登录
一般地，形如
$y=\frac{k}{x}$
（k为常数，$k≠0$
）的函数叫作反比例函数。答案
1. $y=\frac{k}{x}$
2. $k≠0$
2. $k≠0$
解析
【分析】
解答本题需回忆反比例函数的定义：首先，反比例函数的核心特征是两个变量的乘积为非零定值，将该关系变形为用含x的代数式表示y的形式，即可得到反比例函数的标准形式；其次要明确常数k的限制条件，若k=0，则y恒等于0，属于常数函数，不符合反比例函数的定义，因此需限定k的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数叫作反比例函数，据此依次填入对应内容即可。
【答案】
$y=\frac{k}{x}$；$k≠0$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对反比例函数基本定义的识记，需特别注意参数k不为0的限制条件，是后续学习反比例函数图像、性质及应用的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解答本题需回忆反比例函数的定义：首先，反比例函数的核心特征是两个变量的乘积为非零定值，将该关系变形为用含x的代数式表示y的形式，即可得到反比例函数的标准形式；其次要明确常数k的限制条件，若k=0，则y恒等于0，属于常数函数，不符合反比例函数的定义，因此需限定k的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义：一般地，形如$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）的函数叫作反比例函数，据此依次填入对应内容即可。
【答案】
$y=\frac{k}{x}$；$k≠0$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对反比例函数基本定义的识记，需特别注意参数k不为0的限制条件，是后续学习反比例函数图像、性质及应用的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 下列函数中，$y$是$x$的反比例函数的是（
A.$y=\dfrac{x}{2}$
B.$y=-\dfrac{\sqrt{5}}{3x}$
C.$y=x^2$
D.$y=\dfrac{2}{x+1}$
B
）.A.$y=\dfrac{x}{2}$
B.$y=-\dfrac{\sqrt{5}}{3x}$
C.$y=x^2$
D.$y=\dfrac{2}{x+1}$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个函数是反比例函数，首先要牢记反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，核心特征是：①函数表达式为分式形式，分子是不为0的常数$k$；②分母仅含有自变量$x$，且$x$的次数为1；③也可变形为$y=kx^{-1}(k≠0)$的形式。解题时我们只需要将每个选项对照定义逐一排查即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}x$，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，排除；
B. $y=-\dfrac{\sqrt{5}}{3x}=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}≠0$，是反比例函数；
C. $y=x^2$属于二次函数，不符合反比例函数定义，排除；
D. $y=\dfrac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，不是单独的自变量$x$，不符合反比例函数定义，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握反比例函数的定义特征，判断时要注意区分反比例函数与正比例函数、二次函数的形式，尤其注意反比例函数分母只能是单独的自变量$x$，避免误选D选项。
【难度系数】
0.8
要判断哪个函数是反比例函数，首先要牢记反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，核心特征是：①函数表达式为分式形式，分子是不为0的常数$k$；②分母仅含有自变量$x$，且$x$的次数为1；③也可变形为$y=kx^{-1}(k≠0)$的形式。解题时我们只需要将每个选项对照定义逐一排查即可。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是反比例函数。
对各选项逐一分析：
A. $y=\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}x$，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，排除；
B. $y=-\dfrac{\sqrt{5}}{3x}=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}≠0$，是反比例函数；
C. $y=x^2$属于二次函数，不符合反比例函数定义，排除；
D. $y=\dfrac{2}{x+1}$的分母是$x+1$，不是单独的自变量$x$，不符合反比例函数定义，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握反比例函数的定义特征，判断时要注意区分反比例函数与正比例函数、二次函数的形式，尤其注意反比例函数分母只能是单独的自变量$x$，避免误选D选项。
【难度系数】
0.8
2. 反比例函数 $y=-\dfrac{12}{x}$ 的图象一定经过点（
A.$(-3,-4)$
B.$(4,-3)$
C.$(-2,-6)$
D.$(6,2)$
B
）.A.$(-3,-4)$
B.$(4,-3)$
C.$(-2,-6)$
D.$(6,2)$
答案
2. B
解析
【分析】要判断一个点是否在反比例函数的图象上，只需验证该点的横、纵坐标是否满足函数解析式即可。对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），可变形为$xy=k$，因此只需计算各选项中点的横纵坐标乘积，若乘积等于$k=-12$，则该点在函数图象上。
【解析】已知反比例函数解析式为$y=-\frac{12}{x}$，变形可得$xy=-12$，即图象上任意点的横、纵坐标乘积为$-12$：
选项A：$(-3)×(-4)=12≠-12$，不符合要求；
