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1. 在$△ ABC$和$△ A_{1}B_{1}C_{1}$中，$∠ C=∠ C_{1}=90°$，$AC=12$，$AB=15$，$A_{1}C_{1}=8$，要使$△ ABC ∽ △ A_{1}B_{1}C_{1}$，则$A_{1}B_{1}$的长为（
A.8
B.10
C.12
D.14
B
）A.8
B.10
C.12
D.14
答案
1.B
解析
【分析】
本题是直角三角形相似的应用类题目，解题思路如下：首先明确两个三角形均为直角三角形，且题目给出相似的对应关系为△ABC∽△A₁B₁C₁，因此对应边成比例；接下来找准对应边：∠C和∠C₁是对应直角，因此AC与A₁C₁是一组对应直角边，AB与A₁B₁是一组对应斜边；最后根据相似三角形对应边成比例列比例式，代入已知数值求解即可得到A₁B₁的长度。
【解析】
解：
∵ ∠C=∠C₁=90°，且△ABC∽△A₁B₁C₁
∴ 两个三角形的对应边成比例，即 $\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$
将AC=12，A₁C₁=8，AB=15代入比例式得：
$\frac{12}{8}=\frac{15}{A_1B_1}$
交叉相乘得：$12A_1B_1=15×8=120$
解得：$A_1B_1=10$
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形相似的判定
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是根据相似三角形的顶点对应顺序准确找到对应边，再利用相似的性质列比例式计算，注意不要混淆对应边的位置导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形相似的应用类题目，解题思路如下：首先明确两个三角形均为直角三角形，且题目给出相似的对应关系为△ABC∽△A₁B₁C₁，因此对应边成比例；接下来找准对应边：∠C和∠C₁是对应直角，因此AC与A₁C₁是一组对应直角边，AB与A₁B₁是一组对应斜边；最后根据相似三角形对应边成比例列比例式，代入已知数值求解即可得到A₁B₁的长度。
【解析】
解：
∵ ∠C=∠C₁=90°，且△ABC∽△A₁B₁C₁
∴ 两个三角形的对应边成比例，即 $\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AB}{A_1B_1}$
将AC=12，A₁C₁=8，AB=15代入比例式得：
$\frac{12}{8}=\frac{15}{A_1B_1}$
交叉相乘得：$12A_1B_1=15×8=120$
解得：$A_1B_1=10$
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形相似的判定
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是根据相似三角形的顶点对应顺序准确找到对应边，再利用相似的性质列比例式计算，注意不要混淆对应边的位置导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$∠ ACB=∠ D=90°$，已知$AB=10$，$BC=8$.当$DB=$
4.8
时，$△ ABC ∽ △ BCD$.答案
2.4.8
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确已知条件：△ACB和△BCD都是直角三角形，∠ACB=∠D=90°，已知AB、BC的长度，要使△ABC∽△BCD，我们可以先用勾股定理求出Rt△ACB中未知直角边AC的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于BD的比例式，求解即可得到BD的长度。
【解析】
首先在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
因为$△ ABC ∽ △ BCD$，且$∠ ACB=∠ D=90°$，所以相似三角形对应边成比例，即：
$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BD}$
将$AB=10$，$BC=8$，$AC=6$代入比例式：
$\frac{10}{8}=\frac{6}{BD}$
交叉相乘得：$10BD=6×8=48$
解得：$BD=\frac{48}{10}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；直角三角形相似的判定
【点评】
本题是相似三角形判定和性质的基础应用，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边，结合勾股定理计算未知边长，再通过比例式求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确已知条件：△ACB和△BCD都是直角三角形，∠ACB=∠D=90°，已知AB、BC的长度，要使△ABC∽△BCD，我们可以先用勾股定理求出Rt△ACB中未知直角边AC的长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出关于BD的比例式，求解即可得到BD的长度。
【解析】
首先在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$
因为$△ ABC ∽ △ BCD$，且$∠ ACB=∠ D=90°$，所以相似三角形对应边成比例，即：
$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BD}$
将$AB=10$，$BC=8$，$AC=6$代入比例式：
$\frac{10}{8}=\frac{6}{BD}$
交叉相乘得：$10BD=6×8=48$
解得：$BD=\frac{48}{10}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；直角三角形相似的判定
【点评】
本题是相似三角形判定和性质的基础应用，解题的核心是准确找到相似三角形的对应边，结合勾股定理计算未知边长，再通过比例式求解即可。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,D是边BC上一点,已知$CD=1$,$AD=\sqrt{5}$,$AB=2\sqrt{5}$.求证:$Rt△ ADC ∽ Rt△ BAC$. 
