8.[与T6互为孪生题]如图,已知$∠ ACB=∠ D=90°$,下列条件中,不能判定$△ ABC$和$△ BCD$相似的是 ()

A.$AB// CD$
B.$BC$平分$∠ ABD$
C.$∠ ABD=90°$
D.$AB:BC=BD:CD$

8.D

【分析】
已知△ABC和△BCD均为直角三角形，且已有一组直角相等（∠ACB=∠D=90°），要判断二者是否相似，可结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、直角三角形斜边与直角边对应成比例），逐一分析各选项的条件是否满足判定要求即可。
【解析】
已知∠ACB=∠D=90°，两个三角形已有一组对应角相等：
选项A：若$AB// CD$，根据平行线内错角相等可得$∠ABC=∠BCD$，此时两组角分别相等，可判定$△ ABC ∽ △ BCD$，不符合题意；
选项B：若$BC$平分$∠ABD$，则$∠ABC=∠CBD$，此时两组角分别相等，可判定$△ ABC ∽ △ BCD$，不符合题意；
选项C：若$∠ABD=90°$，则$∠ABC+∠CBD=90°$，又在$Rt△ BCD$中$∠CBD+∠BCD=90°$，根据同角的余角相等得$∠ABC=∠BCD$，两组角分别相等，可判定$△ ABC ∽ △ BCD$，不符合题意；
选项D：若$AB:BC=BD:CD$，即$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{CD}$，其中$AB$与$BC$的夹角为$∠ABC$（非直角），$BD$与$CD$的夹角为$∠D$（直角），两个夹角不相等，不满足相似判定条件，无法判定$△ ABC$和$△ BCD$相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定，解题时要注意边和角的对应关系，尤其是两边成比例的情况，必须确认夹角相等才能判定相似，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7

9. [分类讨论思想][教材P101习题22.3第8题改编]
在方格纸中每个小方格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫作格点三角形. 在如图所示的6×6方格纸中(每个小正方形的边长都为1),作格点△ABC与△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标为.

9.(4,4)或(5,2)

【分析】
首先确定已知△OAB的基本特征：由图可得O(0,0)，A(1,0)，B(0,2)，△OAB是直角三角形，直角在O点，三边长分别为OA=1，OB=2，AB=√5，三边比为1:2:√5。要找到格点C使△ABC与△OAB相似且相似比不为1，需结合相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质，分情况讨论△ABC的直角顶点位置，找到满足三边比为1:2:√5的格点即可。
【解析】
解：由图像得各点坐标：O(0,0)，A(1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，∠AOB=90°，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
即△OAB的三边比为$OA:OB:AB=1:2:\sqrt{5}$。
要使格点△ABC与△OAB相似且相似比不为1，则△ABC也为直角三角形，且三边比为$1:2:\sqrt{5}$，分两种情况讨论：
1. 当∠ABC=90°时，对应边成比例：$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{BC}=\frac{AB}{AC}$，
代入数值解得$BC=2\sqrt{5}$，$AC=5$，设C(x,y)，列勾股定理方程：
$\begin{cases}x^2+(y-2)^2=(2\sqrt{5})^2=20\\(x-1)^2+y^2=5^2=25\end{cases}$，
解得格点解为x=4，y=4，即C(4,4)，符合要求。
2. 当∠BAC=90°时，对应边成比例：$\frac{OA}{AB}=\frac{OB}{AC}=\frac{AB}{BC}$，
代入数值解得$AC=2\sqrt{5}$，$BC=5$，设C(x,y)，列勾股定理方程：
$\begin{cases}(x-1)^2+y^2=(2\sqrt{5})^2=20\\x^2+(y-2)^2=5^2=25\end{cases}$，
解得格点解为x=5，y=2，即C(5,2)，符合要求。
【答案】
(4,4)或(5,2)
【知识点】
直角三角形相似的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题结合格点特征考查相似三角形的性质与判定，解题时需先明确已知三角形的边长、角度特征，再分类讨论对应角的位置，注意排除相似比为1的全等情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5

10. [教材P99练习第2题改编]如图,在$△ ABC$中,CD为AB边上的高,$AC· CD=BC· AD$,求证:$∠ ACB=90°$.

证明：
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°，
即△ADC和△CDB均为直角三角形。
∵ $AC·CD = BC·AD$，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{CD}$。
∴ Rt△ADC ∽ Rt△CDB（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
∴ ∠A = ∠BCD。
在Rt△ADC中，∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠BCD + ∠ACD = 90°，
即$∠ ACB = 90°$。

【分析】
要证明∠ACB=90°，可推导∠ACD+∠BCD=90°即可。首先由CD是AB边上的高，可得△ADC和△CDB均为直角三角形；再将已知的等积式AC·CD=BC·AD转化为比例式，可判定两个直角三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到∠A=∠BCD；最后结合Rt△ADC中∠A与∠ACD互余，进行角的代换即可推出结论。
【解析】
证明：
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°，即△ADC和△CDB均为直角三角形。
∵ $AC·CD = BC·AD$，
∴ $\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{CD}$。
∴ Rt△ADC ∽ Rt△CDB（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。
∴ ∠A = ∠BCD。
在Rt△ADC中，∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠BCD + ∠ACD = 90°，
即$∠ ACB = 90°$。
【答案】
∠ACB=90°，得证。
【知识点】
直角三角形相似的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形应用的基础题，解题关键是将等积式转化为比例式证明直角三角形相似，再通过角的等量代换推导角度关系，能够帮助学生巩固直角三角形相似的判定方法，掌握角代换的解题思路。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在$Rt△ ABC$中,CD是斜边AB上的高,E是边BC上的一点,AE交CD于点F,$AE· AD=AF· AC$.求证:
(1)AE是$∠ BAC$的平分线;
(2)$AB· AF=AC· AE$.

