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1. （四川中考）对于抛物线$y=2(x-1)^2+3$，下列说法正确的是（
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点是（1，3）
C.抛物线的对称轴是$x=-1$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大
B
）.A.抛物线的开口向下
B.抛物线的顶点是（1，3）
C.抛物线的对称轴是$x=-1$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的图像与性质，解题时先明确抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$中各参数的含义，再结合参数值逐一判断四个选项的正误即可。首先确定本题中$a=2$、$h=1$、$k=3$，再依次对应开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性四个性质分析选项。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的核心性质如下：
1. 当$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；
3. 开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，开口向下时规律相反。
结合本题抛物线$y=2(x-1)^2+3$的参数$a=2＞0$、$h=1$、$k=3$分析选项：
A选项：$a=2＞0$，抛物线开口向上，A错误；
B选项：顶点坐标为$(h,k)=(1,3)$，B正确；
C选项：对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，C错误；
D选项：抛物线开口向上、对称轴为$x=1$，仅当$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，$-3＜x＜1$区间内$y$随$x$增大而减小，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像特征；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图像规律，熟练记忆相关性质就能快速选出正确答案，是典型的基础得分题型。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的图像与性质，解题时先明确抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$中各参数的含义，再结合参数值逐一判断四个选项的正误即可。首先确定本题中$a=2$、$h=1$、$k=3$，再依次对应开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性四个性质分析选项。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的核心性质如下：
1. 当$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$；
3. 开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，开口向下时规律相反。
结合本题抛物线$y=2(x-1)^2+3$的参数$a=2＞0$、$h=1$、$k=3$分析选项：
A选项：$a=2＞0$，抛物线开口向上，A错误；
B选项：顶点坐标为$(h,k)=(1,3)$，B正确；
C选项：对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，C错误；
D选项：抛物线开口向上、对称轴为$x=1$，仅当$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，$-3＜x＜1$区间内$y$随$x$增大而减小，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像特征；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图像规律，熟练记忆相关性质就能快速选出正确答案，是典型的基础得分题型。
【难度系数】
0.8
2.（甘肃模拟）二次函数$y=x^2+2x+2$的图象的对称轴是（
A.$x=-1$
B.$x=-2$
C.$x=1$
D.$x=2$
A
）.A.$x=-1$
B.$x=-2$
C.$x=1$
D.$x=2$
答案
2. A
解析
【分析】
要确定二次函数图象的对称轴，有两种常用思路：一是利用二次函数一般式的对称轴公式直接计算；二是通过配方法将一般式转化为顶点式，根据顶点式的特点直接得到对称轴。首先明确给定二次函数的各项系数，再选择合适的方法计算即可。
【解析】
方法一：公式法
对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=x^2+2x+2$中，$a=1$，$b=2$，代入公式得：
$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
方法二：配方法
将二次函数配方转化为顶点式：
$y=x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1$
对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其对称轴为$x=h$，此处$h=-1$，故对称轴为$x=-1$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数对称轴计算
2. 二次函数配方
【点评】
本题属于二次函数基础常规题，主要考查二次函数对称轴的求解方法，牢记对称轴公式或熟练掌握配方法转化顶点式，即可快速得出正确答案，是必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数图象的对称轴，有两种常用思路：一是利用二次函数一般式的对称轴公式直接计算；二是通过配方法将一般式转化为顶点式，根据顶点式的特点直接得到对称轴。首先明确给定二次函数的各项系数，再选择合适的方法计算即可。
【解析】
方法一：公式法
对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=x^2+2x+2$中，$a=1$，$b=2$，代入公式得：
$x=-\frac{2}{2×1}=-1$。
