角形不能判定相似，需结合相似三角形的三类常用判定定理逐一分析每个选项：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似。依次验证四个选项是否满足以上判定条件即可得出答案。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：两个三角形的三边长分别为4、6、5和2、3、2.5，计算边长比得$\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{5}{2.5}=2$，三边对应成比例，可判定两三角形相似。
选项B：两个三角形中，$\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2$，且这两组对应边的夹角均为$58°$，满足两边成比例且夹角相等，可判定两三角形相似。
选项C：两个三角形有一组对顶角相等，同时存在一组$40°$的对应角相等，满足两角分别相等，可判定两三角形相似。
选项D：两个三角形仅存在一组$35°$的角相等，无其他对应角相等的条件，也无对应边成比例的关系，无法判定两三角形相似。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，相等的角必须是两组对应边的夹角，同时要找准对应边、对应角，避免因对应关系判断错误失分。
【难度系数】
0.7

10. NEW 生活情境·象棋 在如图所示的象棋棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，当“马”落在位置处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 ()


A.①
B.②
C.③
D.④

10. B

【分析】
要解决本题，需结合勾股定理和相似三角形的三边判定规则解题：第一步设每个小正方形边长为1，先计算“帅”“相”“兵”构成三角形的三边长；第二步计算“车”“炮”两点的距离，结合相似三角形三边成比例的性质，推导“马”“车”“炮”构成三角形需满足的边长；第三步分别计算马落在四个位置时对应三角形的三边长，验证是否符合三边成比例的要求即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算“帅”“相”“兵”构成三角形的三边长：
相到兵的距离为2；
帅到相的距离：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
帅到兵的距离：$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
即该三角形三边长从小到大依次为$2$，$2\sqrt{5}$，$4\sqrt{2}$。
2. 计算“车”“炮”的距离：车和炮在同一行，列数差1，故距离为1。
3. 若两个三角形相似，结合最小边的长度，可得相似比为$1:2$，则“马”“车”“炮”构成的三角形另外两边长应为$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$。
4. 逐一验证四个位置：
马在①处：三边长为$1$，$3$，$\sqrt{10}$，不符合要求；
马在②处：到炮的距离为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，到车的距离为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边长为$1$，$\sqrt{5}$，$2\sqrt{2}$，三边对应成比例，两个三角形相似；
马在③处：三边长为$1$，$\sqrt{13}$，$2\sqrt{5}$，不符合要求；
马在④处：三边长为$1$，$5$，$\sqrt{34}$，不符合要求。
综上，马落在②处符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
本题结合象棋的生活情境出题，既考查了网格中线段长度的计算方法，也考查了相似三角形的判定规则，解题时需要细心计算各边长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

11.(教材习题变式)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别为 .

11. 2.5,3或$\frac{4}{3},\frac{5}{3}$或1.6,2.4

【分析】
两个形状相同的三角形是相似三角形，根据相似三角形的性质，对应边成比例。由于题目未明确边长为2的边与已知三角形的哪条边对应，因此需要分三种情况讨论：①边长为2的边对应长为4的边；②边长为2的边对应长为5的边；③边长为2的边对应长为6的边，分别根据相似比计算另外两边，最后验证是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
已知两个三角形形状相同，故两三角形相似，对应边成比例。设另一个三角形的另外两边长分别为$x$、$y$，分三种情况讨论：
1. 当边长为2的边与边长为4的边是对应边时，相似比$k=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，则：
$\frac{x}{5}=\frac{1}{2}$，解得$x=2.5$；
$\frac{y}{6}=\frac{1}{2}$，解得$y=3$；
2. 当边长为2的边与边长为5的边是对应边时，相似比$k=\frac{2}{5}$，则：
$\frac{x}{4}=\frac{2}{5}$，解得$x=1.6$；
$\frac{y}{6}=\frac{2}{5}$，解得$y=2.4$；
3. 当边长为2的边与边长为6的边是对应边时，相似比$k=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，则：
$\frac{x}{4}=\frac{1}{3}$，解得$x=\frac{4}{3}$；
$\frac{y}{5}=\frac{1}{3}$，解得$y=\frac{5}{3}$；
以上三组解均满足三角形三边关系，均符合题意。
【答案】
2.5，3或$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$或1.6，2.4
【知识点】
相似三角形的性质；分类讨论思想；三角形三边关系
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用，解题的关键点是注意边的对应关系不明确时需分类讨论，防止漏解，得到结果后要验证是否符合三角形三边的构成条件。
【难度系数】
0.6

12.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$是△DEF边上的5个格点,请按要求解答下列各题:

(1)求证:△ABC是直角三角形.
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由.
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的3个格点,并且与△ABC相似.

