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计算：
(1)$\sqrt{(-10)^2}$；
(2)$(\sqrt{29})^2$；
(3)$\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}$。
(1)$\sqrt{(-10)^2}$；
(2)$(\sqrt{29})^2$；
(3)$\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}$。
答案
解：(1)$\sqrt{(-10)^2}=10$。
(2)$(\sqrt{29})^2=29$。
(3)$\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{3}$。
(2)$(\sqrt{29})^2=29$。
(3)$\sqrt{(\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】
解题时需结合算术平方根的相关性质逐一计算：
1. 对于$\sqrt{a^2}$类的运算，可利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$，根据$a$的正负性去绝对值得到非负结果，也可先计算根号内的乘方，再求结果的算术平方根；
2. 对于$(\sqrt{a})^2$类的运算，当$a≥0$时，可直接利用性质$(\sqrt{a})^2=a$快速得出结果。
接下来对应三个小题分别套用对应的方法计算即可。
【解析】
(1) 先计算根号内的乘方：$(-10)^2=100$，再求100的算术平方根，因为$10^2=100$，所以$\sqrt{100}=10$，即$\sqrt{(-10)^2}=10$；
(2) 利用性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），因为29＞0，所以$(\sqrt{29})^2=29$；
(3) 先计算根号内的乘方：$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，再求$\frac{1}{9}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，所以$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，即$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$10$；(2)$29$；(3)$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
算术平方根的性质；乘方运算；算术平方根的定义
【点评】
本题是根式运算的基础题型，核心考查对算术平方根非负性的理解，需注意区分$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的运算规则，熟练掌握相关性质可大幅提高运算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
解题时需结合算术平方根的相关性质逐一计算：
1. 对于$\sqrt{a^2}$类的运算，可利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$，根据$a$的正负性去绝对值得到非负结果，也可先计算根号内的乘方，再求结果的算术平方根；
2. 对于$(\sqrt{a})^2$类的运算，当$a≥0$时，可直接利用性质$(\sqrt{a})^2=a$快速得出结果。
接下来对应三个小题分别套用对应的方法计算即可。
【解析】
(1) 先计算根号内的乘方：$(-10)^2=100$，再求100的算术平方根，因为$10^2=100$，所以$\sqrt{100}=10$，即$\sqrt{(-10)^2}=10$；
(2) 利用性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），因为29＞0，所以$(\sqrt{29})^2=29$；
(3) 先计算根号内的乘方：$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，再求$\frac{1}{9}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，所以$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，即$\sqrt{(\frac{1}{3})^2}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$10$；(2)$29$；(3)$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
算术平方根的性质；乘方运算；算术平方根的定义
【点评】
本题是根式运算的基础题型，核心考查对算术平方根非负性的理解，需注意区分$\sqrt{a^2}$和$(\sqrt{a})^2$的运算规则，熟练掌握相关性质可大幅提高运算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
请根据本课所学，构建知识体系。
算术平方根
概念
性质
正数的算术平方根是
双重非负性：一是被开方数具有非负性；二是算术平方根本身具有非负性
算术平方根
概念
性质
正数的算术平方根是
正数
，0的算术平方根是0
；负数没有
算术平方根双重非负性：一是被开方数具有非负性；二是算术平方根本身具有非负性
答案
正数 0 没有
解析
【分析】
本题考查算术平方根的基础性质，解题时先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根。再结合定义分别分析三类数的算术平方根情况：正数的平方为正数，因此正数对应的算术平方根是正数；0的平方是0，因此0的算术平方根是它本身；不存在数的平方为负数，因此负数没有算术平方根，据此即可完成填空。
【解析】
1. 分析正数的算术平方根：根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是一个正数，因此第一个空填正数；
