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7.已知，点$A(a,p)$，$B(a+3,q)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$图象上，则下列说法一定正确的是（）
A.当$a＜-3$时，$pq＜0$
B.当$a＞-3$时，$pq＜0$
C.当$a＞0$时，$p-q＞0$
D.当$a＜0$时，$p-q＞0$
A.当$a＜-3$时，$pq＜0$
B.当$a＞-3$时，$pq＜0$
C.当$a＞0$时，$p-q＞0$
D.当$a＜0$时，$p-q＞0$
答案
7. C
解析
【分析】
首先利用反比例函数图象上点的坐标特征，用含a的式子表示出p、q，再推导得到pq、p-q的表达式，最后结合各选项给出的a的取值范围，分类讨论判断对应代数式的符号，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
∵点$A(a,p)$，$B(a+3,q)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$图象上
∴$p=\frac{2}{a}$，$q=\frac{2}{a+3}$
由此可得：
$pq=\frac{2}{a}·\frac{2}{a+3}=\frac{4}{a(a+3)}$
$p-q=\frac{2}{a}-\frac{2}{a+3}=\frac{2(a+3)-2a}{a(a+3)}=\frac{6}{a(a+3)}$
逐个分析选项：
A选项：当$a＜-3$时，$a＜0$，$a+3＜0$，则$a(a+3)＞0$，$pq=\frac{4}{a(a+3)}＞0$，A错误；
B选项：当$a＞-3$时，若$a＞0$，则$a+3＞0$，$a(a+3)＞0$，$pq＞0$；若$-3＜a＜0$，则$a+3＞0$，$a(a+3)＜0$，$pq＜0$，即$a＞-3$时pq符号不确定，B错误；
C选项：当$a＞0$时，$a+3＞0$，则$a(a+3)＞0$，$p-q=\frac{6}{a(a+3)}＞0$，C正确；
D选项：当$a＜0$时，若$a＜-3$，则$a(a+3)＞0$，$p-q＞0$；若$-3＜a＜0$，则$a(a+3)＜0$，$p-q＜0$，即$a＜0$时$p-q$符号不确定，D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；分式运算；代数式符号判断
【点评】
本题需要结合反比例函数的性质和分类讨论思想解题，核心是先推导出待判断式子的表达式，再根据a的取值范围分段讨论符号，要注意取值范围的边界情况，避免漏判。
【难度系数】
0.6
首先利用反比例函数图象上点的坐标特征，用含a的式子表示出p、q，再推导得到pq、p-q的表达式，最后结合各选项给出的a的取值范围，分类讨论判断对应代数式的符号，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
∵点$A(a,p)$，$B(a+3,q)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$图象上
∴$p=\frac{2}{a}$，$q=\frac{2}{a+3}$
由此可得：
$pq=\frac{2}{a}·\frac{2}{a+3}=\frac{4}{a(a+3)}$
$p-q=\frac{2}{a}-\frac{2}{a+3}=\frac{2(a+3)-2a}{a(a+3)}=\frac{6}{a(a+3)}$
逐个分析选项：
A选项：当$a＜-3$时，$a＜0$，$a+3＜0$，则$a(a+3)＞0$，$pq=\frac{4}{a(a+3)}＞0$，A错误；
B选项：当$a＞-3$时，若$a＞0$，则$a+3＞0$，$a(a+3)＞0$，$pq＞0$；若$-3＜a＜0$，则$a+3＞0$，$a(a+3)＜0$，$pq＜0$，即$a＞-3$时pq符号不确定，B错误；
C选项：当$a＞0$时，$a+3＞0$，则$a(a+3)＞0$，$p-q=\frac{6}{a(a+3)}＞0$，C正确；
D选项：当$a＜0$时，若$a＜-3$，则$a(a+3)＞0$，$p-q＞0$；若$-3＜a＜0$，则$a(a+3)＜0$，$p-q＜0$，即$a＜0$时$p-q$符号不确定，D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；分式运算；代数式符号判断
【点评】
本题需要结合反比例函数的性质和分类讨论思想解题，核心是先推导出待判断式子的表达式，再根据a的取值范围分段讨论符号，要注意取值范围的边界情况，避免漏判。
【难度系数】
0.6
