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探究1：0.101 010 10…与0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），它们有什么不同？
答案
解：0.101 010 10…是无限循环小数，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无限不循环小数。
解析
【分析】
解题时首先要明确无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数两类，二者的核心区分依据是小数部分是否有不断重复出现的固定数字组（即循环节）。首先分析第一个小数的数字变化规律：观察相邻两个1之间0的个数是否固定，判断是否存在循环节；再分析第二个小数的数字变化规律：看相邻两个1之间0的个数逐次加1的特点，判断是否存在循环节，最终得出二者的区别。
【解析】
1. 分析0.101 010 10…的数字规律：
观察小数部分，可发现“10”这组数字不断重复出现，相邻两个1之间始终只有1个0，存在固定的循环节，因此该数是无限循环小数。
2. 分析0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）的数字规律：
观察小数部分，相邻两个1之间的0的个数依次为1、2、3……逐次增加，没有固定重复出现的数字组，不存在循环节，因此该数是无限不循环小数。
【答案】
0.101 010 10…是无限循环小数，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无限不循环小数。
【知识点】
无限循环小数的识别、无限不循环小数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分无限循环小数和无限不循环小数，只要抓住“是否存在固定循环节”这一判断标准，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数两类，二者的核心区分依据是小数部分是否有不断重复出现的固定数字组（即循环节）。首先分析第一个小数的数字变化规律：观察相邻两个1之间0的个数是否固定，判断是否存在循环节；再分析第二个小数的数字变化规律：看相邻两个1之间0的个数逐次加1的特点，判断是否存在循环节，最终得出二者的区别。
【解析】
1. 分析0.101 010 10…的数字规律：
观察小数部分，可发现“10”这组数字不断重复出现，相邻两个1之间始终只有1个0，存在固定的循环节，因此该数是无限循环小数。
2. 分析0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）的数字规律：
观察小数部分，相邻两个1之间的0的个数依次为1、2、3……逐次增加，没有固定重复出现的数字组，不存在循环节，因此该数是无限不循环小数。
【答案】
0.101 010 10…是无限循环小数，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无限不循环小数。
【知识点】
无限循环小数的识别、无限不循环小数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分无限循环小数和无限不循环小数，只要抓住“是否存在固定循环节”这一判断标准，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.9
探究2：已知$a^2=2$，借助计算器探索，当$a＞0$时，$a$的取值范围。
因为$1^2=1$，$2^2=4$，
所以
因为$1.4^2=1.96$，$1.5^2=2.25$，
所以
因为$1.41^2=1.9881$，$1.42^2=2.0164$，
所以
因为$1.414^2=1.999396$，$1.415^2=2.002225$，
所以
还可以继续下去吗？$a$可能是有限小数吗？
探究3：0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）和上面的$a$都不是有理数。
观察有理数$2=2.0$，$\frac{1}{3}=$
不是有理数的数都是无限不循环小数吗？
因为$1^2=1$，$2^2=4$，
所以
1
$＜a＜$2
。因为$1.4^2=1.96$，$1.5^2=2.25$，
所以
1.4
$＜a＜$1.5
。因为$1.41^2=1.9881$，$1.42^2=2.0164$，
所以
1.41
$＜a＜$1.42
。因为$1.414^2=1.999396$，$1.415^2=2.002225$，
所以
1.414
$＜a＜$1.415
。还可以继续下去吗？$a$可能是有限小数吗？
探究3：0.101 001 000 1…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）和上面的$a$都不是有理数。
观察有理数$2=2.0$，$\frac{1}{3}=$
$0.\dot{3}$
（化成小数），$\frac{4}{5}=$0.8
（化成小数），发现：有理数总可以用有限小数
或无限循环小数
表示。不是有理数的数都是无限不循环小数吗？
答案