2. 分析0的算术平方根：因为0²=0，符合算术平方根的定义，因此0的算术平方根是0，第二个空填0；
3. 分析负数的算术平方根：由于任何数的平方都是非负数，不存在平方为负数的数，因此负数没有算术平方根，第三个空填没有。
【答案】
正数；0；没有
【知识点】
算术平方根的性质；算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对算术平方根相关基础性质的识记能力，熟练掌握该部分内容是后续学习平方根、二次根式等知识的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的基础性质，解题时先回忆算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则x叫做a的算术平方根。再结合定义分别分析三类数的算术平方根情况：正数的平方为正数，因此正数对应的算术平方根是正数；0的平方是0，因此0的算术平方根是它本身；不存在数的平方为负数，因此负数没有算术平方根，据此即可完成填空。
【解析】
1. 分析正数的算术平方根：根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是一个正数，因此第一个空填正数；
2. 分析0的算术平方根：因为0²=0，符合算术平方根的定义，因此0的算术平方根是0，第二个空填0；
3. 分析负数的算术平方根：由于任何数的平方都是非负数，不存在平方为负数的数，因此负数没有算术平方根，第三个空填没有。
【答案】
正数；0；没有
【知识点】
算术平方根的性质；算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对算术平方根相关基础性质的识记能力，熟练掌握该部分内容是后续学习平方根、二次根式等知识的前提。
【难度系数】
0.9
探究1：平方等于0.64的数有
两
个，是±0.8
；平方等于$\frac{9}{16}$的数有两
个，是±$\frac{3}{4}$
。答案
两 ±0.8 两 ±$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题的核心依据是平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。我们需要明确正数的平方根规律：正数有两个平方根，它们互为相反数。解题时先找到对应正数的正平方根，再结合相反数的性质得到负的平方根，就能得到全部满足条件的数。
【解析】
1. 求平方等于0.64的数：
根据平方根的定义，寻找满足$x^2=0.64$的$x$。
因为$0.8^2=0.64$，$(-0.8)^2=0.64$，所以平方等于0.64的数有2个，为$\pm0.8$。
2. 求平方等于$\frac{9}{16}$的数：
同理，寻找满足$x^2=\frac{9}{16}$的$x$。
因为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，所以平方等于$\frac{9}{16}$的数有2个，为$\pm\frac{3}{4}$。
【答案】
两 $\pm0.8$ 两 $\pm\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 正数平方根的性质
【点评】
本题是平方根概念的基础应用题，解题时需注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。我们需要明确正数的平方根规律：正数有两个平方根，它们互为相反数。解题时先找到对应正数的正平方根，再结合相反数的性质得到负的平方根，就能得到全部满足条件的数。
【解析】
1. 求平方等于0.64的数：
根据平方根的定义，寻找满足$x^2=0.64$的$x$。
因为$0.8^2=0.64$，$(-0.8)^2=0.64$，所以平方等于0.64的数有2个，为$\pm0.8$。
2. 求平方等于$\frac{9}{16}$的数：
同理，寻找满足$x^2=\frac{9}{16}$的$x$。
因为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，所以平方等于$\frac{9}{16}$的数有2个，为$\pm\frac{3}{4}$。
【答案】
两 $\pm0.8$ 两 $\pm\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 正数平方根的性质
【点评】
本题是平方根概念的基础应用题，解题时需注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
例 求下列各数的平方根：
(1)169；(2)$\frac{4}{81}$；(3)0.09。
(1)169；(2)$\frac{4}{81}$；(3)0.09。
答案
解：(1)因为$(±13)^2=169$，所以169的平方根是±13，即$±\sqrt{169}=±13$。
(2)因为$(±\frac{2}{9})^2=\frac{4}{81}$，所以$\frac{4}{81}$的平方根是$±\frac{2}{9}$，即$±\sqrt{\frac{4}{81}}=±\frac{2}{9}$。
(3)因为$(±0.3)^2=0.09$，所以0.09的平方根是±0.3，即$±\sqrt{0.09}=±0.3$。
(2)因为$(±\frac{2}{9})^2=\frac{4}{81}$，所以$\frac{4}{81}$的平方根是$±\frac{2}{9}$，即$±\sqrt{\frac{4}{81}}=±\frac{2}{9}$。
(3)因为$(±0.3)^2=0.09$，所以0.09的平方根是±0.3，即$±\sqrt{0.09}=±0.3$。
解析
【分析】
求一个数的平方根，首先要明确平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），那么$x$就叫做$a$的平方根，且正数的平方根有两个，二者互为相反数。解题时只需分别找到平方后等于对应给定数的两个互为相反数的数，即可得到该数的平方根。
【解析】
(1)因为$(±13)^2=169$，所以169的平方根是$±13$，即$±\sqrt{169}=±13$。
