2. 计算：
(1)$\sqrt{49}$；(2)$\sqrt{\dfrac{49}{16}}$；(3)$\sqrt{0.25}$。

解：(1)$\sqrt{49}=7$。
(2)$\sqrt{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{7}{4}$。
(3)$\sqrt{0.25}=0.5$。

【分析】
本题考查算术平方根的计算，解题核心是掌握算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，则这个正数x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果为非负数。解题时分别对每个小题找到对应平方等于被开方数的正数即可：(1)找平方等于49的正整数；(2)找平方等于$\frac{49}{16}$的正分数；(3)找平方等于0.25的正小数即可。
【解析】
根据算术平方根的定义计算：
(1) 因为$7^2=49$，所以$\sqrt{49}=7$；
(2) 因为$(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，所以$\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}$；
(3) 因为$0.5^2=0.25$，所以$\sqrt{0.25}=0.5$。
【答案】
(1)7；(2)$\frac{7}{4}$；(3)0.5
【知识点】
算术平方根的定义；开平方运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础运算题，只要准确理解算术平方根的非负性，牢记常见数的平方结果，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9

新知生成：一般地，如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$就叫作$a$的，记作，读作“”。
特别地，我们规定：0的算术平方根是，即。

正 算术平方根 $\sqrt{a}$ 根号$a$ 0 $\sqrt{0}=0$

【分析】
这道题属于概念识记类题目，考查算术平方根的基础定义及相关规定。解题时只需回忆课本中算术平方根的定义内容、符号记法、读法以及特殊数的规定即可对应填空。首先明确算术平方根的定义前提是“正数x”，再对应填写该正数的名称、记法、读法，最后结合0的算术平方根的特殊规定填写剩余内容。
【解析】
根据算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$就叫作$a$的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，读作“根号$a$”。
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即$\sqrt{0}=0$。
按照上述定义依次对应填空即可。
【答案】
正；算术平方根；$\sqrt{a}$；根号$a$；0；$\sqrt{0}=0$
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的表示；0的算术平方根
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对算术平方根核心概念的记忆，是学习平方根、二次根式等后续内容的基础，需牢固掌握相关基础概念。
【难度系数】
0.9

例 求下列各数的算术平方根：
(1)169；(2)$\frac{4}{81}$；(3)0.09。

解：(1)因为$13^2=169$，所以169的算术平方根是13，即$\sqrt{169}=13$。
(2)因为$(\dfrac{2}{9})^2=\dfrac{4}{81}$，所以$\dfrac{4}{81}$的算术平方根是$\dfrac{2}{9}$，即$\sqrt{\dfrac{4}{81}}=\dfrac{2}{9}$。
(3)因为$0.3^2=0.09$，所以0.09的算术平方根是0.3，即$\sqrt{0.09}=0.3$。

【分析】
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），那么这个正数$x$就叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。解题时只需逆用平方运算，找到哪个非负数的平方等于题目给出的数，该非负数就是对应数的算术平方根。
【解析】
(1)因为$13^2=169$，所以169的算术平方根是13，即$\sqrt{169}=13$。
(2)因为$(\dfrac{2}{9})^2=\dfrac{4}{81}$，所以$\dfrac{4}{81}$的算术平方根是$\dfrac{2}{9}$，即$\sqrt{\dfrac{4}{81}}=\dfrac{2}{9}$。
(3)因为$0.3^2=0.09$，所以0.09的算术平方根是0.3，即$\sqrt{0.09}=0.3$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{13}$；(2)$\boldsymbol{\dfrac{2}{9}}$；(3)$\boldsymbol{0.3}$
【知识点】
算术平方根，乘方逆运算
【点评】
本题属于算术平方根的基础考查题，解题关键是牢记算术平方根的非负性，通过逆用平方运算即可快速求解，熟练记忆常见数的平方结果能有效提升解题速度和正确率。
【难度系数】
0.9

1. 已知$\sqrt{m}=5$，则$m$的值是（）

A.25
B.$-25$
C.$\pm25$
D.$\sqrt{5}$

1.A

【分析】
解题时首先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，则这个非负数x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，且算术平方根的被开方数、计算结果均为非负数。本题已知m的算术平方根是5，只需将等式两边同时平方，即可求出m的值，同时结合算术平方根的非负性排除错误选项。
【解析】
根据算术平方根的定义，已知$\sqrt{m}=5$，将等式两边同时平方可得：
$(\sqrt{m})^2=5^2$
计算得$m=25$，且被开方数$m≥0$，25符合要求，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，重点区分算术平方根和平方根的概念，明确算术平方根的结果唯一且为非负数，避免混淆概念选错带负号的选项。
【难度系数】
0.9

探究1：计算下列各式的值。
(1)$\sqrt{4^2}$；(2)$\sqrt{0^2}$；(3)$\sqrt{(-4)^2}$。
根据计算结果，你认为当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$成立吗？当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=a$成立吗？

解：(1)$\sqrt{4^2}=4$；(2)$\sqrt{0^2}=0$；(3)$\sqrt{(-4)^2}=4$。
当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$成立；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=a$不成立，应是$\sqrt{a^2}=-a$。