探究2：1 2 1.4 1.5 1.41 1.42 1.414 1.415，还可以继续下去，a不可能是有限小数。
探究3：$0.\dot{3}$ 0.8 有限小数 无限循环小数，不是有理数的数都是无限不循环小数。
探究3：$0.\dot{3}$ 0.8 有限小数 无限循环小数，不是有理数的数都是无限不循环小数。
解析
【分析】
解题时先处理探究2：采用夹逼法估算正数$a$的取值范围，对于正数而言，平方越大对应原数越大，只要找到两个正数的平方分别小于、大于2，就能确定$a$的取值区间，逐步缩小估算精度就能得到更精确的范围，再结合$a$的本质特征判断它是否为有限小数。再处理探究3：先将分数化为小数，观察有理数的小数呈现形式，再结合数的分类判断非有理数的小数特征。
【解析】
探究2
已知$a＞0$且$a^2=2$，根据正数的平方越大、原数越大的规律推导：
1. 因为$1^2=1＜2$，$2^2=4＞2$，所以$1＜a＜2$；
2. 因为$1.4^2=1.96＜2$，$1.5^2=2.25＞2$，所以$1.4＜a＜1.5$；
3. 因为$1.41^2=1.9881＜2$，$1.42^2=2.0164＞2$，所以$1.41＜a＜1.42$；
4. 因为$1.414^2=1.999396＜2$，$1.415^2=2.002225＞2$，所以$1.414＜a＜1.415$；
该估算过程可以无限继续，由于$a$是无限不循环小数，因此$a$不可能是有限小数。
探究3
将分数化为小数：
$\frac{1}{3}=1÷3=0.\dot{3}$，$\frac{4}{5}=4÷5=0.8$；
观察可得：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；不是有理数的数是无理数，无理数均为无限不循环小数，因此不是有理数的数都是无限不循环小数。
【答案】
探究2：1、2；1.4、1.5；1.41、1.42；1.414、1.415，还可以继续下去，a不可能是有限小数。
探究3：$0.\dot{3}$、0.8；有限小数、无限循环小数，不是有理数的数都是无限不循环小数。
【知识点】
夹逼法估算算术平方根，有理数的小数形式，无理数的概念
【点评】
本题通过逐步估算算术平方根、分数化小数的实践过程，直观展现了无理数的无限不循环特征，清晰区分了有理数和无理数的小数形式差异，为后续实数相关知识的学习奠定了基础。
【难度系数】
0.85
解题时先处理探究2：采用夹逼法估算正数$a$的取值范围，对于正数而言，平方越大对应原数越大，只要找到两个正数的平方分别小于、大于2，就能确定$a$的取值区间，逐步缩小估算精度就能得到更精确的范围，再结合$a$的本质特征判断它是否为有限小数。再处理探究3：先将分数化为小数，观察有理数的小数呈现形式，再结合数的分类判断非有理数的小数特征。
【解析】
探究2
已知$a＞0$且$a^2=2$，根据正数的平方越大、原数越大的规律推导：
1. 因为$1^2=1＜2$，$2^2=4＞2$，所以$1＜a＜2$；
2. 因为$1.4^2=1.96＜2$，$1.5^2=2.25＞2$，所以$1.4＜a＜1.5$；
3. 因为$1.41^2=1.9881＜2$，$1.42^2=2.0164＞2$，所以$1.41＜a＜1.42$；
4. 因为$1.414^2=1.999396＜2$，$1.415^2=2.002225＞2$，所以$1.414＜a＜1.415$；
该估算过程可以无限继续，由于$a$是无限不循环小数，因此$a$不可能是有限小数。
探究3
将分数化为小数：
$\frac{1}{3}=1÷3=0.\dot{3}$，$\frac{4}{5}=4÷5=0.8$；
观察可得：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；不是有理数的数是无理数，无理数均为无限不循环小数，因此不是有理数的数都是无限不循环小数。
【答案】
探究2：1、2；1.4、1.5；1.41、1.42；1.414、1.415，还可以继续下去，a不可能是有限小数。
探究3：$0.\dot{3}$、0.8；有限小数、无限循环小数，不是有理数的数都是无限不循环小数。
【知识点】
夹逼法估算算术平方根，有理数的小数形式，无理数的概念
【点评】
本题通过逐步估算算术平方根、分数化小数的实践过程，直观展现了无理数的无限不循环特征，清晰区分了有理数和无理数的小数形式差异，为后续实数相关知识的学习奠定了基础。
【难度系数】
0.85
1. 下列各数：3.14，$\frac{7}{21}$，0.010 010 001，$\frac{π}{2}$，0.31$\dot{7}$。其中是无理数的为
$\frac{π}{2}$
。答案
1.$\frac{π}{2}$
解析
【分析】
解题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。同时牢记常见的有理数类型：整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。解题时逐个判断给出的数属于有理数还是无理数，筛选出符合无理数定义的数即可。需要注意：有规律但位数有限的小数不是无理数，含π的代数式（π本身是无理数）一般是无理数。
【解析】
先明确判定标准：无限不循环小数为无理数，有限小数、无限循环小数、整数、分数均为有理数。
对各数逐一分析：