8. 在直角坐标系中，函数$y=k_1x$与函数$y=\frac{k_2}{x}(k_1k_2＞0)$的函数图象交于点$A(-3,m)$，$B(n,5)$，则$k_2$的值为。
答案
8. 15
解析
【分析】
解题思路：首先回忆正比例函数与反比例函数的图象性质，二者均为关于原点中心对称的函数，因此它们的两个交点也关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，由此可先求出点A的纵坐标m和点B的横坐标n，再将交点坐标代入反比例函数解析式即可求出k₂的值。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴ 两函数的交点A、B关于原点对称，
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，已知$A(-3,m)$，$B(n,5)$，
∴ $n=3$，$m=-5$，即点A坐标为$(-3,-5)$，
将$A(-3,-5)$代入$y=\frac{k_2}{x}$得：
$-5=\frac{k_2}{-3}$，
解得$k_2=(-3)×(-5)=15$。
（也可代入$B(3,5)$计算：$5=\frac{k_2}{3}$，得$k_2=15$）
【答案】
15
【知识点】
1. 正反比例函数交点性质
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查正反比例函数的综合应用，利用函数的中心对称性求解交点坐标可大幅简化计算，若采用联立两个函数解析式的方法也可求解，但运算量更大，熟练掌握函数的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆正比例函数与反比例函数的图象性质，二者均为关于原点中心对称的函数，因此它们的两个交点也关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，由此可先求出点A的纵坐标m和点B的横坐标n，再将交点坐标代入反比例函数解析式即可求出k₂的值。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=k_1x$和反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴ 两函数的交点A、B关于原点对称，
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，已知$A(-3,m)$，$B(n,5)$，
∴ $n=3$，$m=-5$，即点A坐标为$(-3,-5)$，
将$A(-3,-5)$代入$y=\frac{k_2}{x}$得：
$-5=\frac{k_2}{-3}$，
解得$k_2=(-3)×(-5)=15$。
（也可代入$B(3,5)$计算：$5=\frac{k_2}{3}$，得$k_2=15$）
【答案】
15
【知识点】
1. 正反比例函数交点性质
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查正反比例函数的综合应用，利用函数的中心对称性求解交点坐标可大幅简化计算，若采用联立两个函数解析式的方法也可求解，但运算量更大，熟练掌握函数的基本性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.如图,双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$经过点(2,2)和点M(4,n),经过双曲线上的点A且平行于OM的直线与y轴交于点B,点A在点M左上方,设G为y轴、直线AB、双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$及线段OM之间的部分(阴影部分),若G(不包括边界)内整点(横、纵坐标都为整数)的个数为4,则点B的纵坐标m(m为整数)的值是。
答案
9. 2
解析
【分析】
首先需要先求出反比例函数的解析式和点M的坐标，再求出直线OM和直线AB的解析式，接下来根据阴影部分G的范围（在OM上方、AB下方、双曲线下方、y轴右侧，且不含边界），逐一分析可能的整点，结合整点个数为4的条件，列出关于m的不等式，结合m是整数即可求出m的值。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2=4$，故反比例函数为$y=\frac{4}{x}$。
2. 求点M坐标：
把$x=4$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{4}=1$，即$M(4,1)$。
3. 求直线OM的解析式：