(2)因为$(±\frac{2}{9})^2=\frac{4}{81}$，所以$\frac{4}{81}$的平方根是$±\frac{2}{9}$，即$±\sqrt{\frac{4}{81}}=±\frac{2}{9}$。
(3)因为$(±0.3)^2=0.09$，所以0.09的平方根是$±0.3$，即$±\sqrt{0.09}=±0.3$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{±13}$；(2)$\boldsymbol{±\frac{2}{9}}$；(3)$\boldsymbol{±0.3}$
【知识点】
平方根的定义，平方根的性质，开平方运算
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，核心考查对平方根概念的理解与应用，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.85
求一个数的平方根，首先要明确平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），那么$x$就叫做$a$的平方根，且正数的平方根有两个，二者互为相反数。解题时只需分别找到平方后等于对应给定数的两个互为相反数的数，即可得到该数的平方根。
【解析】
(1)因为$(±13)^2=169$，所以169的平方根是$±13$，即$±\sqrt{169}=±13$。
(2)因为$(±\frac{2}{9})^2=\frac{4}{81}$，所以$\frac{4}{81}$的平方根是$±\frac{2}{9}$，即$±\sqrt{\frac{4}{81}}=±\frac{2}{9}$。
(3)因为$(±0.3)^2=0.09$，所以0.09的平方根是$±0.3$，即$±\sqrt{0.09}=±0.3$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{±13}$；(2)$\boldsymbol{±\frac{2}{9}}$；(3)$\boldsymbol{±0.3}$
【知识点】
平方根的定义，平方根的性质，开平方运算
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，核心考查对平方根概念的理解与应用，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.85
请把“36 的平方根是正负 6”翻译成数学式子表示出来：
$±\sqrt{36}=±6$
。答案
$±\sqrt{36}=±6$
解析
【分析】
解题时先回忆平方根的表示规则：非负数a的平方根记作±√a，其中√a是a的算术平方根，仅表示非负的那个平方根。题目要求表示“36的平方根是正负6”，首先要写出36的平方根的正确符号形式，再将其与结果±6用等号连接即可，注意不能遗漏左边的±，否则就变成算术平方根等于±6，属于错误表述。
【解析】
1. 根据平方根的表示方法，36的平方根应表示为$±\sqrt{36}$；
2. 结合题目中“36的平方根是正负6”的描述，可列出对应等式：$±\sqrt{36}=±6$。
【答案】
$±\sqrt{36}=±6$
【知识点】
平方根的表示，算术平方根的概念
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，核心考查平方根与算术平方根的符号区别，易错点是容易漏掉等号左侧的正负号，误写为$\sqrt{36}=±6$，牢记$\sqrt{a}$仅表示非负的算术平方根，$±\sqrt{a}$才表示a的两个平方根是避免错误的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平方根的表示规则：非负数a的平方根记作±√a，其中√a是a的算术平方根，仅表示非负的那个平方根。题目要求表示“36的平方根是正负6”，首先要写出36的平方根的正确符号形式，再将其与结果±6用等号连接即可，注意不能遗漏左边的±，否则就变成算术平方根等于±6，属于错误表述。
【解析】
1. 根据平方根的表示方法，36的平方根应表示为$±\sqrt{36}$；
2. 结合题目中“36的平方根是正负6”的描述，可列出对应等式：$±\sqrt{36}=±6$。
【答案】
$±\sqrt{36}=±6$
【知识点】
平方根的表示，算术平方根的概念
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，核心考查平方根与算术平方根的符号区别，易错点是容易漏掉等号左侧的正负号，误写为$\sqrt{36}=±6$，牢记$\sqrt{a}$仅表示非负的算术平方根，$±\sqrt{a}$才表示a的两个平方根是避免错误的关键。
【难度系数】
0.7
新知生成：(1)一般地，如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个数$x$就叫作$a$的
(2)求一个数$a$的
平方根
（也叫作二次方根
）。(2)求一个数$a$的
平方根
的运算，叫作开平方，$a$叫作被开方数
。答案
(1)平方根 二次方根
(2)平方根 被开方数
(2)平方根 被开方数
解析
【分析】
本题考查平方根相关的基础概念，解题时只需回忆教材中对应定义内容直接填写即可。首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于a，这个数就是a的相关名称；再回忆开平方运算的相关定义，明确开平方运算的对象和各部分名称，就能准确得出答案。
【解析】
(1) 根据平方根的定义：一般地，如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个数$x$就叫作$a$的平方根，也叫作二次方根。
(2) 根据开平方的定义：求一个数$a$的平方根的运算，叫作开平方，其中$a$叫作被开方数。
【答案】
(1)平方根 二次方根
(2)平方根 被开方数
【知识点】
