登录
1. 关于反比例函数 $y=-\dfrac{3}{x}$，下列结论错误的是 （）
A.图象分别位于二、四象限
B.点$(-1,3)$在这个函数图象上
C.图象关于原点对称
D.$y$随$x$的增大而增大
A.图象分别位于二、四象限
B.点$(-1,3)$在这个函数图象上
C.图象关于原点对称
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的基本性质，解题时先确定函数中$k=-3＜0$，再结合反比例函数的图象位置、对称性、图象上点的坐标特征、增减性的适用条件，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，当$k＜0$时，图象分别位于第二、四象限，本题中$k=-3＜0$，因此图象在二、四象限，该选项结论正确，不符合题意；
B. 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。将$x=-1$代入$y=-\dfrac{3}{x}$，得$y=-\dfrac{3}{-1}=3$，因此点$(-1,3)$在该函数图象上，该选项结论正确，不符合题意；
C. 反比例函数的图象是双曲线，所有反比例函数的图象都关于原点中心对称，该选项结论正确，不符合题意；
D. 当$k＜0$时，反比例函数的增减性前提是“在每个象限内”，即只有在同一象限内，$y$才随$x$的增大而增大，若跨象限则不成立，例如$x=-1$时$y=3$，$x=1$时$y=-3$，$x$增大但$y$减小，因此该选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提“在每个象限内”，复习时要准确理解性质的完整表述，避免因概念理解不严谨出错。
【难度系数】
0.75
本题考查反比例函数的基本性质，解题时先确定函数中$k=-3＜0$，再结合反比例函数的图象位置、对称性、图象上点的坐标特征、增减性的适用条件，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，当$k＜0$时，图象分别位于第二、四象限，本题中$k=-3＜0$，因此图象在二、四象限，该选项结论正确，不符合题意；
B. 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式。将$x=-1$代入$y=-\dfrac{3}{x}$，得$y=-\dfrac{3}{-1}=3$，因此点$(-1,3)$在该函数图象上，该选项结论正确，不符合题意；
C. 反比例函数的图象是双曲线，所有反比例函数的图象都关于原点中心对称，该选项结论正确，不符合题意；
D. 当$k＜0$时，反比例函数的增减性前提是“在每个象限内”，即只有在同一象限内，$y$才随$x$的增大而增大，若跨象限则不成立，例如$x=-1$时$y=3$，$x=1$时$y=-3$，$x$增大但$y$减小，因此该选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提“在每个象限内”，复习时要准确理解性质的完整表述，避免因概念理解不严谨出错。
【难度系数】
0.75
2. 若点$(-2,y_1),(1,y_2),(3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（）
A.$y_2＜y_3＜y_1$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_1＜y_2＜y_3$
A.$y_2＜y_3＜y_1$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_1＜y_2＜y_3$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先结合反比例函数中k＜0的条件，明确其图象所在象限及增减性：k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限，第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负，且在每个象限内y随x的增大而增大。接下来判断三个点分别所在的象限：横坐标为负的点在第二象限，横坐标为正的点在第四象限，先根据象限确定纵坐标的正负范围，再对同一象限内的点用增减性比较纵坐标大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$-2＜0$，
∴点$(-2,y_1)$在第二象限，即$y_1＞0$。
∵$1＞0$，$3＞0$，
∴点$(1,y_2)$、$(3,y_3)$均在第四象限，即$y_2＜0$，$y_3＜0$。
∵在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$1＜3$，
∴$y_2＜y_3＜0$。
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先确定各点所在象限，先比较不同象限点的纵坐标正负，再用增减性比较同一象限内点的纵坐标大小，切忌直接跨象限套用增减性判断大小。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合反比例函数中k＜0的条件，明确其图象所在象限及增减性：k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限，第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负，且在每个象限内y随x的增大而增大。接下来判断三个点分别所在的象限：横坐标为负的点在第二象限，横坐标为正的点在第四象限，先根据象限确定纵坐标的正负范围，再对同一象限内的点用增减性比较纵坐标大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵$-2＜0$，