设直线OM的解析式为$y=ax$，代入$M(4,1)$，得$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$，故直线OM为$y=\frac{1}{4}x$。
4. 求直线AB的解析式：
因为$AB// OM$，所以直线AB的斜率等于$\frac{1}{4}$，又AB与y轴交于$B(0,m)$，故直线AB的解析式为$y=\frac{1}{4}x+m$。
5. 分析阴影部分的整点：
阴影部分G内的整点需满足：$x＞0$，$\frac{1}{4}x ＜ y ＜ \frac{4}{x}$，且$\frac{1}{4}x ＜ y ＜ \frac{1}{4}x+m$（不含边界）。
对正整数x逐一分析：
$x=1$时：$0.25 ＜ y ＜ \min(4, 0.25+m)$，符合条件的整数y可能为1,2,3……
$x=2$时：$0.5 ＜ y ＜ \min(2, 0.5+m)$，符合条件的整数y可能为1
$x=3$时：$0.75 ＜ y ＜ \min(\approx1.33, 0.75+m)$，符合条件的整数y可能为1
$x≥4$时：$\frac{4}{x}≤1$，$\frac{1}{4}x≥1$，无符合条件的整数y。
已知整点个数为4，即符合的整点为$(1,1),(1,2),(2,1),(3,1)$，因此：
$\begin{cases}2 ＜ 0.25 + m \\3 ≥ 0.25 + m \end{cases}$，解得$1.75 ＜ m ≤ 2.75$。
又因为m是整数，故$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的图象与性质，整点的判定
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题的关键是先求出相关函数的解析式，再结合整点的限制条件列出不等式求解，需要格外注意题目中“不包括边界”的要求，避免多算或漏算整点。
【难度系数】
0.6
首先需要先求出反比例函数的解析式和点M的坐标，再求出直线OM和直线AB的解析式，接下来根据阴影部分G的范围（在OM上方、AB下方、双曲线下方、y轴右侧，且不含边界），逐一分析可能的整点，结合整点个数为4的条件，列出关于m的不等式，结合m是整数即可求出m的值。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
将点$(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=2×2=4$，故反比例函数为$y=\frac{4}{x}$。
2. 求点M坐标：
把$x=4$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=\frac{4}{4}=1$，即$M(4,1)$。
3. 求直线OM的解析式：
设直线OM的解析式为$y=ax$，代入$M(4,1)$，得$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$，故直线OM为$y=\frac{1}{4}x$。
4. 求直线AB的解析式：
因为$AB// OM$，所以直线AB的斜率等于$\frac{1}{4}$，又AB与y轴交于$B(0,m)$，故直线AB的解析式为$y=\frac{1}{4}x+m$。
5. 分析阴影部分的整点：
阴影部分G内的整点需满足：$x＞0$，$\frac{1}{4}x ＜ y ＜ \frac{4}{x}$，且$\frac{1}{4}x ＜ y ＜ \frac{1}{4}x+m$（不含边界）。
对正整数x逐一分析：
$x=1$时：$0.25 ＜ y ＜ \min(4, 0.25+m)$，符合条件的整数y可能为1,2,3……
$x=2$时：$0.5 ＜ y ＜ \min(2, 0.5+m)$，符合条件的整数y可能为1
$x=3$时：$0.75 ＜ y ＜ \min(\approx1.33, 0.75+m)$，符合条件的整数y可能为1
$x≥4$时：$\frac{4}{x}≤1$，$\frac{1}{4}x≥1$，无符合条件的整数y。
已知整点个数为4，即符合的整点为$(1,1),(1,2),(2,1),(3,1)$，因此：
$\begin{cases}2 ＜ 0.25 + m \\3 ≥ 0.25 + m \end{cases}$，解得$1.75 ＜ m ≤ 2.75$。
又因为m是整数，故$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的图象与性质，整点的判定
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，解题的关键是先求出相关函数的解析式，再结合整点的限制条件列出不等式求解，需要格外注意题目中“不包括边界”的要求，避免多算或漏算整点。