选项B：$4×(-3)=-12$，符合要求；
选项C：$(-2)×(-6)=12≠-12$，不符合要求；
选项D：$6×2=12≠-12$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；函数图象上点的坐标特征
【点评】本题属于基础题型，核心考察反比例函数图象与解析式的对应关系，利用$xy=k$的变形结论可以快速完成判断，熟练掌握该技巧可提升同类题的解题效率。
【难度系数】0.9
【解析】已知反比例函数解析式为$y=-\frac{12}{x}$，变形可得$xy=-12$，即图象上任意点的横、纵坐标乘积为$-12$：
选项A：$(-3)×(-4)=12≠-12$，不符合要求；
选项B：$4×(-3)=-12$，符合要求；
选项C：$(-2)×(-6)=12≠-12$，不符合要求；
选项D：$6×2=12≠-12$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的定义；函数图象上点的坐标特征
【点评】本题属于基础题型，核心考察反比例函数图象与解析式的对应关系，利用$xy=k$的变形结论可以快速完成判断，熟练掌握该技巧可提升同类题的解题效率。
【难度系数】0.9
3. 已知函数$y=\frac{k}{x}$，当$x=2$时，$y=3$，那么这个函数的解析式是（
A.$y=\frac{6}{x}$
B.$y=-\frac{6}{x}$
C.$y=\frac{1}{6x}$
D.$y=-\frac{1}{3x}$
A
）.A.$y=\frac{6}{x}$
B.$y=-\frac{6}{x}$
C.$y=\frac{1}{6x}$
D.$y=-\frac{1}{3x}$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查反比例函数解析式的求解，核心方法是待定系数法。已知反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$，题干给出了一组x、y的对应取值，我们只需将已知的x、y值代入函数表达式，就能求出未知系数k，进而得到完整的函数解析式，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知反比例函数为$y=\frac{k}{x}$，
将$x=2$，$y=3$代入函数式，可得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=3×2=6$
因此该函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法，反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题型，核心考查待定系数法的应用，只要掌握代入求值的基本步骤就能快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数解析式的求解，核心方法是待定系数法。已知反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$，题干给出了一组x、y的对应取值，我们只需将已知的x、y值代入函数表达式，就能求出未知系数k，进而得到完整的函数解析式，匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知反比例函数为$y=\frac{k}{x}$，
将$x=2$，$y=3$代入函数式，可得：
$3=\frac{k}{2}$
解得$k=3×2=6$
因此该函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法，反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题型，核心考查待定系数法的应用，只要掌握代入求值的基本步骤就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 若函数$y=(m-2)x^{|m|-3}$是$y$关于$x$的反比例函数，则$m=$
-2
.答案
4. -2
解析
【分析】
要确定m的值，需结合反比例函数的定义分析：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k\ne0$），因此需满足两个条件：一是$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们可以先根据指数的要求列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到最终m的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列得以下条件：
1. $x$的指数满足：$|m|-3=-1$
解方程：移项得$|m|=2$，因此$m=2$或$m=-2$
2. 自变量的系数不为0：$m-2\ne0$，即$m\ne2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，可得$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略反比例函数中系数不为0的限制条件，错误得出$m=\pm2$的结果，解题时要牢记概念中的全部限定条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合反比例函数的定义分析：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k\ne0$），因此需满足两个条件：一是$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们可以先根据指数的要求列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到最终m的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列得以下条件：
1. $x$的指数满足：$|m|-3=-1$
解方程：移项得$|m|=2$，因此$m=2$或$m=-2$
2. 自变量的系数不为0：$m-2\ne0$，即$m\ne2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，可得$m=-2$
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略反比例函数中系数不为0的限制条件，错误得出$m=\pm2$的结果，解题时要牢记概念中的全部限定条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
