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13. 一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（单位：m）与离起跳点A的水平距离x（单位：m）之间的函数关系如图26-9所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时到达最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
答案
13. 解：(1) 由题意，得抛物线的对称轴为$x=1$，经过点$(0, 10)$，$(3, 7)$.
设$y$关于$x$的函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
$\therefore\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1,\\c=10,\\9a+3b+c=7.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=10.\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-x^2+2x+10$.
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+10=0$.
解方程，得$x=1+\sqrt{11}$(负值舍去)，
$\therefore$运动员从起跳点到入水点的水平距离$OB$的长为$(1+\sqrt{11})\mathrm{m}$.
设$y$关于$x$的函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
$\therefore\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1,\\c=10,\\9a+3b+c=7.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=10.\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-x^2+2x+10$.
(2) 令$y=0$，则$-x^2+2x+10=0$.
解方程，得$x=1+\sqrt{11}$(负值舍去)，
$\therefore$运动员从起跳点到入水点的水平距离$OB$的长为$(1+\sqrt{11})\mathrm{m}$.
解析
【分析】
（1）求二次函数解析式时，首先提取已知条件：抛物线对称轴为直线$x=1$，过起跳点$(0,10)$和点$(3,7)$。我们可以设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个条件代入得到三元一次方程组，求解系数即可得到函数解析式。
（2）求OB的长度就是求运动员入水时对应的水平距离，入水时高度$y=0$，因此令解析式中$y=0$，解一元二次方程后舍去不符合实际的负根，得到的正根就是OB的长。
【解析】
（1）由题意得，抛物线对称轴为直线$x=1$，且经过点$(0,10)$、$(3,7)$。
设$y$关于$x$的函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，代入条件可得：
$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1,\\c=10,\\9a+3b+c=7\end{cases}$
将$c=10$代入第三个方程得$9a+3b=-3$，即$3a+b=-1$；由对称轴公式得$b=-2a$，代入$3a+b=-1$解得$a=-1$，进而得$b=2$。
因此方程组的解为$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=10.\end{cases}$
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-x^2+2x+10$。
（2）运动员入水时高度$y=0$，代入解析式得：
$-x^2+2x+10=0$
整理为$x^2-2x-10=0$，用求根公式解得$x=\frac{2\pm\sqrt{4+40}}{2}=1\pm\sqrt{11}$。
因为水平距离为正，舍去负根$x=1-\sqrt{11}$，得$x=1+\sqrt{11}$。
即OB的长为$(1+\sqrt{11})\mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-x^2+2x+10}$；（2）$\boldsymbol{(1+\sqrt{11})\mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合实际情境考查二次函数的应用，解题核心是准确提取关键信息，熟练运用待定系数法求解析式，同时要注意结合实际问题的取值范围对方程的根进行取舍，兼顾了基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）求二次函数解析式时，首先提取已知条件：抛物线对称轴为直线$x=1$，过起跳点$(0,10)$和点$(3,7)$。我们可以设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个条件代入得到三元一次方程组，求解系数即可得到函数解析式。
（2）求OB的长度就是求运动员入水时对应的水平距离，入水时高度$y=0$，因此令解析式中$y=0$，解一元二次方程后舍去不符合实际的负根，得到的正根就是OB的长。
【解析】
（1）由题意得，抛物线对称轴为直线$x=1$，且经过点$(0,10)$、$(3,7)$。
设$y$关于$x$的函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，代入条件可得：
$\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1,\\c=10,\\9a+3b+c=7\end{cases}$
将$c=10$代入第三个方程得$9a+3b=-3$，即$3a+b=-1$；由对称轴公式得$b=-2a$，代入$3a+b=-1$解得$a=-1$，进而得$b=2$。
因此方程组的解为$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=10.\end{cases}$
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-x^2+2x+10$。
（2）运动员入水时高度$y=0$，代入解析式得：
$-x^2+2x+10=0$
整理为$x^2-2x-10=0$，用求根公式解得$x=\frac{2\pm\sqrt{4+40}}{2}=1\pm\sqrt{11}$。
因为水平距离为正，舍去负根$x=1-\sqrt{11}$，得$x=1+\sqrt{11}$。
即OB的长为$(1+\sqrt{11})\mathrm{m}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-x^2+2x+10}$；（2）$\boldsymbol{(1+\sqrt{11})\mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合实际情境考查二次函数的应用，解题核心是准确提取关键信息，熟练运用待定系数法求解析式，同时要注意结合实际问题的取值范围对方程的根进行取舍，兼顾了基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
14.（贵州中考）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量$ y $（单位：盒）与销售单价$ x $（单位：元）是一次函数关系，下表是$ y $与$ x $的几组对应值.
| 销售单价$ x $/元 | … | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 销售量$ y $/盒 | … |
| 52 | 48 | 44 | 40 | … |
（1）求$ y $关于$ x $的函数解析式.
