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26.1 已知$y=(m-1)x^{|m+1|}+3x-4$是二次函数，则实数$m=$
-3
。答案
26.1 -3
解析
【分析】
要解决本题，需依据二次函数的定义推导m的取值：二次函数需满足两个核心条件，一是函数的最高次项次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次项次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$y=(m-1)x^{|m+1|}+3x-4$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2，即$|m+1|=2$
解绝对值方程可得：
$m+1=2$ 或 $m+1=-2$
解得$m=1$或$m=-3$
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
综上，排除$m=1$，得$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，出现多解错误，求解此类问题时要注意两个成立条件需同时验证。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需依据二次函数的定义推导m的取值：二次函数需满足两个核心条件，一是函数的最高次项次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们先根据最高次项次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$y=(m-1)x^{|m+1|}+3x-4$是二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2，即$|m+1|=2$
解绝对值方程可得：
$m+1=2$ 或 $m+1=-2$
解得$m=1$或$m=-3$
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
综上，排除$m=1$，得$m=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题时容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，出现多解错误，求解此类问题时要注意两个成立条件需同时验证。
【难度系数】
0.7
26.2 已知函数$y=4x^2$，$y=4(x+1)^2$和$y=4(x-1)^2$。
（1）在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点；
（3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数$y=4x^2$的图象得到函数$y=4(x+1)^2$和函数$y=4(x-1)^2$的图象。
（1）在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点；
（3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数$y=4x^2$的图象得到函数$y=4(x+1)^2$和函数$y=4(x-1)^2$的图象。
答案
（1）函数$y=4x^{2}$，$y=4(x+1)^{2}$和$y=4(x-1)^{2}$的图象，如图所示。
（2）函数$y=4x^{2}$的图象开口向上，对称轴为$y$轴，顶点是$(0,0)$，函数$y=4(x+1)^2$的图象开口向上，对称轴为$x=-1$，顶点是$(-1,0)$，函数$y=4(x-1)^2$的图象开口向上，对称轴为$x=1$，顶点是$(1,0)$。
（3）抛物线$y=4(x+1)^2$由抛物线$y=4x^2$向左平移1个单位长度得到，抛物线$y=4(x-1)^2$由抛物线$y=4x^2$向右平移1个单位长度得到。
解析
【分析】
解决本题需要围绕二次函数顶点式的性质与图象平移规律展开思考：
1. 第(1)问题目已给出三个函数的对应图象，直接匹配即可；
2. 第(2)问先通过二次项系数判断开口方向，再结合$y=a(x-h)^2$的性质，$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，分别对应三个函数的参数即可得出结论；
3. 第(3)问利用二次函数图象平移“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，判断$x$的变化对应的平移方向和距离即可。
【解析】
（1）题中已给出三个函数的对应图象，符合画图要求。
（2）三个函数的二次项系数均为$4＞0$，因此开口都向上：
①$y=4x^2$是基础二次函数，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
②$y=4(x+1)^2$为顶点式，对应$h=-1$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；
③$y=4(x-1)^2$为顶点式，对应$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
（3）根据二次函数图象平移“左加右减”的规则：
将$y=4x^2$的自变量$x$替换为$x+1$，即向左平移1个单位长度，可得$y=4(x+1)^2$的图象；
将$y=4x^2$的自变量$x$替换为$x-1$，即向右平移1个单位长度，可得$y=4(x-1)^2$的图象。
【答案】
（1）函数$y=4x^{2}$，$y=4(x+1)^{2}$和$y=4(x-1)^{2}$的图象，如图所示。
（2）函数$y=4x^{2}$的图象开口向上，对称轴为$y$轴，顶点是$(0,0)$，函数$y=4(x+1)^2$的图象开口向上，对称轴为$x=-1$，顶点是$(-1,0)$，函数$y=4(x-1)^2$的图象开口向上，对称轴为$x=1$，顶点是$(1,0)$。
（3）抛物线$y=4(x+1)^2$由抛物线$y=4x^2$向左平移1个单位长度得到，抛物线$y=4(x-1)^2$由抛物线$y=4x^2$向右平移1个单位长度得到。
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查顶点式二次函数的基本性质和平移规律，需要准确理解“左加右减”是针对自变量$x$的变化规则，避免平移方向判断错误。
【难度系数】
0.85
解决本题需要围绕二次函数顶点式的性质与图象平移规律展开思考：
1. 第(1)问题目已给出三个函数的对应图象，直接匹配即可；
2. 第(2)问先通过二次项系数判断开口方向，再结合$y=a(x-h)^2$的性质，$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，分别对应三个函数的参数即可得出结论；
3. 第(3)问利用二次函数图象平移“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，判断$x$的变化对应的平移方向和距离即可。