【难度系数】
0.6
10. 已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过点 $A(-3,4)$。
(1) 请判断点 $B(6,2)$ 是否在此反比例函数图象上，并说明理由。
(2) 已知点 $C(x_1,y_1)$ 和点 $D(x_2,y_2)$ 是反比例函数图象上的两点，$x_2=x_1+3$，
① 若 $y_1＞y_2$，求 $x_1$ 的取值范围。
② 若 $y_1=2y_2$，求 $x ＜ x_1+x_2$ 时，$y$ 的取值范围。
(1) 请判断点 $B(6,2)$ 是否在此反比例函数图象上，并说明理由。
(2) 已知点 $C(x_1,y_1)$ 和点 $D(x_2,y_2)$ 是反比例函数图象上的两点，$x_2=x_1+3$，
① 若 $y_1＞y_2$，求 $x_1$ 的取值范围。
② 若 $y_1=2y_2$，求 $x ＜ x_1+x_2$ 时，$y$ 的取值范围。
答案
10. (1)点 $B(6,2)$ 不在此反比例函数图象上
(2)①$\because y_1＞y_2,x_2=x_1+3＞x_1,\therefore \begin{cases}x_1＜0,\\x_1+3＞0,\end{cases} -3＜x_1＜0$ ②$\because y_1=2y_2,\therefore x_2=2x_1$。$\because x_2=x_1+3,\therefore 2x_1=x_1+3,\therefore x_1=3,x_2=6,\therefore x_1+x_2=9,\therefore$当$x＜x_1+x_2$时，$y＜-\frac{4}{3}$或$y＞0$
(2)①$\because y_1＞y_2,x_2=x_1+3＞x_1,\therefore \begin{cases}x_1＜0,\\x_1+3＞0,\end{cases} -3＜x_1＜0$ ②$\because y_1=2y_2,\therefore x_2=2x_1$。$\because x_2=x_1+3,\therefore 2x_1=x_1+3,\therefore x_1=3,x_2=6,\therefore x_1+x_2=9,\therefore$当$x＜x_1+x_2$时，$y＜-\frac{4}{3}$或$y＞0$
解析
【分析】
解题思路梳理：
(1) 要判断点是否在反比例函数图象上，首先需要将已知点A代入反比例函数表达式求出k值，得到函数解析式，再将点B的横坐标代入解析式，验证计算得到的纵坐标是否与点B的纵坐标一致即可。
(2) ① 先明确该反比例函数的增减性：k＜0时，图象分布在第二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大。已知$x_2=x_1+3＞x_1$，但$y_1＞y_2$，说明两点不在同一象限（同一象限内x增大y会增大，不会出现x大y小的情况），据此列不等式组即可求解$x_1$的范围。
② 先利用$y_1=2y_2$结合反比例函数表达式推导$x_1$和$x_2$的关系，再结合$x_2=x_1+3$求出$x_1$、$x_2$的值，得到$x_1+x_2$的取值后，分$x＜0$和$0＜x＜9$两种情况讨论y的取值范围，注意反比例函数图象与坐标轴无交点。
【解析】
第一步：求反比例函数解析式
将点$A(-3,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-3}$，解得$k=-12$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
(1) 判断点B是否在图象上
将$x=6$代入$y=-\frac{12}{x}$，得$y=-\frac{12}{6}=-2≠2$，因此点$B(6,2)$不在该反比例函数图象上。
(2) ① 求$x_1$的取值范围
∵$k=-12＜0$，
∴该反比例函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大。
已知$x_2=x_1+3＞x_1$，但$y_1＞y_2$，说明点C在第二象限、点D在第四象限，可列不等式组：
$\begin{cases}x_1＜0\\x_1+3＞0\end{cases}$
解得$-3＜x_1＜0$。
② 求y的取值范围
∵点C、D在反比例函数图象上，
∴$y_1=-\frac{12}{x_1}$，$y_2=-\frac{12}{x_2}$。
已知$y_1=2y_2$，代入得$-\frac{12}{x_1}=2×(-\frac{12}{x_2})$，化简得$x_2=2x_1$。
结合$x_2=x_1+3$，得$2x_1=x_1+3$，解得$x_1=3$，则$x_2=3+3=6$，