∴点$(-2,y_1)$在第二象限，即$y_1＞0$。
∵$1＞0$，$3＞0$，
∴点$(1,y_2)$、$(3,y_3)$均在第四象限，即$y_2＜0$，$y_3＜0$。
∵在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$1＜3$，
∴$y_2＜y_3＜0$。
综上可得$y_2＜y_3＜y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先确定各点所在象限，先比较不同象限点的纵坐标正负，再用增减性比较同一象限内点的纵坐标大小，切忌直接跨象限套用增减性判断大小。
【难度系数】
0.7
3. 已知反比例函数的解析式为 $ y = \frac{m - 1}{x} $（m是常数），如果在每一象限内函数值y随着x的增大而减小，那么m的取值范围是。
答案
3. $m＞1$
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＞0$时，函数在每一象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，函数在每一象限内$y$随$x$的增大而增大。本题已知该反比例函数在每一象限内$y$随$x$增大而减小，因此只需让比例系数大于0，列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＞0$时，在每一象限内$y$随$x$的增大而减小。
本题中反比例函数的比例系数$k=m-1$，结合题意可得不等式：
$m-1＞0$
解得：$m＞1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
反比例函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，解题时需注意题干中“在每一象限内”的前提条件，准确匹配比例系数的符号要求即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＞0$时，函数在每一象限内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，函数在每一象限内$y$随$x$的增大而增大。本题已知该反比例函数在每一象限内$y$随$x$增大而减小，因此只需让比例系数大于0，列出不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＞0$时，在每一象限内$y$随$x$的增大而减小。
本题中反比例函数的比例系数$k=m-1$，结合题意可得不等式：
$m-1＞0$
解得：$m＞1$
【答案】
$m＞1$
【知识点】
反比例函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，重点考查反比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，解题时需注意题干中“在每一象限内”的前提条件，准确匹配比例系数的符号要求即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.反比例函数 $y=-\dfrac{3}{x}$，若 $y＞-3$，则x的取值范围是。
答案
4. $x＜0$或$x＞1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k\ne0$），当$k＜0$时，图象分布在第二、四象限，不同象限内y的取值范围不同，因此需要分$x＞0$（第四象限）和$x＜0$（第二象限）两种情况讨论，再结合$y＞-3$的条件分别解不等式，最后综合两种情况的结果即可。
【解析】
已知反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，函数图象位于第二、四象限，且自变量$x\ne0$，分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，函数图象在第四象限，此时$y＜0$，代入$y＞-3$得：
$-\dfrac{3}{x}＞-3$
因为$x＞0$，不等式两边同时乘正数$x$，不等号方向不变，得：
$-3＞-3x$
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$1＜x$，即$x＞1$，符合$x＞0$的前提，此范围成立。
2. 当$x＜0$时，函数图象在第二象限，此时$y＞0$，所有正数都大于$-3$，因此所有$x＜0$的取值都满足$y＞-3$。
综合两种情况，即可得到x的取值范围。
【答案】
$x＜0$或$x＞1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，不等式的性质，分类讨论思想
【点评】
本题容易出现的错误是只求解$x＞0$时的范围，忽略第二象限内$x＜0$时y恒为正、天然满足$y＞-3$的情况，解题时注意结合函数图象分象限讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k\ne0$），当$k＜0$时，图象分布在第二、四象限，不同象限内y的取值范围不同，因此需要分$x＞0$（第四象限）和$x＜0$（第二象限）两种情况讨论，再结合$y＞-3$的条件分别解不等式，最后综合两种情况的结果即可。