1. 3.14是有限小数，属于有理数；
2. $\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$，是分数，属于有理数；
3. 0.010010001是位数确定的有限小数，属于有理数；
4. π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $0.31\dot{7}$是无限循环小数，属于有理数。
综上，只有$\frac{π}{2}$是无理数。
【答案】
$\frac{π}{2}$
【知识点】
无理数的定义；有理数的识别
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的核心是准确区分有理数和无理数的概念，易错点是容易误将有规律的有限小数当作无理数，解题时要注意观察小数的位数是否有限，同时牢记含π的非零代数式通常为无理数。
【难度系数】
0.75
解题首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。同时牢记常见的有理数类型：整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。解题时逐个判断给出的数属于有理数还是无理数，筛选出符合无理数定义的数即可。需要注意：有规律但位数有限的小数不是无理数，含π的代数式（π本身是无理数）一般是无理数。
【解析】
先明确判定标准：无限不循环小数为无理数，有限小数、无限循环小数、整数、分数均为有理数。
对各数逐一分析：
1. 3.14是有限小数，属于有理数；
2. $\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$，是分数，属于有理数；
3. 0.010010001是位数确定的有限小数，属于有理数；
4. π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
5. $0.31\dot{7}$是无限循环小数，属于有理数。
综上，只有$\frac{π}{2}$是无理数。
【答案】
$\frac{π}{2}$
【知识点】
无理数的定义；有理数的识别
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的核心是准确区分有理数和无理数的概念，易错点是容易误将有规律的有限小数当作无理数，解题时要注意观察小数的位数是否有限，同时牢记含π的非零代数式通常为无理数。
【难度系数】
0.75
2. 把下列各数填在相应的大括号内：
$-2.5$，$0$，$-\dfrac{π}{3}$，$\dfrac{22}{7}$，$-2$，$-0.\dot{5}$，$8$，$1.121\ 121\ 112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1），$-\dfrac{2}{3}$。
（1）无理数集合：｛______…｝；
（2）整数集合：｛______…｝；
（3）负分数集合：｛______…｝。
$-2.5$，$0$，$-\dfrac{π}{3}$，$\dfrac{22}{7}$，$-2$，$-0.\dot{5}$，$8$，$1.121\ 121\ 112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1），$-\dfrac{2}{3}$。
（1）无理数集合：｛______…｝；
（2）整数集合：｛______…｝；
（3）负分数集合：｛______…｝。
答案
2. 解：(1)$-\frac{π}{3}$，1.121 121 112(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
(2)0，-2，8
(3)$-2.5$，$-0.\dot{5}$，$-\frac{2}{3}$
(2)0，-2，8
(3)$-2.5$，$-0.\dot{5}$，$-\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解决这类数的分类问题，首先要明确每一类数的定义：①无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的有无理数包含含π的式子、有规律但不循环的无限小数两类；②整数包括正整数、0、负整数，不含小数或分数部分；③负分数首先是负数，其次是可以转化为分数形式的数，包含负的有限小数、负的无限循环小数、负的分数三类。接下来逐个判断给出的数的属性，对应填入对应集合即可。
【解析】
我们先逐个分析所给数的属性：
1. $-2.5$：是负的有限小数，可转化为分数，属于负分数；
2. $0$：无小数、分数部分，属于整数；
3. $-\dfrac{π}{3}$：$π$是无限不循环小数，因此$-\dfrac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\dfrac{22}{7}$：是正的分数，不属于本题要求填写的三类集合；
5. $-2$：是负整数，属于整数；
6. $-0.\dot{5}$：是负的无限循环小数，可转化为分数，属于负分数；
7. $8$：是正整数，属于整数；