∴$x_1+x_2=9$。
当$x＜9$时分两种情况讨论：
1. 当$x＜0$时，图象在第二象限，此时$y＞0$；
2. 当$0＜x＜9$时，图象在第四象限，y随x的增大而增大，当x=9时，$y=-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3}$，因此此时$y＜-\frac{4}{3}$。
综上，y的取值范围为$y＜-\frac{4}{3}$或$y＞0$。
【答案】
(1) 点$B(6,2)$不在此反比例函数图象上；
(2) ① $-3＜x_1＜0$；② $y＜-\frac{4}{3}$或$y＞0$
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数点的坐标特征，反比例函数的增减性
【点评】
本题围绕反比例函数核心考点设计，既考查了基础的解析式求解、点在图象上的判定方法，也要求结合函数增减性分类讨论，解题时需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，避免忽略跨象限情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路梳理：
(1) 要判断点是否在反比例函数图象上，首先需要将已知点A代入反比例函数表达式求出k值，得到函数解析式，再将点B的横坐标代入解析式，验证计算得到的纵坐标是否与点B的纵坐标一致即可。
(2) ① 先明确该反比例函数的增减性：k＜0时，图象分布在第二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大。已知$x_2=x_1+3＞x_1$，但$y_1＞y_2$，说明两点不在同一象限（同一象限内x增大y会增大，不会出现x大y小的情况），据此列不等式组即可求解$x_1$的范围。
② 先利用$y_1=2y_2$结合反比例函数表达式推导$x_1$和$x_2$的关系，再结合$x_2=x_1+3$求出$x_1$、$x_2$的值，得到$x_1+x_2$的取值后，分$x＜0$和$0＜x＜9$两种情况讨论y的取值范围，注意反比例函数图象与坐标轴无交点。
【解析】
第一步：求反比例函数解析式
将点$A(-3,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-3}$，解得$k=-12$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
(1) 判断点B是否在图象上
将$x=6$代入$y=-\frac{12}{x}$，得$y=-\frac{12}{6}=-2≠2$，因此点$B(6,2)$不在该反比例函数图象上。
(2) ① 求$x_1$的取值范围
∵$k=-12＜0$，
∴该反比例函数图象在第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大。
已知$x_2=x_1+3＞x_1$，但$y_1＞y_2$，说明点C在第二象限、点D在第四象限，可列不等式组：
$\begin{cases}x_1＜0\\x_1+3＞0\end{cases}$
解得$-3＜x_1＜0$。
② 求y的取值范围
∵点C、D在反比例函数图象上，
∴$y_1=-\frac{12}{x_1}$，$y_2=-\frac{12}{x_2}$。
已知$y_1=2y_2$，代入得$-\frac{12}{x_1}=2×(-\frac{12}{x_2})$，化简得$x_2=2x_1$。
结合$x_2=x_1+3$，得$2x_1=x_1+3$，解得$x_1=3$，则$x_2=3+3=6$，
∴$x_1+x_2=9$。
当$x＜9$时分两种情况讨论：
1. 当$x＜0$时，图象在第二象限，此时$y＞0$；
2. 当$0＜x＜9$时，图象在第四象限，y随x的增大而增大，当x=9时，$y=-\frac{12}{9}=-\frac{4}{3}$，因此此时$y＜-\frac{4}{3}$。
综上，y的取值范围为$y＜-\frac{4}{3}$或$y＞0$。
【答案】
(1) 点$B(6,2)$不在此反比例函数图象上；
(2) ① $-3＜x_1＜0$；② $y＜-\frac{4}{3}$或$y＞0$
【知识点】
反比例函数解析式求解，反比例函数点的坐标特征，反比例函数的增减性
【点评】
本题围绕反比例函数核心考点设计，既考查了基础的解析式求解、点在图象上的判定方法，也要求结合函数增减性分类讨论，解题时需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，避免忽略跨象限情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