【解析】
已知反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，函数图象位于第二、四象限，且自变量$x\ne0$，分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，函数图象在第四象限，此时$y＜0$，代入$y＞-3$得：
$-\dfrac{3}{x}＞-3$
因为$x＞0$，不等式两边同时乘正数$x$，不等号方向不变，得：
$-3＞-3x$
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$1＜x$，即$x＞1$，符合$x＞0$的前提，此范围成立。
2. 当$x＜0$时，函数图象在第二象限，此时$y＞0$，所有正数都大于$-3$，因此所有$x＜0$的取值都满足$y＞-3$。
综合两种情况，即可得到x的取值范围。
【答案】
$x＜0$或$x＞1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，不等式的性质，分类讨论思想
【点评】
本题容易出现的错误是只求解$x＞0$时的范围，忽略第二象限内$x＜0$时y恒为正、天然满足$y＞-3$的情况，解题时注意结合函数图象分象限讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5.如图,一次函数$y_1=kx+b$与反比例函数$y_2=\frac{n}{x}(n≠0)$图象相交于点A(1,3),B(3,m)。
(1)求这两个函数的解析式。
(2)根据图象,直接写出不等式$kx+b≥\frac{n}{x}$的解集。
(1)求这两个函数的解析式。
(2)根据图象,直接写出不等式$kx+b≥\frac{n}{x}$的解集。
答案
5. (1)$y_1=-x+4$；$y_2=\frac{3}{x}$ (2)$1≤x≤3$或$x＜0$
解析
【分析】
(1) 求函数解析式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出未知系数，因此先将点A坐标代入反比例函数表达式求出n，得到反比例函数解析式；再将点B代入反比例函数求出m，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k、b即可得到一次函数解析式。
(2) 不等式$kx+b≥\frac{n}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方（含交点）时对应的x的取值范围，结合图象分象限观察即可，注意反比例函数自变量$x≠0$的限制。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
∵ 点$A(1,3)$在反比例函数$y_2=\frac{n}{x}$的图象上
∴ 将$x=1,y=3$代入得：$3=\frac{n}{1}$，解得$n=3$
∴ 反比例函数的解析式为$y_2=\frac{3}{x}$
②求点B坐标：
∵ 点$B(3,m)$在反比例函数$y_2=\frac{3}{x}$的图象上
∴ 将$x=3$代入得：$m=\frac{3}{3}=1$，即$B(3,1)$
③求一次函数解析式：
∵ 一次函数$y_1=kx+b$过$A(1,3)$、$B(3,1)$两点
∴ 代入得方程组：$\begin{cases}k+b=3\\3k+b=1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$2k=-2$，解得$k=-1$
将$k=-1$代入$k+b=3$得：$-1+b=3$，解得$b=4$
∴ 一次函数的解析式为$y_1=-x+4$
(2) 观察图象可得：
当$1≤x≤3$或$x＜0$时，一次函数图象位于反比例函数图象上方（含交点），满足$kx+b≥\frac{n}{x}$。
【答案】
(1)$y_1=-x+4$；$y_2=\frac{3}{x}$
(2)$1≤x≤3$或$x＜0$
【知识点】
待定系数法求解析式、反比例函数性质、函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，求解不等式解集时要结合图象的位置关系分析，注意不要遗漏第三象限$x＜0$的取值范围。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数解析式优先使用待定系数法：反比例函数仅需1个已知点即可求出未知系数，因此先将点A坐标代入反比例函数表达式求出n，得到反比例函数解析式；再将点B代入反比例函数求出m，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组求出k、b即可得到一次函数解析式。
(2) 不等式$kx+b≥\frac{n}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方（含交点）时对应的x的取值范围，结合图象分象限观察即可，注意反比例函数自变量$x≠0$的限制。
【解析】
(1) ①求反比例函数解析式：
∵ 点$A(1,3)$在反比例函数$y_2=\frac{n}{x}$的图象上
∴ 将$x=1,y=3$代入得：$3=\frac{n}{1}$，解得$n=3$
∴ 反比例函数的解析式为$y_2=\frac{3}{x}$
②求点B坐标：