12. 解:(1)证明:根据勾股定理,得 $AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5$,则 $AB^2+AC^2=BC^2. \therefore △ ABC$ 是直角三角形. (2) $△ ABC∽△ DEF$. 理由:根据勾股定理,得 $AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF=2\sqrt{10}. \therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \therefore △ ABC∽△ DEF.$ (3)图略.

【分析】
(1) 要证明△ABC是直角三角形，可选用勾股定理逆定理：首先结合网格，用勾股定理求出△ABC三条边的长度，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可完成证明。
(2) 判断两个三角形是否相似，本题可用三边成比例的相似判定定理：先计算出△DEF三条边的长度，再分别计算两个三角形三组对应边的比值，若三组比值相等，则两个三角形相似。
(3) 要从5个格点中选3个构造与△ABC相似的三角形，先确定△ABC的三边长度比，再找到三边长比值与它完全相同的三个格点即可。
【解析】
(1) 证明：设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算△ABC各边长度：
$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵ $AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25$，$BC^2=5^2=25$
∴ $AB^2+AC^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。
(2) $△ ABC ∽ △ DEF$，理由如下：
根据勾股定理计算△DEF各边长度：
$DE=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$
计算对应边比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，根据三边成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ DEF$。
(3) 从$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中选取三边长度比为$1:2:\sqrt{5}$的三个格点，按要求画出三角形即可。
【答案】
(1) △ABC是直角三角形，证明成立；
(2) $△ ABC ∽ △ DEF$；
(3) 图略。
【知识点】
勾股定理；勾股定理逆定理；相似三角形三边判定
【点评】
本题以网格为背景，综合考查了直角三角形和相似三角形的判定方法，解题关键是准确计算格点线段的长度，再结合对应定理完成判断，属于基础能力考查题。
【难度系数】
0.7

13. ▲教材经典结论 学习“相似三角形的判定”后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“满足一边和一锐角对应相等或两直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，可以得到:“满足或的两个直角三角形相似”.
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，可以得到:“满足的两个直角三角形相似”.
请结合所给图形，写出已知，并完成说明过程.
已知:如图，.
试说明:$\mathrm{Rt}△ ABC∽\mathrm{Rt}△ A'B'C'$.

13. 解:(1)一个锐角对应相等 两直角边对应成比例 (2)斜边和一条直角边对应成比例 在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△A'B'C'$中,$∠C=∠C'=90°,\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$ 设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$,则$AB=kA'B'$,$AC=kA'C'$. 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 和 $\mathrm{Rt} △ A' B' C'$ 中, $\frac{BC}{B'C'} =\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}} =k, \therefore \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} =\frac{BC}{B'C'}. \therefore \mathrm{Rt}△ ABC∽\mathrm{Rt}△ A'B'C'.$

【分析】
本题类比直角三角形全等的判定定理，推导直角三角形相似的判定条件，解题思路如下：
1. 第(1)问：全等要求对应量相等，相似要求对应量成比例。直角三角形本身存在一对相等的直角，若再有一个锐角对应相等，满足“两角分别相等的两个三角形相似”；若两直角边对应成比例，结合直角作为夹角相等，满足“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可判定相似。
2. 第(2)问：类比斜边直角边（HL）的全等判定，将“对应相等”替换为“对应成比例”，得到对应的相似判定条件。证明时可设比例系数为k，利用勾股定理表示出两个三角形的第三条边，推导得出第三边的比值也为k，即可得到三边对应成比例，证明两个直角三角形相似。
【解析】
(1) 由相似三角形的判定定理可知：有一个锐角对应相等的两个直角三角形，两角分别相等，故相似；两直角边对应成比例的两个直角三角形，两边成比例且夹角（直角）相等，故相似。
(2) 类比全等的HL判定，可得：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
已知：在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△A'B'C'$中，$∠ C=∠ C'=90°$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$。
证明过程：
设$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k(k＞0)$，则$AB=kA'B'$，$AC=kA'C'$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$；在$\mathrm{Rt}△A'B'C'$中，由勾股定理得$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$。
$\therefore \frac{BC}{B'C'}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{\sqrt{k^2A'B'^2-k^2A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=\frac{k\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}{\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}}=k$
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，根据三边成比例的两个三角形相似，可得$\mathrm{Rt}△ABC∽\mathrm{Rt}△A'B'C'$。
【答案】
(1) 一个锐角对应相等；两直角边对应成比例
(2) 斜边和一条直角边对应成比例；在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△A'B'C'$中,$∠C=∠C'=90°,\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$；$\mathrm{Rt}△ ABC∽\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，证明过程如上。
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题借助全等三角形的判定方法类比探究直角三角形相似的判定，体现了类比的数学思想，解题时要注意区分全等“对应量相等”和相似“对应量成比例”的条件差异，掌握相似三角形的判定定理和勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7