（2）当糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若该超市决定每销售一盒糖果，向儿童福利院赠送一件价值为$ m $元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求$ m $的值.
| 销售单价$ x $/元 | … | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 销售量$ y $/盒 | … |
| 52 | 48 | 44 | 40 | … |（1）求$ y $关于$ x $的函数解析式.
（2）当糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若该超市决定每销售一盒糖果，向儿童福利院赠送一件价值为$ m $元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求$ m $的值.
答案
14. 解：(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$.
把$x=12$，$y=56$；$x=20$，$y=40$代入上式，得$\begin{cases}12k+b=56,\\20k+b=40.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=80.\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-2x+80$.
(2) 设日销售利润为$w_1$元.
根据题意，得$w_1=(x-10)· y=(x-10)(-2x+80)=-2x^2+100x-800=-2(x-25)^2+450$.
$\because -2＜0$，
$\therefore$当$x=25$时，$w_1$有最大值为450.
$\therefore$当糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
(3) 设日销售利润为$w_2$元.
根据题意，得$w_2=(x-10-m)· y=(x-10-m)(-2x+80)=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$.
$\therefore$当$x=-\frac{100+2m}{2×(-2)}=\frac{50+m}{2}$时，$w_2$有最大值，为$-2(\frac{50+m}{2})^2+(100+2m)(\frac{50+m}{2})-800-80m$.
$\because$该种糖果日销售获得的最大利润为392元，
$\therefore -2(\frac{50+m}{2})^2+(100+2m)(\frac{50+m}{2})-800-80m=392$.
化简，得$m^2-60m+116=0$.
解得$m_1=2$，$m_2=58$.
当$m=58$时，$x=-\frac{b}{2a}=54$，
则每盒糖果的利润为$54-10-58＜0$，不合题意，舍去，
$\therefore m$的值为2.
把$x=12$，$y=56$；$x=20$，$y=40$代入上式，得$\begin{cases}12k+b=56,\\20k+b=40.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=80.\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-2x+80$.
(2) 设日销售利润为$w_1$元.
根据题意，得$w_1=(x-10)· y=(x-10)(-2x+80)=-2x^2+100x-800=-2(x-25)^2+450$.
$\because -2＜0$，
$\therefore$当$x=25$时，$w_1$有最大值为450.
$\therefore$当糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
(3) 设日销售利润为$w_2$元.
根据题意，得$w_2=(x-10-m)· y=(x-10-m)(-2x+80)=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$.
$\therefore$当$x=-\frac{100+2m}{2×(-2)}=\frac{50+m}{2}$时，$w_2$有最大值，为$-2(\frac{50+m}{2})^2+(100+2m)(\frac{50+m}{2})-800-80m$.
$\because$该种糖果日销售获得的最大利润为392元，
$\therefore -2(\frac{50+m}{2})^2+(100+2m)(\frac{50+m}{2})-800-80m=392$.
化简，得$m^2-60m+116=0$.
解得$m_1=2$，$m_2=58$.
当$m=58$时，$x=-\frac{b}{2a}=54$，
则每盒糖果的利润为$54-10-58＜0$，不合题意，舍去，
$\therefore m$的值为2.