答案
证明：
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5-1} = 2.$
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$AB=2\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20-4} = 4.$
计算对应边比值：
$\frac{CD}{AC} = \frac{1}{2},\quad \frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\quad \frac{AD}{BA} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2},$
即$\frac{CD}{AC} = \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BA}$。
又$\because ∠ C = 90°$，两个三角形均为直角三角形，斜边与直角边对应成比例，
$\therefore Rt△ ADC ∽ Rt△ BAC$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5-1} = 2.$
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$AB=2\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20-4} = 4.$
计算对应边比值：
$\frac{CD}{AC} = \frac{1}{2},\quad \frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\quad \frac{AD}{BA} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2},$
即$\frac{CD}{AC} = \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BA}$。
又$\because ∠ C = 90°$，两个三角形均为直角三角形，斜边与直角边对应成比例，
$\therefore Rt△ ADC ∽ Rt△ BAC$。
解析
【分析】
要证明两个直角三角形相似，首先我们观察到两个三角形都有公共直角∠C，可通过验证对应边成比例完成证明。解题步骤可分为三步：第一步，在Rt△ADC中，利用已知的CD和AD的长度，通过勾股定理求出AC的长；第二步，在Rt△ABC中，利用求出的AC和已知的AB的长度，再次用勾股定理求出BC的长；第三步，计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边比值相等，即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5-1} = 2$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$AB=2\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20-4} = 4$。
计算对应边比值：
$\frac{CD}{AC} = \frac{1}{2},\quad \frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\quad \frac{AD}{BA} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$，
即$\frac{CD}{AC} = \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BA}$。
又$\because ∠ C = 90°$，两个三角形均为直角三角形，三边对应成比例，
$\therefore Rt△ ADC ∽ Rt△ BAC$。
【答案】
$Rt△ ADC ∽ Rt△ BAC$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是结合勾股定理求出未知边长，再利用相似三角形的判定定理验证边的比例关系，能够帮助学生巩固直角三角形相似的判定方法，掌握勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.8
要证明两个直角三角形相似，首先我们观察到两个三角形都有公共直角∠C，可通过验证对应边成比例完成证明。解题步骤可分为三步：第一步，在Rt△ADC中，利用已知的CD和AD的长度，通过勾股定理求出AC的长；第二步，在Rt△ABC中，利用求出的AC和已知的AB的长度，再次用勾股定理求出BC的长；第三步，计算两个三角形对应边的比值，若三组对应边比值相等，即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AD^2 - CD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5-1} = 2$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2$，$AB=2\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{20-4} = 4$。
计算对应边比值：
$\frac{CD}{AC} = \frac{1}{2},\quad \frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\quad \frac{AD}{BA} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$，
即$\frac{CD}{AC} = \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BA}$。
又$\because ∠ C = 90°$，两个三角形均为直角三角形，三边对应成比例，
$\therefore Rt△ ADC ∽ Rt△ BAC$。
【答案】
$Rt△ ADC ∽ Rt△ BAC$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是结合勾股定理求出未知边长，再利用相似三角形的判定定理验证边的比例关系，能够帮助学生巩固直角三角形相似的判定方法，掌握勾股定理的应用场景。
【难度系数】
0.8
4. 下列说法不正确的是 （
A.有一组角对应相等的两个直角三角形相似
B.两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
C.有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似
D.一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似
A
）A.有一组角对应相等的两个直角三角形相似
B.两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
C.有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似
D.一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似
答案
4.A
解析
【分析】
