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11.定义:$[a,b]$为反比例函数 $y=\frac{a}{bx}$$(ab≠0,a,b$ 为实数)的“关联数”。
反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$的“关联数”为$[m,m+2]$,反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的“关联数”为$[m+1,m+3]$,若$m＞0$,则
（
A.$k_1=k_2$
B.$k_1＞k_2$
C.$k_1＜k_2$
D.无法比较
反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}$的“关联数”为$[m,m+2]$,反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的“关联数”为$[m+1,m+3]$,若$m＞0$,则
（
C
）A.$k_1=k_2$
B.$k_1＞k_2$
C.$k_1＜k_2$
D.无法比较
答案
11. C[提示:$\begin{cases} k_1=\dfrac{m}{m+2}, \\ k_2=\dfrac{m+1}{m+3}, \end{cases}$$\therefore k_1-k_2=\dfrac{m}{m+2}-\dfrac{m+1}{m+3}=\dfrac{m^2+3m-m^2-3m-2}{(m+2)(m+3)}=-\dfrac{2}{(m+2)(m+3)}＜0$,则$k_1＜k_2$]
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题中给出的“关联数”新定义，按照定义将两个反比例函数的“关联数”代入对应解析式，推导得到$k_1$、$k_2$关于参数$m$的表达式；再选用作差法比较$k_1$和$k_2$的大小，将两个代数式作差后通分化简，最后结合$m＞0$的条件判断差的正负，即可得到$k_1$和$k_2$的大小关系。
【解析】
根据“关联数”的定义：
对于反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，其“关联数”为$[m,m+2]$，代入$y=\frac{a}{bx}$可得：
$y=\frac{m}{(m+2)x}=\frac{k_1}{x}$，因此$k_1=\frac{m}{m+2}$。
对于反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，其“关联数”为$[m+1,m+3]$，同理可得：
$y=\frac{m+1}{(m+3)x}=\frac{k_2}{x}$，因此$k_2=\frac{m+1}{m+3}$。
用作差法比较$k_1$和$k_2$的大小：
$\begin{aligned}k_1 - k_2&=\frac{m}{m+2}-\frac{m+1}{m+3}\\&=\frac{m(m+3)-(m+1)(m+2)}{(m+2)(m+3)}\\&=\frac{m^2+3m-(m^2+3m+2)}{(m+2)(m+3)}\\&=\frac{-2}{(m+2)(m+3)}\end{aligned}$
已知$m＞0$，因此$m+2＞0$，$m+3＞0$，分母$(m+2)(m+3)＞0$，分子为$-2＜0$，故$k_1 - k_2＜0$，即$k_1＜k_2$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，反比例函数的概念，代数式比较大小
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考查对新定义的理解能力和代数式的运算能力，解题关键是正确将新定义规则转化为熟悉的代数式运算，计算过程中注意通分、去括号的符号问题，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题中给出的“关联数”新定义，按照定义将两个反比例函数的“关联数”代入对应解析式，推导得到$k_1$、$k_2$关于参数$m$的表达式；再选用作差法比较$k_1$和$k_2$的大小，将两个代数式作差后通分化简，最后结合$m＞0$的条件判断差的正负，即可得到$k_1$和$k_2$的大小关系。
【解析】
根据“关联数”的定义：
对于反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，其“关联数”为$[m,m+2]$，代入$y=\frac{a}{bx}$可得：
$y=\frac{m}{(m+2)x}=\frac{k_1}{x}$，因此$k_1=\frac{m}{m+2}$。
对于反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$，其“关联数”为$[m+1,m+3]$，同理可得：
$y=\frac{m+1}{(m+3)x}=\frac{k_2}{x}$，因此$k_2=\frac{m+1}{m+3}$。
用作差法比较$k_1$和$k_2$的大小：
$\begin{aligned}k_1 - k_2&=\frac{m}{m+2}-\frac{m+1}{m+3}\\&=\frac{m(m+3)-(m+1)(m+2)}{(m+2)(m+3)}\\&=\frac{m^2+3m-(m^2+3m+2)}{(m+2)(m+3)}\\&=\frac{-2}{(m+2)(m+3)}\end{aligned}$
已知$m＞0$，因此$m+2＞0$，$m+3＞0$，分母$(m+2)(m+3)＞0$，分子为$-2＜0$，故$k_1 - k_2＜0$，即$k_1＜k_2$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，反比例函数的概念，代数式比较大小
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考查对新定义的理解能力和代数式的运算能力，解题关键是正确将新定义规则转化为熟悉的代数式运算，计算过程中注意通分、去括号的符号问题，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
12.【科学知识】①同一物体漂浮于不同液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例函数关系；②两种液体混合后的密度ρ满足ρV总=ρ₁V₁+ρ₂V₂（其中ρ₁,ρ₂为两种液体的密度，V₁,V₂为两种液体的体积，为方便计算，假定V总=V₁+V₂）。