5. 在反比例函数$y=-\dfrac{1}{2x}$中，常数$k$的值为
$-\dfrac{1}{2}$
.答案
5. $-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的标准形式，反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其中$k$就是比例常数。接下来我们只需要将题目给出的函数解析式变形为标准形式，对应找到$k$的值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数。
将题目中的函数$y=-\dfrac{1}{2x}$变形，可得：
$y=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{x}$
将其与反比例函数的标准形式对比，可得常数$k=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念，解题的核心是熟练掌握反比例函数的标准表达形式，能够对给定的解析式做简单变形后匹配标准形式找到对应参数，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的标准形式，反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），其中$k$就是比例常数。接下来我们只需要将题目给出的函数解析式变形为标准形式，对应找到$k$的值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义，形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数。
将题目中的函数$y=-\dfrac{1}{2x}$变形，可得：
$y=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{x}$
将其与反比例函数的标准形式对比，可得常数$k=-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题考查反比例函数的基础概念，解题的核心是熟练掌握反比例函数的标准表达形式，能够对给定的解析式做简单变形后匹配标准形式找到对应参数，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
6. 已知点(2，m)在反比例函数$y=(k^2 + k)x^{k^2 - 2}$(k为常数)的图象上，则m的值为
1
。答案
6. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要根据反比例函数的定义确定参数k的取值，得到完整的反比例函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式，即可求出m的值。思考步骤如下：①回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=ax^{-1}$（$a≠0$，a为常数），因此需要满足两个条件：自变量x的指数为-1，且x的系数不为0；②根据这两个条件列方程和不等式，求解得到k的合法值；③代入k得到函数解析式，将点(2,m)代入解析式计算m。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. 自变量的指数满足：$k^2 - 2 = -1$
解方程：$k^2 = 1$，解得$k=1$或$k=-1$
2. 比例系数不为0：$k^2 + k ≠ 0$
因式分解得$k(k+1)≠0$，即$k≠0$且$k≠-1$
结合上述两个结果，排除$k=-1$，得$k=1$
将$k=1$代入原函数，得反比例函数解析式为：
$y=(1^2 + 1)x^{1^2 -2}=2x^{-1}=\frac{2}{x}$
因为点(2,m)在函数图象上，将$x=2$，$y=m$代入解析式：
$m=\frac{2}{2}=1$
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是准确掌握反比例函数的定义，尤其要注意不能忽略比例系数不为0的限制条件，再结合函数图象上的点坐标满足函数解析式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要根据反比例函数的定义确定参数k的取值，得到完整的反比例函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式，即可求出m的值。思考步骤如下：①回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=ax^{-1}$（$a≠0$，a为常数），因此需要满足两个条件：自变量x的指数为-1，且x的系数不为0；②根据这两个条件列方程和不等式，求解得到k的合法值；③代入k得到函数解析式，将点(2,m)代入解析式计算m。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. 自变量的指数满足：$k^2 - 2 = -1$
解方程：$k^2 = 1$，解得$k=1$或$k=-1$
2. 比例系数不为0：$k^2 + k ≠ 0$
因式分解得$k(k+1)≠0$，即$k≠0$且$k≠-1$
结合上述两个结果，排除$k=-1$，得$k=1$
将$k=1$代入原函数，得反比例函数解析式为：
$y=(1^2 + 1)x^{1^2 -2}=2x^{-1}=\frac{2}{x}$
因为点(2,m)在函数图象上，将$x=2$，$y=m$代入解析式：
$m=\frac{2}{2}=1$
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是准确掌握反比例函数的定义，尤其要注意不能忽略比例系数不为0的限制条件，再结合函数图象上的点坐标满足函数解析式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7. 已知$ xy = 6 $。
（1）写出$ y $关于$ x $的函数解析式；
（2）设点$ M $的坐标为$ (x, y) $，且$ x $，$ y $均为正整数，写出所有满足条件的点$ M $的坐标。
（1）写出$ y $关于$ x $的函数解析式；
（2）设点$ M $的坐标为$ (x, y) $，且$ x $，$ y $均为正整数，写出所有满足条件的点$ M $的坐标。
答案
7. 解：(1) $y=\dfrac{6}{x}$.