本题要求选出说法错误的选项，核心考查直角三角形相似的判定方法，解题思路如下：首先回忆相似三角形的通用判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）以及直角三角形的特殊性质（自带一个90°直角），再逐一验证每个选项是否满足相似的判定条件即可，注意甄别表述中的漏洞。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 直角三角形本身有一个固定的直角，若选项中“一组对应相等的角”就是这两个直角，此时两个三角形的锐角不一定对应相等，不满足相似的判定条件，无法证明两个直角三角形相似，故该说法错误；
B. 两条直角边对应成比例，且两条直角边的夹角均为直角（角度相等），符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，因此两个直角三角形相似，该说法正确；
C. 有一组锐角对应相等，加上两个三角形自带的直角也对应相等，即有两组角对应相等，符合“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，因此两个直角三角形相似，该说法正确；
D. 一条直角边和一条斜边对应成比例，符合直角三角形特有的相似判定规则，可推导得出两个三角形三边均对应成比例，因此两个直角三角形相似，该说法正确。
本题要求选择不正确的说法，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对相似判定定理的理解和应用，易错点是忽略选项A中“一组对应相等的角”可能是直角三角形本身就共有的直角，从而误判该选项正确，审题时要注意区分表述的严谨性。
【难度系数】
0.7
本题要求选出说法错误的选项，核心考查直角三角形相似的判定方法，解题思路如下：首先回忆相似三角形的通用判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）以及直角三角形的特殊性质（自带一个90°直角），再逐一验证每个选项是否满足相似的判定条件即可，注意甄别表述中的漏洞。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 直角三角形本身有一个固定的直角，若选项中“一组对应相等的角”就是这两个直角，此时两个三角形的锐角不一定对应相等，不满足相似的判定条件，无法证明两个直角三角形相似，故该说法错误；
B. 两条直角边对应成比例，且两条直角边的夹角均为直角（角度相等），符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，因此两个直角三角形相似，该说法正确；
C. 有一组锐角对应相等，加上两个三角形自带的直角也对应相等，即有两组角对应相等，符合“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，因此两个直角三角形相似，该说法正确；
D. 一条直角边和一条斜边对应成比例，符合直角三角形特有的相似判定规则，可推导得出两个三角形三边均对应成比例，因此两个直角三角形相似，该说法正确。
本题要求选择不正确的说法，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对相似判定定理的理解和应用，易错点是忽略选项A中“一组对应相等的角”可能是直角三角形本身就共有的直角，从而误判该选项正确，审题时要注意区分表述的严谨性。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=CD=BD=\sqrt{5}$，$DE⊥ AB$于点E，则AE的长为（
A.3
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{12}{5}$
A
）A.3
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先根据已知线段长度求出BC的总长，再利用勾股定理计算出AB的长度；接着观察到△BDE和△BAC有公共角∠B，且均含直角，满足相似三角形的判定条件，可通过相似三角形对应边成比例求出BE的长度；最后用AB减去BE即可得到AE的长度。
【解析】
1. 计算BC的长度：
已知$CD=BD=\sqrt{5}$，因此$BC=CD+BD=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=\sqrt{5}$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5+20}=\sqrt{25}=5$。
3. 证明三角形相似：
因为$DE⊥AB$，所以$∠DEB=∠C=90°$，又$∠B$是$△BDE$和$△BAC$的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△BDE∽△BAC$。
4. 求BE的长度：
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}$，代入$BD=\sqrt{5}$，$BA=5$，$BC=2\sqrt{5}$：
$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{BE}{2\sqrt{5}}$，交叉相乘得$5BE=\sqrt{5}×2\sqrt{5}=10$，解得$BE=2$。
5. 计算AE的长度：
$AE=AB-BE=5-2=3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是准确找到相似三角形，结合勾股定理和相似三角形的性质求解线段长度，解题思路清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知线段长度求出BC的总长，再利用勾股定理计算出AB的长度；接着观察到△BDE和△BAC有公共角∠B，且均含直角，满足相似三角形的判定条件，可通过相似三角形对应边成比例求出BE的长度；最后用AB减去BE即可得到AE的长度。
【解析】
1. 计算BC的长度：
已知$CD=BD=\sqrt{5}$，因此$BC=CD+BD=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$AC=\sqrt{5}$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{5+20}=\sqrt{25}=5$。
3. 证明三角形相似：
因为$DE⊥AB$，所以$∠DEB=∠C=90°$，又$∠B$是$△BDE$和$△BAC$的公共角，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$△BDE∽△BAC$。
4. 求BE的长度：
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}$，代入$BD=\sqrt{5}$，$BA=5$，$BC=2\sqrt{5}$：
$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{BE}{2\sqrt{5}}$，交叉相乘得$5BE=\sqrt{5}×2\sqrt{5}=10$，解得$BE=2$。
5. 计算AE的长度：
$AE=AB-BE=5-2=3$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是准确找到相似三角形，结合勾股定理和相似三角形的性质求解线段长度，解题思路清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.7
6. [与T8互为孪生题]如图,已知在$△ ABC$与$△ DAE$中,$∠ C=∠ AED=90°$,点$E$在边$AB$上,那么添加下列一个条件后,仍然不能判定$△ ABC$与$△ DAE$相似的是（
