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9. 如图26-5，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，则关于$x$的方程$ax^2 - bx - c =0$的根为
图26-5 
图26-6
$x_1=-2，x_2=1$
。 图26-5 图26-6答案
9. $x_1=-2，x_2=1$
解析
【分析】
要解关于x的方程$ax^2 - bx - c =0$，可先将方程变形为$ax^2 = bx + c$，此时不难发现：等号左侧是抛物线$y=ax^2$的函数表达式，等号右侧是直线$y=bx+c$的函数表达式。根据函数图象交点的含义，两个函数图象交点的横坐标，就是两个函数y值相等时对应的x值，也就是方程$ax^2 = bx + c$的解，即原方程的根。结合题目给出的两个交点坐标，直接提取横坐标即可得到方程的根。
【解析】
首先对一元二次方程$ax^2 - bx - c =0$移项变形，可得：
$ax^2 = bx + c$
根据函数图象交点的性质，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点横坐标，就是上述方程的解。
已知两图象的交点坐标为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，因此两个交点的横坐标就是方程的根。
【答案】
$x_1=-2，x_2=1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；函数图象交点的含义
【点评】
本题无需代入参数计算，只需掌握方程与对应函数图象之间的转化关系即可快速求解，核心考查函数与方程的转化思想。
【难度系数】
0.8
要解关于x的方程$ax^2 - bx - c =0$，可先将方程变形为$ax^2 = bx + c$，此时不难发现：等号左侧是抛物线$y=ax^2$的函数表达式，等号右侧是直线$y=bx+c$的函数表达式。根据函数图象交点的含义，两个函数图象交点的横坐标，就是两个函数y值相等时对应的x值，也就是方程$ax^2 = bx + c$的解，即原方程的根。结合题目给出的两个交点坐标，直接提取横坐标即可得到方程的根。
【解析】
首先对一元二次方程$ax^2 - bx - c =0$移项变形，可得：
$ax^2 = bx + c$
根据函数图象交点的性质，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点横坐标，就是上述方程的解。
已知两图象的交点坐标为$A(-2,4)$，$B(1,1)$，因此两个交点的横坐标就是方程的根。
【答案】
$x_1=-2，x_2=1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；函数图象交点的含义
【点评】
本题无需代入参数计算，只需掌握方程与对应函数图象之间的转化关系即可快速求解，核心考查函数与方程的转化思想。
【难度系数】
0.8
10.（内蒙古模拟）二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图26-6所示，下列结论中，正确的是
①$b＞0$；②$a-b+c=0$；③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c+1=0$（$a≠0$）有两个不相等的实数根；④当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$
②③④
.（填序号）①$b＞0$；②$a-b+c=0$；③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c+1=0$（$a≠0$）有两个不相等的实数根；④当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$
答案
10. ②③④
解析
【分析】要判断四个结论是否正确，首先从二次函数图像提取核心信息：图像与x轴交于(-1,0)、(3,0)两点，对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，且顶点的纵坐标小于-1。再结合二次函数性质、方程与函数的关系逐个验证：
1. 结合对称轴公式和开口方向判断b的符号，验证①；
2. 代入x=-1求函数值，验证②；
3. 将方程$ax^2+bx+c+1=0$转化为抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$的交点问题，结合顶点纵坐标判断交点个数，验证③；
4. 直接观察图像中y＞0对应的x的取值范围，验证④。
【解析】
先提取图像信息：二次函数开口向上，
∴$a＞0$；与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$；函数顶点纵坐标小于-1。
① 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，代入$a＞0$，得$b=-2a＜0$，故①错误；
② 当$x=-1$时，代入解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，
∵图像过点$(-1,0)$，即$x=-1$时$y=0$，
∴$a-b+c=0$，故②正确；
③ 方程$ax^2+bx+c+1=0$可变形为$ax^2+bx+c=-1$，即求抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$的交点个数。由图像可知，抛物线顶点纵坐标小于-1，且开口向上，
∴直线$y=-1$与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，故③正确；
④ 观察图像，当函数图像在x轴上方时$y＞0$，对应的x的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$，故④正确。
综上，正确的是②③④。
【答案】②③④
【知识点】二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】本题考查二次函数图像与系数的关系、函数与方程的转化，解题关键是准确从图像中提取交点、对称轴、顶点位置等关键信息，结合性质逐一判断。
【难度系数】0.65
1. 结合对称轴公式和开口方向判断b的符号，验证①；
2. 代入x=-1求函数值，验证②；
3. 将方程$ax^2+bx+c+1=0$转化为抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$的交点问题，结合顶点纵坐标判断交点个数，验证③；
4. 直接观察图像中y＞0对应的x的取值范围，验证④。
【解析】
先提取图像信息：二次函数开口向上，
∴$a＞0$；与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，对称轴为直线$x=\frac{-1+3}{2}=1$；函数顶点纵坐标小于-1。
① 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，代入$a＞0$，得$b=-2a＜0$，故①错误；
② 当$x=-1$时，代入解析式得$y=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c$，
∵图像过点$(-1,0)$，即$x=-1$时$y=0$，
∴$a-b+c=0$，故②正确；