【解析】
（1）题中已给出三个函数的对应图象，符合画图要求。
（2）三个函数的二次项系数均为$4＞0$，因此开口都向上：
①$y=4x^2$是基础二次函数，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
②$y=4(x+1)^2$为顶点式，对应$h=-1$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；
③$y=4(x-1)^2$为顶点式，对应$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
（3）根据二次函数图象平移“左加右减”的规则：
将$y=4x^2$的自变量$x$替换为$x+1$，即向左平移1个单位长度，可得$y=4(x+1)^2$的图象；
将$y=4x^2$的自变量$x$替换为$x-1$，即向右平移1个单位长度，可得$y=4(x-1)^2$的图象。
【答案】
（1）函数$y=4x^{2}$，$y=4(x+1)^{2}$和$y=4(x-1)^{2}$的图象，如图所示。
（2）函数$y=4x^{2}$的图象开口向上，对称轴为$y$轴，顶点是$(0,0)$，函数$y=4(x+1)^2$的图象开口向上，对称轴为$x=-1$，顶点是$(-1,0)$，函数$y=4(x-1)^2$的图象开口向上，对称轴为$x=1$，顶点是$(1,0)$。
（3）抛物线$y=4(x+1)^2$由抛物线$y=4x^2$向左平移1个单位长度得到，抛物线$y=4(x-1)^2$由抛物线$y=4x^2$向右平移1个单位长度得到。
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查顶点式二次函数的基本性质和平移规律，需要准确理解“左加右减”是针对自变量$x$的变化规则，避免平移方向判断错误。
【难度系数】
0.85
26.3 如图26-1，抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）与x轴交于点（-1，0）和点（2，0），下列结论中，正确的结论有
①$abc＜0$；②$4a-2b+c＜0$；③$a+b=0$；④当$x＜\frac{1}{2}$时，y随x的增大而减小.
①②③
.（填序号）①$abc＜0$；②$4a-2b+c＜0$；③$a+b=0$；④当$x＜\frac{1}{2}$时，y随x的增大而减小.
答案
26.3 ①②③
解析
【分析】首先从抛物线图像中提取关键信息：开口方向、与x轴的两个交点坐标、与y轴交点的位置，先算出抛物线的对称轴，再结合二次函数系数与图像的关系、函数值的判断方法、增减性规律，逐个判断四个结论是否正确。
先根据与x轴的交点(-1,0)、(2,0)求出对称轴为两点横坐标的平均值，再结合开口方向判断a的符号，结合对称轴公式判断b的符号，结合与y轴交点判断c的符号判断①；②中4a-2b+c是x=-2时的函数值，结合x＜-1时函数值的变化规律判断；③结合对称轴公式推导判断；④根据开口方向和对称轴判断函数增减性判断。
【解析】
解：1. 判断结论①：
抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
抛物线与x轴交于(-1,0)和(2,0)，
∴对称轴为直线$x=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，化简得$b=-a$，
∵$a＜0$，
∴$b=-a＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$，
∴$abc=a×b×c＜0$，①正确。
2. 判断结论②：
$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，
∵抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜\frac{1}{2}$）y随x的增大而增大，
且$-2＜-1$，x=-1时$y=0$，
∴x=-2时的函数值小于x=-1时的函数值，即$4a-2b+c＜0$，②正确。
3. 判断结论③：
由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，两边同乘$2a$得$-b=a$，移项得$a+b=0$，③正确。
4. 判断结论④：
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，
∴当$x＜\frac{1}{2}$时，y随x的增大而增大，④错误。
【答案】①②③
【知识点】二次函数图像与系数关系；二次函数的增减性；二次函数的对称性
【点评】本题是二次函数图像性质的典型考题，需要结合图像提取有效信息，熟练掌握二次函数系数、对称轴、增减性、函数值之间的关联即可快速解题。
【难度系数】0.7
先根据与x轴的交点(-1,0)、(2,0)求出对称轴为两点横坐标的平均值，再结合开口方向判断a的符号，结合对称轴公式判断b的符号，结合与y轴交点判断c的符号判断①；②中4a-2b+c是x=-2时的函数值，结合x＜-1时函数值的变化规律判断；③结合对称轴公式推导判断；④根据开口方向和对称轴判断函数增减性判断。
【解析】
解：1. 判断结论①：
抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
抛物线与x轴交于(-1,0)和(2,0)，
∴对称轴为直线$x=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，化简得$b=-a$，
∵$a＜0$，
∴$b=-a＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$，
∴$abc=a×b×c＜0$，①正确。
2. 判断结论②：
$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，
∵抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜\frac{1}{2}$）y随x的增大而增大，
且$-2＜-1$，x=-1时$y=0$，
∴x=-2时的函数值小于x=-1时的函数值，即$4a-2b+c＜0$，②正确。
3. 判断结论③：
由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，两边同乘$2a$得$-b=a$，移项得$a+b=0$，③正确。
4. 判断结论④：
∵抛物线开口向下，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，
∴当$x＜\frac{1}{2}$时，y随x的增大而增大，④错误。
【答案】①②③
【知识点】二次函数图像与系数关系；二次函数的增减性；二次函数的对称性
【点评】本题是二次函数图像性质的典型考题，需要结合图像提取有效信息，熟练掌握二次函数系数、对称轴、增减性、函数值之间的关联即可快速解题。
【难度系数】0.7
26.4 某隧道截面的轮廓可近似看作是抛物线的一部分. 若该隧道底部宽12 m，高8 m，按照如图26-2所示的方式建立平面直角坐标系.