【问题解决】图1的溶液由500 cm³水与300 cm³甲液体混合而成，为估计甲液体密度，小明将一个正方体木块置于溶液中，测得漂浮木块在液面以下的高为2 cm。如图2，小明又将该木块置于水中，测得漂浮木块在水面以下的高为2.6 cm。而已知水的密度为1 g/cm³，求甲液体的密度。
【问题解决】图1的溶液由500 cm³水与300 cm³甲液体混合而成，为估计甲液体密度，小明将一个正方体木块置于溶液中，测得漂浮木块在液面以下的高为2 cm。如图2，小明又将该木块置于水中，测得漂浮木块在水面以下的高为2.6 cm。而已知水的密度为1 g/cm³，求甲液体的密度。
答案
12. $\because \rho_{混}V_{总}=\rho_{水}V_{水}+\rho_{甲}V_{甲}$,$V_{水}=500$,$V_{甲}=300$,$\rho_{水}=1$,$\therefore (500+300)\rho_{混}=1×500+300\rho_{甲}$,$\therefore \rho_{混}=\dfrac{3+3\rho_{甲}}{8}$。不妨设正方形底面积为$S$,$\because \rho_{V}=k$,$\therefore 2S\rho_{混}=2.6S\rho_{水}$,$\therefore \rho_{混}=1.3\rho_{水}=1.3$,$\therefore \dfrac{5+3\rho_{甲}}{8}=1.3$,$\therefore \rho_{甲}=1.8$
解析
【分析】
解题可按两步推导：① 根据题目给出的“同一物体漂浮于不同液体中，液面以下的体积与液体密度成反比例”的结论，可知液体密度与对应排开体积的乘积为定值，结合木块在水和混合溶液中的浸入高度，可先求出混合溶液的密度，计算时木块底面积可约去，无需单独求解；② 再利用题目给出的混合液体密度公式，将已知的水的体积、甲液体体积、水的密度及已求出的混合溶液密度代入，解方程即可得到甲液体的密度。
【解析】
设正方体木块的底面积为$ S $，甲液体的密度为$ \rho_{甲}\ \mathrm{g/cm}^3 $。
1. 推导混合溶液密度的表达式：
根据混合液体密度公式$ \rho V_{总}=\rho_1V_1+\rho_2V_2 $，已知$ V_{水}=500\ \mathrm{cm}^3 $，$ \rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3 $，$ V_{甲}=300\ \mathrm{cm}^3 $，混合后总体积$ V_{总}=500+300=800\ \mathrm{cm}^3 $，代入得：
$ 800\rho_{混}=1×500 + 300\rho_{甲} $
整理得：$ \rho_{混}=\frac{5 + 3\rho_{甲}}{8} $
2. 计算混合溶液的密度：
根据漂浮时液体密度与排开体积乘积为定值的结论，木块在混合液中排开体积$ V_{排1}=2S $，在水中排开体积$ V_{排2}=2.6S $，因此：
$ \rho_{混}×2S = \rho_{水}×2.6S $
约去$ S $，代入$ \rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3 $，得$ 2\rho_{混}=2.6 $，解得$ \rho_{混}=1.3\ \mathrm{g/cm}^3 $
3. 求解甲液体密度：
将$ \rho_{混}=1.3 $代入$ \rho_{混}=\frac{5 + 3\rho_{甲}}{8} $，得：
$ 1.3=\frac{5 + 3\rho_{甲}}{8} $
解得：$ \rho_{甲}=1.8 $
【答案】
甲液体的密度为$\boxed{1.8\ \mathrm{g/cm}^3}$
【知识点】
反比例函数应用，解方程，混合密度计算
【点评】
本题为跨学科综合题，结合了反比例函数、方程计算和密度相关结论考查，解题的核心是紧扣题目给出的已知条件逐步推导，能锻炼学生信息提取和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
解题可按两步推导：① 根据题目给出的“同一物体漂浮于不同液体中，液面以下的体积与液体密度成反比例”的结论，可知液体密度与对应排开体积的乘积为定值，结合木块在水和混合溶液中的浸入高度，可先求出混合溶液的密度，计算时木块底面积可约去，无需单独求解；② 再利用题目给出的混合液体密度公式，将已知的水的体积、甲液体体积、水的密度及已求出的混合溶液密度代入，解方程即可得到甲液体的密度。
【解析】
设正方体木块的底面积为$ S $，甲液体的密度为$ \rho_{甲}\ \mathrm{g/cm}^3 $。
1. 推导混合溶液密度的表达式：
根据混合液体密度公式$ \rho V_{总}=\rho_1V_1+\rho_2V_2 $，已知$ V_{水}=500\ \mathrm{cm}^3 $，$ \rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3 $，$ V_{甲}=300\ \mathrm{cm}^3 $，混合后总体积$ V_{总}=500+300=800\ \mathrm{cm}^3 $，代入得：
$ 800\rho_{混}=1×500 + 300\rho_{甲} $
整理得：$ \rho_{混}=\frac{5 + 3\rho_{甲}}{8} $
2. 计算混合溶液的密度：
根据漂浮时液体密度与排开体积乘积为定值的结论，木块在混合液中排开体积$ V_{排1}=2S $，在水中排开体积$ V_{排2}=2.6S $，因此：
$ \rho_{混}×2S = \rho_{水}×2.6S $
约去$ S $，代入$ \rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3 $，得$ 2\rho_{混}=2.6 $，解得$ \rho_{混}=1.3\ \mathrm{g/cm}^3 $
3. 求解甲液体密度：
将$ \rho_{混}=1.3 $代入$ \rho_{混}=\frac{5 + 3\rho_{甲}}{8} $，得：
$ 1.3=\frac{5 + 3\rho_{甲}}{8} $
解得：$ \rho_{甲}=1.8 $
【答案】
甲液体的密度为$\boxed{1.8\ \mathrm{g/cm}^3}$
【知识点】
反比例函数应用，解方程，混合密度计算
【点评】
本题为跨学科综合题，结合了反比例函数、方程计算和密度相关结论考查，解题的核心是紧扣题目给出的已知条件逐步推导，能锻炼学生信息提取和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.7