(2) $(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$.
(2) $(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$.
解析
【分析】
（1）要得到y关于x的函数解析式，只需对已知等式$xy=6$进行变形，用含x的代数式表示y即可，注意分母不能为0，因此x的取值不能为0；（2）要求x、y均为正整数的点M坐标，本质是求$xy=6$的所有正整数解，只需枚举6的所有正整数因数，将每个x的取值代入解析式求出对应的y值，就能得到所有符合条件的点坐标，枚举时按顺序列举可避免漏解。
【解析】
（1）由$xy=6$可知$x≠0$，将等式两边同时除以$x$，可得$y=\dfrac{6}{x}$，即y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
（2）因为$x$、$y$均为正整数，所以$x$是6的正整数因数，6的正整数因数有1、2、3、6：
当$x=1$时，$y=6÷1=6$，对应点为$(1,6)$；
当$x=2$时，$y=6÷2=3$，对应点为$(2,3)$；
当$x=3$时，$y=6÷3=2$，对应点为$(3,2)$；
当$x=6$时，$y=6÷6=1$，对应点为$(6,1)$。
综上可得到所有满足条件的点M的坐标。
【答案】
(1) $y=\dfrac{6}{x}$；(2) $(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$
【知识点】
反比例函数解析式，正整数解求解，点的坐标
【点评】
本题为基础题型，重点考察反比例函数的基本变形和有序正整数解的枚举能力，解题时需注意反比例函数自变量的取值范围，枚举解时按顺序列举即可避免漏解、多解问题。
【难度系数】
0.9
（1）要得到y关于x的函数解析式，只需对已知等式$xy=6$进行变形，用含x的代数式表示y即可，注意分母不能为0，因此x的取值不能为0；（2）要求x、y均为正整数的点M坐标，本质是求$xy=6$的所有正整数解，只需枚举6的所有正整数因数，将每个x的取值代入解析式求出对应的y值，就能得到所有符合条件的点坐标，枚举时按顺序列举可避免漏解。
【解析】
（1）由$xy=6$可知$x≠0$，将等式两边同时除以$x$，可得$y=\dfrac{6}{x}$，即y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
（2）因为$x$、$y$均为正整数，所以$x$是6的正整数因数，6的正整数因数有1、2、3、6：
当$x=1$时，$y=6÷1=6$，对应点为$(1,6)$；
当$x=2$时，$y=6÷2=3$，对应点为$(2,3)$；
当$x=3$时，$y=6÷3=2$，对应点为$(3,2)$；
当$x=6$时，$y=6÷6=1$，对应点为$(6,1)$。
综上可得到所有满足条件的点M的坐标。
【答案】
(1) $y=\dfrac{6}{x}$；(2) $(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$
【知识点】
反比例函数解析式，正整数解求解，点的坐标
【点评】
本题为基础题型，重点考察反比例函数的基本变形和有序正整数解的枚举能力，解题时需注意反比例函数自变量的取值范围，枚举解时按顺序列举即可避免漏解、多解问题。
【难度系数】
0.9