方法二：配方法
将二次函数配方转化为顶点式：
$y=x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1$
对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其对称轴为$x=h$，此处$h=-1$，故对称轴为$x=-1$。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数对称轴计算
2. 二次函数配方
【点评】
本题属于二次函数基础常规题，主要考查二次函数对称轴的求解方法，牢记对称轴公式或熟练掌握配方法转化顶点式，即可快速得出正确答案，是必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
3.（西藏中考）将抛物线$y=(x-1)^2+5$通过平移后，得到抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+2x+3$，则平移的方向和距离是（
A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D
）.A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
答案
3. D
解析
【分析】
要判断抛物线的平移方式，需明确抛物线平移时仅位置改变，形状和开口方向不变，顶点随抛物线同步平移，因此只需将两个抛物线解析式都转化为顶点式，得到各自的顶点坐标，再对比顶点坐标的变化，结合“左加右减、上加下减”的平移规律即可求解。
【解析】
1. 确定原抛物线的顶点：原抛物线$y=(x-1)^2+5$为顶点式，其顶点坐标为$(1,5)$。
2. 将平移后的抛物线化为顶点式：对$y=x^2+2x+3$配方，可得：
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$，因此平移后抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
3. 对比顶点坐标判断平移方式：
横坐标从$1$变为$-1$，即$1-2=-1$，对应“左加右减”的规律，说明抛物线向左平移了2个单位长度；
纵坐标从$5$变为$2$，即$5-3=2$，对应“上加下减”的规律，说明抛物线向下平移了3个单位长度。
综上，平移方式为向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律，配方法化二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数图象平移的基础题型，解题关键是将图象平移转化为顶点坐标的平移，降低解题难度，做题时需注意区分左右平移的方向，避免因记错“左加右减”的规则出错。
【难度系数】
0.7
要判断抛物线的平移方式，需明确抛物线平移时仅位置改变，形状和开口方向不变，顶点随抛物线同步平移，因此只需将两个抛物线解析式都转化为顶点式，得到各自的顶点坐标，再对比顶点坐标的变化，结合“左加右减、上加下减”的平移规律即可求解。
【解析】
1. 确定原抛物线的顶点：原抛物线$y=(x-1)^2+5$为顶点式，其顶点坐标为$(1,5)$。
2. 将平移后的抛物线化为顶点式：对$y=x^2+2x+3$配方，可得：
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)+2=(x+1)^2+2$，因此平移后抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
3. 对比顶点坐标判断平移方式：
横坐标从$1$变为$-1$，即$1-2=-1$，对应“左加右减”的规律，说明抛物线向左平移了2个单位长度；
纵坐标从$5$变为$2$，即$5-3=2$，对应“上加下减”的规律，说明抛物线向下平移了3个单位长度。
综上，平移方式为向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律，配方法化二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数图象平移的基础题型，解题关键是将图象平移转化为顶点坐标的平移，降低解题难度，做题时需注意区分左右平移的方向，避免因记错“左加右减”的规则出错。
【难度系数】
0.7
4. 抛物线 $ y=-x^2 +4x -4 $ 与坐标轴的交点个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）。A.0
B.1
C.2
D.3
答案
4. C
解析
【分析】
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与x轴、y轴的交点数，再汇总去重。第一步求与y轴的交点：令x=0，代入解析式得到对应y值，即可得到1个y轴交点；第二步求与x轴的交点：令y=0，将解析式转化为一元二次方程，通过计算判别式或直接解方程，判断方程根的个数，即为与x轴的交点个数；最后统计所有不重复的交点总数即可。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入解析式$y=-x^2 +4x -4$，得$y=-0+0-4=-4$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,-4)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，得方程$-x^2 +4x -4=0$，整理为$x^2-4x+4=0$。
计算判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 -4×1×4=16-16=0$，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，即抛物线与x轴只有1个交点，坐标为$(2,0)$。
3. 汇总交点：两个交点$(0,-4)$和$(2,0)$不重合，因此抛物线与坐标轴总共有2个交点。
【答案】
C
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求解、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，解题时需注意不要漏算与y轴的交点，也不要将x轴上两个相等的实根误认为是两个不同的交点，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分别计算抛物线与x轴、y轴的交点数，再汇总去重。第一步求与y轴的交点：令x=0，代入解析式得到对应y值，即可得到1个y轴交点；第二步求与x轴的交点：令y=0，将解析式转化为一元二次方程，通过计算判别式或直接解方程，判断方程根的个数，即为与x轴的交点个数；最后统计所有不重复的交点总数即可。