③ 方程$ax^2+bx+c+1=0$可变形为$ax^2+bx+c=-1$，即求抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$的交点个数。由图像可知，抛物线顶点纵坐标小于-1，且开口向上，
∴直线$y=-1$与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，故③正确；
④ 观察图像，当函数图像在x轴上方时$y＞0$，对应的x的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$，故④正确。
综上，正确的是②③④。
【答案】②③④
【知识点】二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】本题考查二次函数图像与系数的关系、函数与方程的转化，解题关键是准确从图像中提取交点、对称轴、顶点位置等关键信息，结合性质逐一判断。
【难度系数】0.65
11. 如图26-7，已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(1, -2)$和$B(0, -5)$。
（1）求该二次函数的解析式及图象的顶点；
（2）当$y≤-2$时，求$x$的取值范围。
（1）求该二次函数的解析式及图象的顶点；
（2）当$y≤-2$时，求$x$的取值范围。
答案
11. 解：(1) $\because$二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(1, -2)$和$B(0, -5)$.
$\therefore \begin{cases} c=-5,\\1+b+c=-2.\end{cases}$ 解方程组，得$\begin{cases}b=2,\\c=-5.\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$.
$\therefore$该抛物线的顶点是$(-1, -6)$.
(2) 当$y=-2$时，$(x+1)^2-6=-2$，
解方程，得$x_1=1$，$x_2=-3$.
由题图可知，当$y≤-2$时，$-3≤ x≤1$.
$\therefore \begin{cases} c=-5,\\1+b+c=-2.\end{cases}$ 解方程组，得$\begin{cases}b=2,\\c=-5.\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$.
$\therefore$该抛物线的顶点是$(-1, -6)$.
(2) 当$y=-2$时，$(x+1)^2-6=-2$，
解方程，得$x_1=1$，$x_2=-3$.
由题图可知，当$y≤-2$时，$-3≤ x≤1$.
解析
【分析】
（1）要确定二次函数的解析式，已知解析式为含未知参数b、c的一般式，函数图像上的点的坐标满足函数解析式，因此将A、B两点坐标代入解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，求解得到b、c的值就能确定解析式；再通过配方法将一般式转化为顶点式，可直接得到顶点坐标。
（2）求y≤-2时x的取值范围，先求出y=-2时对应的x的两个解，再结合抛物线开口向上的性质，函数值小于等于-2的部分对应两个解之间的x的范围，也可结合图像直观判断结果。
【解析】
(1) 把点$A(1, -2)$和$B(0, -5)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} c=-5\\1+b+c=-2 \end{cases}$
将$c=-5$代入第二个方程，解得$b=2$，即$\begin{cases}b=2\\c=-5\end{cases}$
因此二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5$，对其配方：
$y=x^2+2x-5=(x^2+2x+1)-1-5=(x+1)^2-6$
根据顶点式的性质，可得该图象的顶点坐标为$(-1, -6)$。
(2) 令$y=-2$，代入顶点式得：
$(x+1)^2-6=-2$
移项得$(x+1)^2=4$，开方得$x+1=±2$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
因为二次函数开口向上，结合图象可知，当$y≤-2$时，$x$的取值范围是$-3≤x≤1$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-5}$，顶点为$\boldsymbol{(-1, -6)}$；
(2) $x$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤x≤1}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及数形结合思想在解函数不等式中的应用，掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）要确定二次函数的解析式，已知解析式为含未知参数b、c的一般式，函数图像上的点的坐标满足函数解析式，因此将A、B两点坐标代入解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，求解得到b、c的值就能确定解析式；再通过配方法将一般式转化为顶点式，可直接得到顶点坐标。
（2）求y≤-2时x的取值范围，先求出y=-2时对应的x的两个解，再结合抛物线开口向上的性质，函数值小于等于-2的部分对应两个解之间的x的范围，也可结合图像直观判断结果。
【解析】
(1) 把点$A(1, -2)$和$B(0, -5)$代入二次函数$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} c=-5\\1+b+c=-2 \end{cases}$
将$c=-5$代入第二个方程，解得$b=2$，即$\begin{cases}b=2\\c=-5\end{cases}$
因此二次函数的解析式为$y=x^2+2x-5$，对其配方：
$y=x^2+2x-5=(x^2+2x+1)-1-5=(x+1)^2-6$
根据顶点式的性质，可得该图象的顶点坐标为$(-1, -6)$。
(2) 令$y=-2$，代入顶点式得：
$(x+1)^2-6=-2$
移项得$(x+1)^2=4$，开方得$x+1=±2$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
因为二次函数开口向上，结合图象可知，当$y≤-2$时，$x$的取值范围是$-3≤x≤1$。
【答案】
(1) 二次函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2+2x-5}$，顶点为$\boldsymbol{(-1, -6)}$；
(2) $x$的取值范围是$\boldsymbol{-3≤x≤1}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及数形结合思想在解函数不等式中的应用，掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
12.（湖北中考）如图26-8，学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42 m，篱笆长80 m. 设垂直于墙的边AB长为x m，平行于墙的边BC长为y m，围成的矩形面积为S m².