解析
【分析】
(1) 已知y与x是一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数解析式，注意x需满足不低于进价的要求。
(2) 日销售利润=单盒利润×日销售量，单盒利润为$(x-10)$元，销售量y代入(1)中得到的解析式，即可得到利润$w_1$关于x的二次函数，将二次函数配方为顶点式，结合开口方向即可求出利润最大值和对应的销售单价。
(3) 赠送礼品后单盒实际利润变为$(x-10-m)$元，同理可得新的利润$w_2$关于x的二次函数，根据二次函数最值的性质，令最大值等于392列方程求解m，最后检验所求m是否符合实际意义（单盒利润不为负），舍去不合题意的解即可。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
把$x=12,y=56$；$x=20,y=40$代入解析式，得：
$\begin{cases}12k+b=56\\20k+b=40\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=80\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-2x+80\ (x≥10)$。
(2) 设日销售利润为$w_1$元，根据题意得：
$w_1=(x-10)y=(x-10)(-2x+80)$
展开配方得：$w_1=-2x^2+100x-800=-2(x-25)^2+450$
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=25$时，$w_1$取得最大值，最大值为450。
(3) 设赠送礼品后的日销售利润为$w_2$元，根据题意得：
$w_2=(x-10-m)y=(x-10-m)(-2x+80)$
整理得：$w_2=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$
该二次函数开口向下，当$x=\frac{50+m}{2}$时，$w_2$取得最大值392，代入得：
$-2(\frac{50+m}{2})^2+(100+2m)·\frac{50+m}{2}-800-80m=392$
化简得：$m^2-60m+116=0$
解得$m_1=2,m_2=58$。
当$m=58$时，对应售价$x=54$，单盒利润为$54-10-58=-14＜0$，不符合实际，舍去；
当$m=2$时，对应售价$x=26$，单盒利润为$26-10-2=14＞0$，符合题意。
$\therefore m=2$。
【答案】
(1) $y=-2x+80\ (x≥10)$
(2) 当销售单价定为25元时，日销售利润最大，最大利润为450元
(3) $m$的值为2
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数利润最值；一元二次方程求解
【点评】
本题是销售类典型实际应用题，综合了一次函数、二次函数和一元二次方程的知识，解题时要理清利润的计算逻辑，利用函数性质求解最值，同时注意实际问题的解要符合现实意义，需对结果进行检验。
【难度系数】
0.6
(1) 已知y与x是一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数解析式，注意x需满足不低于进价的要求。
(2) 日销售利润=单盒利润×日销售量，单盒利润为$(x-10)$元，销售量y代入(1)中得到的解析式，即可得到利润$w_1$关于x的二次函数，将二次函数配方为顶点式，结合开口方向即可求出利润最大值和对应的销售单价。
(3) 赠送礼品后单盒实际利润变为$(x-10-m)$元，同理可得新的利润$w_2$关于x的二次函数，根据二次函数最值的性质，令最大值等于392列方程求解m，最后检验所求m是否符合实际意义（单盒利润不为负），舍去不合题意的解即可。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
把$x=12,y=56$；$x=20,y=40$代入解析式，得：
$\begin{cases}12k+b=56\\20k+b=40\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=80\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=-2x+80\ (x≥10)$。
(2) 设日销售利润为$w_1$元，根据题意得：
$w_1=(x-10)y=(x-10)(-2x+80)$
展开配方得：$w_1=-2x^2+100x-800=-2(x-25)^2+450$
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=25$时，$w_1$取得最大值，最大值为450。
(3) 设赠送礼品后的日销售利润为$w_2$元，根据题意得：
$w_2=(x-10-m)y=(x-10-m)(-2x+80)$
整理得：$w_2=-2x^2+(100+2m)x-800-80m$
该二次函数开口向下，当$x=\frac{50+m}{2}$时，$w_2$取得最大值392，代入得：
$-2(\frac{50+m}{2})^2+(100+2m)·\frac{50+m}{2}-800-80m=392$
化简得：$m^2-60m+116=0$
解得$m_1=2,m_2=58$。
当$m=58$时，对应售价$x=54$，单盒利润为$54-10-58=-14＜0$，不符合实际，舍去；
当$m=2$时，对应售价$x=26$，单盒利润为$26-10-2=14＞0$，符合题意。
$\therefore m=2$。
【答案】
(1) $y=-2x+80\ (x≥10)$
(2) 当销售单价定为25元时，日销售利润最大，最大利润为450元
(3) $m$的值为2
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数利润最值；一元二次方程求解
【点评】
本题是销售类典型实际应用题，综合了一次函数、二次函数和一元二次方程的知识，解题时要理清利润的计算逻辑，利用函数性质求解最值，同时注意实际问题的解要符合现实意义，需对结果进行检验。
【难度系数】
0.6