图26-1
（1）求抛物线对应的函数解析式.
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m（中心线宽度不计）. 若宽3 m、高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
图26-1
（1）求抛物线对应的函数解析式.
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m（中心线宽度不计）. 若宽3 m、高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
答案
（1）由题意，得抛物线的顶点为$(\frac{12}{2},8)$，即$(6,8)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$。
将点$(12,0)$代入，得$a(12-6)^2+8=0$，解方程，得$a=-\frac{2}{9}$。
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过。理由如下：
由题意，得$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$。
将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，得$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$。
$\because\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}(m)$，$\frac{17}{18}＞0.5$，
∴能安全通过。
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，先由题意确定抛物线顶点坐标为(6,8)，已知顶点坐标优先选用顶点式设函数解析式，再代入抛物线经过的点(12,0)求解参数a，最后标注自变量的取值范围即可。
（2）判断车辆能否安全通过，首先需要确定车辆最外侧对应的横坐标：两车沿中心线行驶、间隔2m，每车宽3m，因此左侧车辆的左边缘横坐标为$6-1-3=2$，计算该横坐标对应的隧道高度，再减去车辆高度，若差值≥0.5m即可安全通过，反之则不能。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点为$(\frac{12}{2},8)$，即$(6,8)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$。
将点$(12,0)$代入解析式，得$a(12-6)^2+8=0$，即$36a+8=0$，解方程得$a=-\frac{2}{9}$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
由题意得左侧车辆左边缘的横坐标$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$。
将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，得$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$。
计算车辆顶部与隧道的空隙：$\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}(m)$，$\frac{17}{18}＞0.5$，满足空隙不少于0.5m的要求。
【答案】
（1）$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$
（2）能安全通过。理由如下：
由题意，得$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$。
将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，得$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$。
$\because\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}(m)$，$\frac{17}{18}＞0.5$，
∴能安全通过。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是准确求出抛物线解析式，结合题意找到对应位置的横坐标，通过计算函数值比较判断，能有效考查用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式时，先由题意确定抛物线顶点坐标为(6,8)，已知顶点坐标优先选用顶点式设函数解析式，再代入抛物线经过的点(12,0)求解参数a，最后标注自变量的取值范围即可。
（2）判断车辆能否安全通过，首先需要确定车辆最外侧对应的横坐标：两车沿中心线行驶、间隔2m，每车宽3m，因此左侧车辆的左边缘横坐标为$6-1-3=2$，计算该横坐标对应的隧道高度，再减去车辆高度，若差值≥0.5m即可安全通过，反之则不能。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点为$(\frac{12}{2},8)$，即$(6,8)$。
设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$。
将点$(12,0)$代入解析式，得$a(12-6)^2+8=0$，即$36a+8=0$，解方程得$a=-\frac{2}{9}$。
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
由题意得左侧车辆左边缘的横坐标$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$。
将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，得$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$。
计算车辆顶部与隧道的空隙：$\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}(m)$，$\frac{17}{18}＞0.5$，满足空隙不少于0.5m的要求。
【答案】
（1）$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$
（2）能安全通过。理由如下：
由题意，得$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$。
将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，得$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$。
$\because\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}(m)$，$\frac{17}{18}＞0.5$，
∴能安全通过。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合隧道通行的生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是准确求出抛物线解析式，结合题意找到对应位置的横坐标，通过计算函数值比较判断，能有效考查用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