（1）求y与x，S与x的关系式.
（2）围成的矩形花圃面积能否为750 m²？若能，求出x的值.
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.
（1）求y与x，S与x的关系式.
（2）围成的矩形花圃面积能否为750 m²？若能，求出x的值.
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.
答案
12. 解：(1) $\because$篱笆长80 m，
$\therefore AB+BC+CD=80$ m.
$\because AB=CD=x$ m，$BC=y$ m，
$\therefore x+y+x=80. \therefore y=80-2x$.
$\because$墙长42 m，$\therefore 0＜80-2x≤42$.
解得$19≤ x＜40$.
$\therefore y=80-2x(19≤ x＜40)$.
又矩形花圃面积$S=BC· AB=y· x=(80-2x)x=-2x^2+80x(19≤ x＜40)$.
(2) 令$S=750$，则$-2x^2+80x=750$，
整理，得$x^2-40x+375=0$.
此时，$\Delta=b^2-4ac=(-40)^2-4×375=1600-1500=100＞0$.
$\therefore$一元二次方程$x^2-40x+375=0$有两个不相等的实数根.
$\therefore$围成的矩形花圃面积能为$750\ \mathrm{m}^2$.
$\therefore x=\frac{-(-40)\pm\sqrt{100}}{2}$.
$\therefore x_1=25$，$x_2=15$.
$\because 19≤ x＜40$，$\therefore x=25$.
(3) $S=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$.
$\because -2＜0$，$\therefore S$有最大值.
又$19≤ x＜40$，
$\therefore$当$x=20$时，$S$取得最大值，此时$S=800$，
即当$x=20$时，$S$的最大值为800.
$\therefore AB+BC+CD=80$ m.
$\because AB=CD=x$ m，$BC=y$ m，
$\therefore x+y+x=80. \therefore y=80-2x$.
$\because$墙长42 m，$\therefore 0＜80-2x≤42$.
解得$19≤ x＜40$.
$\therefore y=80-2x(19≤ x＜40)$.
又矩形花圃面积$S=BC· AB=y· x=(80-2x)x=-2x^2+80x(19≤ x＜40)$.
(2) 令$S=750$，则$-2x^2+80x=750$，
整理，得$x^2-40x+375=0$.
此时，$\Delta=b^2-4ac=(-40)^2-4×375=1600-1500=100＞0$.
$\therefore$一元二次方程$x^2-40x+375=0$有两个不相等的实数根.
$\therefore$围成的矩形花圃面积能为$750\ \mathrm{m}^2$.
$\therefore x=\frac{-(-40)\pm\sqrt{100}}{2}$.
$\therefore x_1=25$，$x_2=15$.
$\because 19≤ x＜40$，$\therefore x=25$.
(3) $S=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$.
$\because -2＜0$，$\therefore S$有最大值.
又$19≤ x＜40$，
$\therefore$当$x=20$时，$S$取得最大值，此时$S=800$，
即当$x=20$时，$S$的最大值为800.