【解析】
1. 求抛物线与y轴的交点：
令x=0，代入解析式$y=-x^2 +4x -4$，得$y=-0+0-4=-4$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,-4)$，共1个交点。
2. 求抛物线与x轴的交点：
令y=0，得方程$-x^2 +4x -4=0$，整理为$x^2-4x+4=0$。
计算判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 -4×1×4=16-16=0$，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，即抛物线与x轴只有1个交点，坐标为$(2,0)$。
3. 汇总交点：两个交点$(0,-4)$和$(2,0)$不重合，因此抛物线与坐标轴总共有2个交点。
【答案】
C
【知识点】
抛物线与坐标轴交点求解、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，解题时需注意不要漏算与y轴的交点，也不要将x轴上两个相等的实根误认为是两个不同的交点，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
5. 如图26-3，已知抛物线$y_1=ax^2+c$与直线$y_2=kx+m$交于$A(-3,a)$，$B(1,b)$两点，则关于$x$的不等式$ax^2+c≥ kx+m$的解集是（
A.$x≤ -3$或$x≥1$
B.$x≤ -1$或$x≥3$
C.$-3≤ x≤1$
D.$-1≤ x≤3$
C
）.A.$x≤ -3$或$x≥1$
B.$x≤ -1$或$x≥3$
C.$-3≤ x≤1$
D.$-1≤ x≤3$
答案
5. C
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+c≥ kx+m$，可结合函数图象的几何意义分析：该不等式表示抛物线$y_1=ax^2+c$的图象位于直线$y_2=kx+m$图象上方（包括交点）时对应的$x$的取值范围。首先已知两个函数的交点横坐标为$x=-3$和$x=1$，这两个点是两个函数值相等的临界点，接下来只需确定抛物线的开口方向，就能判断抛物线在直线上方对应的$x$区间，最后结合选项即可得到解集。
【解析】
解：不等式$ax^2 + c ≥ kx + m$的解集，即抛物线$y_1=ax^2+c$的函数值大于等于直线$y_2=kx+m$的函数值时$x$的取值范围，对应图象上为抛物线在直线上方（含交点）部分的$x$取值。
已知两函数交于$A(-3,a)$、$B(1,b)$，因此$x=-3$和$x=1$是$y_1=y_2$的两个解。
将$A(-3,a)$代入$y_1=ax^2+c$得：
$a = a·(-3)^2 + c$
整理得：$a = 9a + c$，即$c = -8a$。
若解集为两交点之间的区间，说明抛物线开口向下（$a＜0$），此时抛物线在两个交点之间的部分位于直线上方，因此$x$的取值范围是$-3≤ x≤1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与不等式，函数图象的应用，二次函数的性质
【点评】
本题考查借助函数图象求解不等式的能力，解题核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，结合交点坐标即可快速得出解集，避免了复杂的代数计算。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2+c≥ kx+m$，可结合函数图象的几何意义分析：该不等式表示抛物线$y_1=ax^2+c$的图象位于直线$y_2=kx+m$图象上方（包括交点）时对应的$x$的取值范围。首先已知两个函数的交点横坐标为$x=-3$和$x=1$，这两个点是两个函数值相等的临界点，接下来只需确定抛物线的开口方向，就能判断抛物线在直线上方对应的$x$区间，最后结合选项即可得到解集。
【解析】
解：不等式$ax^2 + c ≥ kx + m$的解集，即抛物线$y_1=ax^2+c$的函数值大于等于直线$y_2=kx+m$的函数值时$x$的取值范围，对应图象上为抛物线在直线上方（含交点）部分的$x$取值。
已知两函数交于$A(-3,a)$、$B(1,b)$，因此$x=-3$和$x=1$是$y_1=y_2$的两个解。
将$A(-3,a)$代入$y_1=ax^2+c$得：
$a = a·(-3)^2 + c$
整理得：$a = 9a + c$，即$c = -8a$。
若解集为两交点之间的区间，说明抛物线开口向下（$a＜0$），此时抛物线在两个交点之间的部分位于直线上方，因此$x$的取值范围是$-3≤ x≤1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与不等式，函数图象的应用，二次函数的性质
【点评】
本题考查借助函数图象求解不等式的能力，解题核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，结合交点坐标即可快速得出解集，避免了复杂的代数计算。
【难度系数】
0.7
6. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（单位：元）关于x的函数解析式为y=
$a(1+x)^2$
.答案
6. $a(1+x)^2$
解析
【分析】
本题考查平均增长率的实际应用，解题时先回忆增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以逐月推导研发资金：先以一月份的资金为基数求出二月份的研发资金，再以二月份的资金为基数求出三月份的研发资金，即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
1. 计算二月份的研发资金：已知一月份研发资金为a元，每月增长率为x，根据增长率公式，二月份研发资金 = 一月份研发资金×(1+x) = $a(1+x)$ 元。
2. 计算三月份的研发资金：三月份研发资金是在二月份的基础上再次增长x，因此三月份研发资金 = 二月份研发资金×(1+x) = $a(1+x) · (1+x) = a(1+x)^2$ 元。
因此y关于x的函数解析式为$y=a(1+x)^2$。
【答案】
$a(1+x)^2$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列函数解析式
【点评】