A.$∠ CAB=∠ D$
B.$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$
C.$AD// BC$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$
D
）A.$∠ CAB=∠ D$
B.$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$
C.$AD// BC$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，已知△ABC和△DAE均为直角三角形，且∠C=∠AED=90°，已满足一组对应角相等的条件，要判定两个三角形相似，只需再满足一组对应角相等，或者两组对应边成比例且夹角相等即可，我们逐一分析各选项是否满足相似判定条件即可选出答案。
【解析】
已知∠C=∠AED=90°，两三角形已有一组直角对应相等，逐项分析：
选项A：若∠CAB=∠D，结合∠C=∠AED=90°，两角对应相等，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项B：若$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$，AB、AD分别是两个直角三角形的斜边，AC、DE分别是两个直角三角形的直角边，满足直角三角形斜边和一组直角边对应成比例，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项C：若AD//BC，根据两直线平行内错角相等可得∠B=∠DAE，结合∠C=∠AED=90°，两角对应相等，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项D：若$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$\frac{BC}{AC}$是△ABC两条直角边的比，$\frac{AD}{AE}$是△DAE斜边和直角边的比，不满足相似判定的对应边成比例要求，无法判定△ABC与△DAE相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题关键是先确定已知的相等角，再结合选项验证判定条件，需要注意对应边、对应角的对应关系，避免混淆对应关系导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的判定，已知△ABC和△DAE均为直角三角形，且∠C=∠AED=90°，已满足一组对应角相等的条件，要判定两个三角形相似，只需再满足一组对应角相等，或者两组对应边成比例且夹角相等即可，我们逐一分析各选项是否满足相似判定条件即可选出答案。
【解析】
已知∠C=∠AED=90°，两三角形已有一组直角对应相等，逐项分析：
选项A：若∠CAB=∠D，结合∠C=∠AED=90°，两角对应相等，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项B：若$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$，AB、AD分别是两个直角三角形的斜边，AC、DE分别是两个直角三角形的直角边，满足直角三角形斜边和一组直角边对应成比例，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项C：若AD//BC，根据两直线平行内错角相等可得∠B=∠DAE，结合∠C=∠AED=90°，两角对应相等，可判定△ABC∽△DAE，不符合题意；
选项D：若$\frac{BC}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$\frac{BC}{AC}$是△ABC两条直角边的比，$\frac{AD}{AE}$是△DAE斜边和直角边的比，不满足相似判定的对应边成比例要求，无法判定△ABC与△DAE相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题型，解题关键是先确定已知的相等角，再结合选项验证判定条件，需要注意对应边、对应角的对应关系，避免混淆对应关系导致判断错误。
【难度系数】
0.7
7.[2024·广州中考]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 
答案
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE∽△ECF。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE∽△ECF。
解析
【分析】
要证明△ABE∽△ECF，可采用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先根据正方形的性质，可得两个三角形的一组对应角∠B与∠C均为90°，且AB和BC长度相等；先计算BC的长度得到AB的长，再验证夹这组等角的两组对应边的比值是否相等，若比值相等即可结合等角证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又
∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE∽△ECF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又
∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE∽△ECF。
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，结合正方形性质和相似三角形判定定理考查，解题逻辑清晰，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明△ABE∽△ECF，可采用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先根据正方形的性质，可得两个三角形的一组对应角∠B与∠C均为90°，且AB和BC长度相等；先计算BC的长度得到AB的长，再验证夹这组等角的两组对应边的比值是否相等，若比值相等即可结合等角证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又
∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE∽△ECF。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B = ∠C = 90°，AB = BC。
∵ BC = BE + EC = 3 + 6 = 9，
∴ AB = 9。
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF} = \frac{3}{2}$，
∴ $\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
又
∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ △ABE∽△ECF。
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，结合正方形性质和相似三角形判定定理考查，解题逻辑清晰，熟练掌握相关基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8