平方根的定义，开平方的定义，被开方数的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对平方根相关基础概念的掌握程度，只要熟练记住教材中的基本定义就能快速解答，是平方根章节的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查平方根相关的基础概念，解题时只需回忆教材中对应定义内容直接填写即可。首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于a，这个数就是a的相关名称；再回忆开平方运算的相关定义，明确开平方运算的对象和各部分名称，就能准确得出答案。
【解析】
(1) 根据平方根的定义：一般地，如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个数$x$就叫作$a$的平方根，也叫作二次方根。
(2) 根据开平方的定义：求一个数$a$的平方根的运算，叫作开平方，其中$a$叫作被开方数。
【答案】
(1)平方根 二次方根
(2)平方根 被开方数
【知识点】
平方根的定义，开平方的定义，被开方数的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对平方根相关基础概念的掌握程度，只要熟练记住教材中的基本定义就能快速解答，是平方根章节的基础题型。
【难度系数】
0.9
探究1：4的平方根是
一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？
探究2：正数的平方根有什么特点？
±2
，0的平方根是0
，－4没有
平方根。一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？
探究2：正数的平方根有什么特点？
答案
探究1：±2 0 没有
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根。
探究2：正数的平方根有两个，一个是它的算术平方根$\sqrt{a}$，另一个是$-\sqrt{a}$，它们互为相反数。
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根。
探究2：正数的平方根有两个，一个是它的算术平方根$\sqrt{a}$，另一个是$-\sqrt{a}$，它们互为相反数。
解析
【分析】
解题时首先明确平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即x²=a，那么x就叫做a的平方根。结合平方运算的非负性（任何数的平方都大于等于0）逐步分析：①找平方等于4的数即可得到4的平方根；②找平方等于0的数得到0的平方根；③判断是否存在数的平方等于-4，就能确定-4有没有平方根；再根据三类数的平方根情况总结个数规律，最后观察正数两个平方根的符号、和的特征就能得出探究2的结论。
【解析】
1. 求解探究1相关内容：
根据平方根的定义计算：
（1）
∵$(±2)^2=4$，
∴4的平方根是$±2$；
（2）
∵$0^2=0$，且不存在其他数的平方等于0，
∴0的平方根是0；
（3）
∵任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$恒成立，不存在实数x满足$x^2=-4$，
∴-4没有平方根。
结合上述计算结果总结平方根个数规律：一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根。
2. 解答探究2：
正数的两个平方根中，正的平方根叫做这个正数的算术平方根，记作$\sqrt{a}$（a为正数），另一个平方根为$-\sqrt{a}$，两数相加和为0，因此正数的两个平方根互为相反数。
【答案】
探究1：±2 0 没有
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根。
探究2：正数的平方根有两个，一个是它的算术平方根$\sqrt{a}$，另一个是$-\sqrt{a}$，它们互为相反数。
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；算术平方根的概念
【点评】
本题考查平方根的基础性质，属于概念类基础题，解题的关键是牢记平方根的定义和不同类型数的平方根特征，注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根，该知识点是后续学习二次根式运算的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即x²=a，那么x就叫做a的平方根。结合平方运算的非负性（任何数的平方都大于等于0）逐步分析：①找平方等于4的数即可得到4的平方根；②找平方等于0的数得到0的平方根；③判断是否存在数的平方等于-4，就能确定-4有没有平方根；再根据三类数的平方根情况总结个数规律，最后观察正数两个平方根的符号、和的特征就能得出探究2的结论。
【解析】
1. 求解探究1相关内容：
根据平方根的定义计算：
（1）
∵$(±2)^2=4$，
∴4的平方根是$±2$；
（2）
∵$0^2=0$，且不存在其他数的平方等于0，
∴0的平方根是0；
（3）
∵任意实数的平方都是非负数，即$x^2≥0$恒成立，不存在实数x满足$x^2=-4$，
∴-4没有平方根。
结合上述计算结果总结平方根个数规律：一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根。
2. 解答探究2：
正数的两个平方根中，正的平方根叫做这个正数的算术平方根，记作$\sqrt{a}$（a为正数），另一个平方根为$-\sqrt{a}$，两数相加和为0，因此正数的两个平方根互为相反数。
【答案】
探究1：±2 0 没有
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，负数没有平方根。
探究2：正数的平方根有两个，一个是它的算术平方根$\sqrt{a}$，另一个是$-\sqrt{a}$，它们互为相反数。
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；算术平方根的概念
【点评】
本题考查平方根的基础性质，属于概念类基础题，解题的关键是牢记平方根的定义和不同类型数的平方根特征，注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根，该知识点是后续学习二次根式运算的基础。
【难度系数】
0.8