本题是增长率类的基础典型题，解题核心是明确每次增长的基数，牢记连续n次增长后，总量=初始量×(1+增长率)ⁿ的公式，避免出现将增长率直接乘以次数的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率的实际应用，解题时先回忆增长率问题的基本数量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。我们可以逐月推导研发资金：先以一月份的资金为基数求出二月份的研发资金，再以二月份的资金为基数求出三月份的研发资金，即可得到y关于x的函数解析式。
【解析】
1. 计算二月份的研发资金：已知一月份研发资金为a元，每月增长率为x，根据增长率公式，二月份研发资金 = 一月份研发资金×(1+x) = $a(1+x)$ 元。
2. 计算三月份的研发资金：三月份研发资金是在二月份的基础上再次增长x，因此三月份研发资金 = 二月份研发资金×(1+x) = $a(1+x) · (1+x) = a(1+x)^2$ 元。
因此y关于x的函数解析式为$y=a(1+x)^2$。
【答案】
$a(1+x)^2$
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列函数解析式
【点评】
本题是增长率类的基础典型题，解题核心是明确每次增长的基数，牢记连续n次增长后，总量=初始量×(1+增长率)ⁿ的公式，避免出现将增长率直接乘以次数的错误。
【难度系数】
0.8
7.（河南模拟）二次函数$y=a(x+1)^2+2$图象的一部分如图26-4所示，该图象在y轴右侧与x轴的交点坐标是
$(1, 0)$
。答案
7. $(1, 0)$
解析
【分析】
解题可按以下思路进行：1. 先根据给定的二次函数顶点式，直接确定图象的对称轴；2. 回忆二次函数的性质：二次函数图象关于对称轴对称，因此它与x轴的两个交点也关于对称轴对称，两个交点横坐标的平均数等于对称轴对应的x值；3. 结合题图给出的y轴左侧与x轴的交点坐标，利用对称性即可计算出y轴右侧交点的坐标。
【解析】
已知二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2+2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），可得其对称轴为直线$x=-1$。
二次函数的图象是轴对称图形，因此它与x轴的两个交点关于直线$x=-1$对称，即两个交点横坐标的中点为$-1$。
由题图可知，该函数图象在y轴左侧与x轴的交点为$(-3,0)$，设y轴右侧与x轴的交点坐标为$(x,0)$，根据中点公式可得：
$\frac{-3+x}{2}=-1$
解得：$x=1$
因此该图象在y轴右侧与x轴的交点坐标是$(1,0)$。
【答案】
$(1, 0)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的对称性；二次函数与x轴的交点
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，难度较低，解题的核心是熟练掌握二次函数的轴对称性，能结合顶点式快速确定对称轴，再结合图象信息利用对称性求解交点坐标。
【难度系数】
0.8
解题可按以下思路进行：1. 先根据给定的二次函数顶点式，直接确定图象的对称轴；2. 回忆二次函数的性质：二次函数图象关于对称轴对称，因此它与x轴的两个交点也关于对称轴对称，两个交点横坐标的平均数等于对称轴对应的x值；3. 结合题图给出的y轴左侧与x轴的交点坐标，利用对称性即可计算出y轴右侧交点的坐标。
【解析】
已知二次函数的解析式为$y=a(x+1)^2+2$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），可得其对称轴为直线$x=-1$。
二次函数的图象是轴对称图形，因此它与x轴的两个交点关于直线$x=-1$对称，即两个交点横坐标的中点为$-1$。
由题图可知，该函数图象在y轴左侧与x轴的交点为$(-3,0)$，设y轴右侧与x轴的交点坐标为$(x,0)$，根据中点公式可得：
$\frac{-3+x}{2}=-1$
解得：$x=1$
因此该图象在y轴右侧与x轴的交点坐标是$(1,0)$。
【答案】
$(1, 0)$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的对称性；二次函数与x轴的交点
【点评】
本题侧重考查二次函数基本性质的应用，难度较低，解题的核心是熟练掌握二次函数的轴对称性，能结合顶点式快速确定对称轴，再结合图象信息利用对称性求解交点坐标。
【难度系数】
0.8
8.（江苏模拟）已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在二次函数$y=(x-1)^2+1$的图象上，若$x_1＞x_2＞1$，则$y_1$
$＞$
$y_2$.（填“＞”“=”或“＜”）答案
8. $＞$
解析
【分析】
首先我们需要先从二次函数的顶点式入手，先判断抛物线的开口方向和对称轴，再确定x＞1这个区间内函数的增减规律，最后结合已知的x₁、x₂的大小关系，就能推导得出y₁和y₂的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此该抛物线开口向上；
2. 根据顶点式可得抛物线的对称轴为直线$x=1$；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞1$的区间内），$y$随$x$的增大而增大；
4. 已知$x_1＞x_2＞1$，两点都在对称轴右侧，且$x_1＞x_2$，因此可得$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是对二次函数基础性质的直接考查，解题关键是准确判断给定自变量范围内函数的增减性，整体逻辑简单，容易得分。
【难度系数】
0.9
首先我们需要先从二次函数的顶点式入手，先判断抛物线的开口方向和对称轴，再确定x＞1这个区间内函数的增减规律，最后结合已知的x₁、x₂的大小关系，就能推导得出y₁和y₂的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此该抛物线开口向上；
2. 根据顶点式可得抛物线的对称轴为直线$x=1$；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞1$的区间内），$y$随$x$的增大而增大；
4. 已知$x_1＞x_2＞1$，两点都在对称轴右侧，且$x_1＞x_2$，因此可得$y_1＞y_2$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是对二次函数基础性质的直接考查，解题关键是准确判断给定自变量范围内函数的增减性，整体逻辑简单，容易得分。
【难度系数】
0.9