∵ 点$B(3,m)$在反比例函数$y_2=\frac{3}{x}$的图象上
∴ 将$x=3$代入得：$m=\frac{3}{3}=1$，即$B(3,1)$
③求一次函数解析式：
∵ 一次函数$y_1=kx+b$过$A(1,3)$、$B(3,1)$两点
∴ 代入得方程组：$\begin{cases}k+b=3\\3k+b=1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$2k=-2$，解得$k=-1$
将$k=-1$代入$k+b=3$得：$-1+b=3$，解得$b=4$
∴ 一次函数的解析式为$y_1=-x+4$
(2) 观察图象可得：
当$1≤x≤3$或$x＜0$时，一次函数图象位于反比例函数图象上方（含交点），满足$kx+b≥\frac{n}{x}$。
【答案】
(1)$y_1=-x+4$；$y_2=\frac{3}{x}$
(2)$1≤x≤3$或$x＜0$
【知识点】
待定系数法求解析式、反比例函数性质、函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，求解不等式解集时要结合图象的位置关系分析，注意不要遗漏第三象限$x＜0$的取值范围。
【难度系数】
0.7
6.在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率$f$(单位:Hz)与振动弦长$l$(单位:m)近似成反比例函数关系，其图象如图所示。若振动弦长$l$为0.5 m时，测得振动频率$f$为240 Hz，振动频率$f$低于400 Hz时，振动弦长$l$应该（）
A.大于0.6 m
B.小于0.6 m
C.大于0.3 m
D.小于0.3 m
A.大于0.6 m
B.小于0.6 m
C.大于0.3 m
D.小于0.3 m
答案
6. C
解析
【分析】
首先题目明确振动频率$f$与振动弦长$l$成反比例函数关系，解题思路如下：第一步，先设出反比例函数的一般形式$ f=\frac{k}{l}(k≠0,l＞0) $；第二步，将已知的$ l=0.5\mathrm{m}、f=240\mathrm{Hz} $代入解析式，求出比例系数$k$，得到完整的函数解析式；第三步，根据题意“振动频率$f$低于400Hz”列出不等式，结合弦长$l$为正数的实际意义求解不等式，即可得到$l$的取值范围。
【解析】
解：设$f$与$l$的函数解析式为$ f=\frac{k}{l}(k≠0,l＞0) $。
将$ l=0.5 $，$ f=240 $代入解析式得：
$ 240=\frac{k}{0.5} $，解得$ k=240×0.5=120 $，
因此函数解析式为$ f=\frac{120}{l} $。
当$ f＜400 $时，代入得：
$ \frac{120}{l}＜400 $，
由于弦长$ l＞0 $，不等式两边同时乘$l$不等号方向不变，得：
$ 120＜400l $，
解得$ l＞\frac{120}{400}=0.3 $，即振动弦长$l$大于0.3m。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数解析式求解
2.反比例函数实际应用
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题结合乐器演奏的实际场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先利用已知点求出反比例函数的解析式，再结合题目要求列不等式求解，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围为正，避免不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.8
首先题目明确振动频率$f$与振动弦长$l$成反比例函数关系，解题思路如下：第一步，先设出反比例函数的一般形式$ f=\frac{k}{l}(k≠0,l＞0) $；第二步，将已知的$ l=0.5\mathrm{m}、f=240\mathrm{Hz} $代入解析式，求出比例系数$k$，得到完整的函数解析式；第三步，根据题意“振动频率$f$低于400Hz”列出不等式，结合弦长$l$为正数的实际意义求解不等式，即可得到$l$的取值范围。
【解析】
解：设$f$与$l$的函数解析式为$ f=\frac{k}{l}(k≠0,l＞0) $。
将$ l=0.5 $，$ f=240 $代入解析式得：
$ 240=\frac{k}{0.5} $，解得$ k=240×0.5=120 $，
因此函数解析式为$ f=\frac{120}{l} $。
当$ f＜400 $时，代入得：
$ \frac{120}{l}＜400 $，
由于弦长$ l＞0 $，不等式两边同时乘$l$不等号方向不变，得：
$ 120＜400l $，
解得$ l＞\frac{120}{400}=0.3 $，即振动弦长$l$大于0.3m。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数解析式求解
2.反比例函数实际应用
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题结合乐器演奏的实际场景考查反比例函数的应用，解题的核心是先利用已知点求出反比例函数的解析式，再结合题目要求列不等式求解，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围为正，避免不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.8