11.证明:(1)
∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,
∴∠ACE=∠ADF=90°.
又
∵AE·AD=AF·AC,
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AD}$,
∴△AEC∽△AFD,
∴∠CAE=∠DAF,
即AE是∠BAC的平分线.
(2)
∵∠ACD+∠CAB=90°,∠B+∠CAB=90°,
∴∠ACD=∠B.
又由(1)知∠CAF=∠BAE,
∴△ACF∽△ABE,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}$,
∴AB·AF=AC·AE.

【分析】
(1) 要证AE是∠BAC的平分线，需证∠CAE=∠DAF。首先将已知的等积式转化为比例式，结合CD是斜边AB的高可得∠ACE=∠ADF=90°，可通过“两边成比例且夹角相等”证明△AEC∽△AFD，利用相似三角形对应角相等即可得到两角相等，完成证明。
(2) 要证等积式AB·AF=AC·AE，先将其转化为比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}$，需证△ACF∽△ABE。先利用同角的余角相等得到∠ACD=∠B，再结合(1)中已证的∠CAF=∠BAE，可通过“两角分别相等”证明两个三角形相似，利用相似对应边成比例即可得到所需比例式，再转化为等积式即可。
【解析】
(1) 证明：
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACE=∠ADF=90°，
又
∵AE·AD=AF·AC，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AD}$，
∴△AEC∽△AFD，
∴∠CAE=∠DAF，
即AE是∠BAC的平分线。
(2) 证明：
∵∠ACD+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠ACD=∠B，
又由(1)知∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AF}{AE}$，
∴AB·AF=AC·AE。
【答案】
(1) AE是∠BAC的平分线，证明成立；
(2) AB·AF=AC·AE，证明成立。（证明过程见解析）
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的判定
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，解题关键是熟练掌握等积式和比例式的互化，结合已知角的关系寻找相似三角形，对几何逻辑推理能力有基础的考查要求。
【难度系数】
0.7

12.选做题:请在A,B两题中任选一题作答,并写出完整的答题过程.
A:如图,已知$AB⊥DB$于点B,$CD⊥DB$于点D,$AB=6$,$CD=4$,$BD=14$,问:在DB上是否存在点P,使得以点C,D,P为顶点的三角形与以点P,B,A为顶点的三角形相似?如果存在,求出DP的长;如果不存在,请说明理由.

B:如图,在$△ ABC$中,$∠C=90°$,$AC=50\ \mathrm{cm}$,$BC=40\ \mathrm{cm}$.点P由点A开始以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿AC边向点C匀速移动,同时点Q由点C开始以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度沿CB边向点B匀速移动,当点Q移动到点B后,两点都停止移动.当点P,Q移动多长时间时,$△ PCQ$与$△ ABC$相似?
我选做题.(填“A”或“B”)

12.A:存在.
①若△PCD∽△APB,则$\frac{CD}{PB}=\frac{DP}{BA}$,
即$\frac{4}{14-DP}=\frac{DP}{6}$,解得DP=2或DP=12;
②若△PCD∽△PAB,则$\frac{CD}{AB}=\frac{DP}{BP}$,
即$\frac{4}{6}=\frac{DP}{14-DP}$,解得DP=5.6.
综上所述,当DP的长为2或5.6或12时,两三角形相似.
B:设点P,Q移动x s时,△PCQ与△ABC相似.
根据题意,得AP=2x,PC=50-2x,CQ=3x.
①当△CPQ∽△CAB,此时有$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$,
即$\frac{50-2x}{50}=\frac{3x}{40}$,解得$x=\frac{200}{23}$;
②当△CPQ∽△CBA,此时有$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$,
即$\frac{50-2x}{40}=\frac{3x}{50}$,解得$x=\frac{125}{11}$.
综上所述,当点P,Q移动$\frac{200}{23}$ s或$\frac{125}{11}$ s时,△PCQ与△ABC相似.

我选做A题。
【分析】
△CDP和△ABP均为直角三角形，直角∠D与∠B已经对应相等，由于题目未明确相似的对应顶点，因此需要分两种情况讨论对应边的比例关系：第一种是△PCD∽△APB，第二种是△PCD∽△PAB。设DP的长度为x，则PB=14-x，根据不同的相似对应关系列比例方程求解，再验证解是否符合线段长度的实际范围即可。
【解析】
解：存在这样的点P，理由如下：
设DP的长为x，则$PB=BD-DP=14-x$，
∵$AB⊥DB$，$CD⊥DB$，
∴$∠ D=∠ B=90°$，分两种情况讨论：
① 当$△ PCD ∽ △ APB$时，对应边成比例$\frac{CD}{PB}=\frac{DP}{BA}$，
代入数据得$\frac{4}{14-x}=\frac{x}{6}$，
整理得$x^2-14x+24=0$，解得$x_1=2$，$x_2=12$，均符合题意；
② 当$△ PCD ∽ △ PAB$时，对应边成比例$\frac{CD}{AB}=\frac{DP}{BP}$，
代入数据得$\frac{4}{6}=\frac{x}{14-x}$，
解得$x=5.6$，符合题意。
综上所述，DP的长为2或5.6或12。
【答案】
存在，DP的长为2或5.6或12。
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想，解一元二次方程
【点评】
本题是相似三角形的动点存在性问题，解题的核心是根据相似对应顶点的不确定性分类讨论，避免漏解，求解后要注意验证解是否符合线段长度的实际意义。
【难度系数】
0.6