解析
【分析】
（1）首先根据三边篱笆的总长度为80m，可得两个垂直于墙的边长与平行于墙的边长之和为80，据此推导y与x的关系式；再结合墙长42m的限制，即平行于墙的边长y不能超过42且大于0，求出x的取值范围；最后根据矩形面积公式代入y的表达式，即可得到S与x的函数关系式，注意标注x的取值范围。
（2）将S=750代入第一问得到的S与x的函数式，得到一元二次方程，求解方程后结合x的取值范围筛选符合题意的解，即可判断面积能否达到750$\mathrm{m^2}$，并得到对应的x值。
（3）将S关于x的二次函数配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，确定函数取最大值时x的取值，计算得到最大面积。
【解析】
(1) 由题意，篱笆总长80m，垂直于墙的边长AB=CD=x m，平行于墙的边长BC=y m，因此有：
$2x+y=80$，整理得$y=80-2x$。
因为墙长42m，所以平行于墙的边长满足$0＜y\le42$，即$0＜80-2x\le42$，解不等式得$19\le x＜40$。
故y与x的关系式为$\boldsymbol{y=80-2x(19\le x＜40)}$。
矩形面积$S=AB· BC=x· y$，代入y的表达式得：
$S=x(80-2x)=-2x^2+80x$，即S与x的关系式为$\boldsymbol{S=-2x^2+80x(19\le x＜40)}$。
(2) 令$S=750$，代入S的表达式得：
$-2x^2+80x=750$
整理得$x^2-40x+375=0$。
判别式$\Delta=(-40)^2-4×1×375=1600-1500=100＞0$，方程有两个不相等的实数根。
由求根公式得$x=\frac{40\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{40\pm10}{2}$，解得$x_1=25$，$x_2=15$。
结合x的取值范围$19\le x＜40$，$x=15$不符合要求舍去，故$x=25$。
因此矩形花圃面积能为750$\mathrm{m^2}$，此时x的值为25。
(3) 将$S=-2x^2+80x$配方得：
$S=-2(x^2-40x)=-2(x-20)^2+800$
因为二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
又x的取值范围为$19\le x＜40$，顶点横坐标$x=20$在取值范围内，因此当$x=20$时，S取得最大值，最大值为800$\mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $y=80-2x(19\le x＜40)$，$S=-2x^2+80x(19\le x＜40)$
(2) 能，$x=25$
(3) 存在，最大值为$800\ \mathrm{m^2}$，此时$x=20$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 一元二次方程的求解
3. 二次函数的最值
【点评】
本题为结合生活场景的代数综合题，解题的关键是注意实际问题对自变量取值范围的限制，避免得到不符合实际的结果，同时需要熟练掌握二次函数配方求最值的方法，能灵活运用一元二次方程的知识解决相关问题。
【难度系数】
0.65
（1）首先根据三边篱笆的总长度为80m，可得两个垂直于墙的边长与平行于墙的边长之和为80，据此推导y与x的关系式；再结合墙长42m的限制，即平行于墙的边长y不能超过42且大于0，求出x的取值范围；最后根据矩形面积公式代入y的表达式，即可得到S与x的函数关系式，注意标注x的取值范围。
（2）将S=750代入第一问得到的S与x的函数式，得到一元二次方程，求解方程后结合x的取值范围筛选符合题意的解，即可判断面积能否达到750$\mathrm{m^2}$，并得到对应的x值。
（3）将S关于x的二次函数配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和x的取值范围，确定函数取最大值时x的取值，计算得到最大面积。
【解析】
(1) 由题意，篱笆总长80m，垂直于墙的边长AB=CD=x m，平行于墙的边长BC=y m，因此有：
$2x+y=80$，整理得$y=80-2x$。
因为墙长42m，所以平行于墙的边长满足$0＜y\le42$，即$0＜80-2x\le42$，解不等式得$19\le x＜40$。
故y与x的关系式为$\boldsymbol{y=80-2x(19\le x＜40)}$。
矩形面积$S=AB· BC=x· y$，代入y的表达式得：
$S=x(80-2x)=-2x^2+80x$，即S与x的关系式为$\boldsymbol{S=-2x^2+80x(19\le x＜40)}$。
(2) 令$S=750$，代入S的表达式得：
$-2x^2+80x=750$
整理得$x^2-40x+375=0$。
判别式$\Delta=(-40)^2-4×1×375=1600-1500=100＞0$，方程有两个不相等的实数根。
由求根公式得$x=\frac{40\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{40\pm10}{2}$，解得$x_1=25$，$x_2=15$。
结合x的取值范围$19\le x＜40$，$x=15$不符合要求舍去，故$x=25$。
因此矩形花圃面积能为750$\mathrm{m^2}$，此时x的值为25。
(3) 将$S=-2x^2+80x$配方得：
$S=-2(x^2-40x)=-2(x-20)^2+800$
因为二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
又x的取值范围为$19\le x＜40$，顶点横坐标$x=20$在取值范围内，因此当$x=20$时，S取得最大值，最大值为800$\mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $y=80-2x(19\le x＜40)$，$S=-2x^2+80x(19\le x＜40)$
(2) 能，$x=25$
(3) 存在，最大值为$800\ \mathrm{m^2}$，此时$x=20$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 一元二次方程的求解
3. 二次函数的最值
【点评】
本题为结合生活场景的代数综合题，解题的关键是注意实际问题对自变量取值范围的限制，避免得到不符合实际的结果，同时需要熟练掌握二次函数配方求最值的方法，能灵活运用一元二次方程的知识解决相关问题。
【难度系数】
0.65