8. $1.121\ 121\ 112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数；
9. $-\dfrac{2}{3}$：是负的分数，属于负分数。
对应填入集合可得结果。
【答案】
(1)$-\frac{π}{3}$，1.121 121 112···(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
(2)0，-2，8
(3)$-2.5$，$-0.\dot{5}$，$-\frac{2}{3}$
【知识点】
无理数的识别、整数的定义、负分数的识别
【点评】
本题主要考查实数的分类，解题核心是准确掌握各类数的定义，注意不要将含π的数误认为有理数，也不要将有规律的无限不循环小数误认为循环小数，有限小数和无限循环小数都属于分数范畴。
【难度系数】
0.7
解决这类数的分类问题，首先要明确每一类数的定义：①无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的有无理数包含含π的式子、有规律但不循环的无限小数两类；②整数包括正整数、0、负整数，不含小数或分数部分；③负分数首先是负数，其次是可以转化为分数形式的数，包含负的有限小数、负的无限循环小数、负的分数三类。接下来逐个判断给出的数的属性，对应填入对应集合即可。
【解析】
我们先逐个分析所给数的属性：
1. $-2.5$：是负的有限小数，可转化为分数，属于负分数；
2. $0$：无小数、分数部分，属于整数；
3. $-\dfrac{π}{3}$：$π$是无限不循环小数，因此$-\dfrac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\dfrac{22}{7}$：是正的分数，不属于本题要求填写的三类集合；
5. $-2$：是负整数，属于整数；
6. $-0.\dot{5}$：是负的无限循环小数，可转化为分数，属于负分数；
7. $8$：是正整数，属于整数；
8. $1.121\ 121\ 112···$（相邻两个2之间1的个数逐次加1）：是无限不循环小数，属于无理数；
9. $-\dfrac{2}{3}$：是负的分数，属于负分数。
对应填入集合可得结果。
【答案】
(1)$-\frac{π}{3}$，1.121 121 112···(相邻两个2之间1的个数逐次加1)
(2)0，-2，8
(3)$-2.5$，$-0.\dot{5}$，$-\frac{2}{3}$
【知识点】
无理数的识别、整数的定义、负分数的识别
【点评】
本题主要考查实数的分类，解题核心是准确掌握各类数的定义，注意不要将含π的数误认为有理数，也不要将有规律的无限不循环小数误认为循环小数，有限小数和无限循环小数都属于分数范畴。
【难度系数】
0.7
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
无限循环小数 无限不循环
解析
【分析】
解题时先梳理实数的分类逻辑：首先实数分为有理数和无理数两类，先看有理数对应的小数形式：有理数包含整数和分数，整数可以看作小数点后为0的有限小数，分数做除法运算时，要么能除尽得到有限小数，要么除不尽但会出现循环的小数部分，因此有理数都能表示为有限小数或无限循环小数，可得第一个空的答案。再回忆无理数的定义：无理数是无法写成分数形式的数，它的小数部分无限且没有循环规律，即可得到第二个空的答案。
【解析】
1. 推导第一个空：有理数包括整数和分数，整数可视为有限小数，分数可化为有限小数或者无限循环小数，因此有理数对应的是有限小数或无限循环小数，第一个空填“无限循环小数”。
2. 推导第二个空：无理数的定义为无限不循环小数，因此第二个空填“无限不循环”。
【答案】
无限循环小数；无限不循环
【知识点】
实数的分类、有理数的特征、无理数的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，主要考查学生对有理数、无理数小数形式的区分识记，熟练掌握相关定义即可准确作答，要注意不要混淆无限循环小数和无限不循环小数的所属类别。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理实数的分类逻辑：首先实数分为有理数和无理数两类，先看有理数对应的小数形式：有理数包含整数和分数，整数可以看作小数点后为0的有限小数，分数做除法运算时，要么能除尽得到有限小数，要么除不尽但会出现循环的小数部分，因此有理数都能表示为有限小数或无限循环小数，可得第一个空的答案。再回忆无理数的定义：无理数是无法写成分数形式的数，它的小数部分无限且没有循环规律，即可得到第二个空的答案。
【解析】
1. 推导第一个空：有理数包括整数和分数，整数可视为有限小数，分数可化为有限小数或者无限循环小数，因此有理数对应的是有限小数或无限循环小数，第一个空填“无限循环小数”。
2. 推导第二个空：无理数的定义为无限不循环小数，因此第二个空填“无限不循环”。
【答案】
无限循环小数；无限不循环
【知识点】
实数的分类、有理数的特征、无理数的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，主要考查学生对有理数、无理数小数形式的区分识记，熟练掌握相关定义即可准确作答，要注意不要混淆无限循环小数和无限不循环小数的所属类别。
【难度系数】
0.9