【分析】
解题时首先要明确算术平方根的定义：非负数的非负平方根叫做它的算术平方根，即算术平方根的计算结果一定是非负数。我们先分别计算三个式子，先算出被开方数中乘方的结果，再求其算术平方根，之后将计算结果和底数做对比，分别判断a≥0和a＜0时$\sqrt{a^2}=a$是否成立，最终总结规律即可。
【解析】
解：(1)先计算被开方数：$4^2=16$，再求16的算术平方根，可得$\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$；
(2)先计算被开方数：$0^2=0$，再求0的算术平方根，可得$\sqrt{0^2}=\sqrt{0}=0$；
(3)先计算被开方数：$(-4)^2=16$，再求16的算术平方根，可得$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$。
接下来判断规律：
当$a≥0$时，比如$a=4$、$a=0$时，$\sqrt{a^2}$的结果都等于a本身，因此$\sqrt{a^2}=a$成立；
当$a＜0$时，比如$a=-4$时，$\sqrt{a^2}=4$，而$a=-4$，$4≠-4$，此时$\sqrt{a^2}=-a$（$-(-4)=4$），因此$\sqrt{a^2}=a$不成立。
【答案】
(1)$\sqrt{4^2}=4$；(2)$\sqrt{0^2}=0$；(3)$\sqrt{(-4)^2}=4$。
当$a≥0$时，$\sqrt{a^2}=a$成立；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=a$不成立，应是$\sqrt{a^2}=-a$。
【知识点】
1.算术平方根的定义 2.$\sqrt{a^2}$的化简规律
【点评】
本题通过具体数值的计算探究算术平方根的相关规律，侧重考查对算术平方根非负性的理解，能帮助学生清晰区分不同符号下底数的化简结果，是二次根式化简的基础题型。
【难度系数】
0.8

探究2：$(\sqrt{3})^2$等于多少？为什么？$(\sqrt{0})^2$等于多少？你认为当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$成立吗？

解：$(\sqrt{3})^2=3$，这是因为$\sqrt{3}$表示3的算术平方根，一个正数的算术平方根再平方就等于它本身；$(\sqrt{0})^2=0$；当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$成立。

【分析】
解题时先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a（即$x^2=a$，$x≥0$），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$。首先推导$(\sqrt{3})^2$的结果：$\sqrt{3}$是3的算术平方根，根据定义它的平方就等于3；接着计算$(\sqrt{0})^2$，同理$\sqrt{0}$是0的算术平方根，平方后等于0；最后推广到一般情况，只有当$a≥0$时$\sqrt{a}$才有意义（负数没有算术平方根），此时结合算术平方根的定义就能判断$(\sqrt{a})^2=a$是否成立。
【解析】
1. 计算$(\sqrt{3})^2$：根据算术平方根的定义，$\sqrt{3}$是3的算术平方根，即非负数$\sqrt{3}$满足$(\sqrt{3})^2=3$，因此$(\sqrt{3})^2=3$。
2. 计算$(\sqrt{0})^2$：$\sqrt{0}$是0的算术平方根，因此$(\sqrt{0})^2=0$。
3. 探究$a≥0$时$(\sqrt{a})^2=a$的成立性：当$a≥0$时，$\sqrt{a}$表示a的算术平方根，是有意义的，结合算术平方根的定义可得$(\sqrt{a})^2=a$，因此该等式成立。
【答案】
$(\sqrt{3})^2=3$，这是因为$\sqrt{3}$表示3的算术平方根，一个正数的算术平方根再平方就等于它本身；$(\sqrt{0})^2=0$；当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$成立。
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的性质
【点评】
本题属于算术平方根的基础考查题，核心是对算术平方根定义的理解与应用，解题时要注意只有被开方数为非负数时，算术平方根才有意义，该性质是后续二次根式运算的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

新知生成：
(1)$\sqrt{a^2}=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_ (a≥0), \\\_\_\_\_\_\_ (a＜0)。\end{cases}$
(2)$(\sqrt{a})^2=\_\_\_\_\_\_ (a≥0)。$

(1)$a$ $-a$ (2)$a$

【分析】
解题时需结合算术平方根的非负性来推导两个二次根式的性质：1. 对于$\sqrt{a^2}$，它表示$a^2$的算术平方根，结果一定是非负数，因此需要根据$a$的正负分类讨论：当$a≥0$时，$a$本身非负，化简结果就是$a$；当$a＜0$时，$a$是负数，要得到非负的算术平方根结果，就需要取$a$的相反数。2. 对于$(\sqrt{a})^2$，首先$\sqrt{a}$有意义的前提是$a≥0$，此时$\sqrt{a}$是$a$的算术平方根，平方后结果就等于$a$本身。
【解析】
(1) 根据算术平方根的非负性，$\sqrt{a^2}$的结果必为非负数：
当$a≥0$时，$a$是非负数，因此$\sqrt{a^2}=a$；
当$a＜0$时，$a$是负数，此时它的相反数$-a$是正数，满足算术平方根非负的要求，因此$\sqrt{a^2}=-a$。
(2) 要使$\sqrt{a}$有意义，必须满足$a≥0$，此时$\sqrt{a}$是$a$的算术平方根，对其平方可得：$(\sqrt{a})^2=a$。
【答案】
(1) $a$；$-a$ (2) $a$
【知识点】
1. 二次根式的性质 2. 算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式基本性质的基础考察题，区分清楚$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的适用条件和化简规则，牢记算术平方根结果非负的特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9