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28.1 如图28-1，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)。
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A₂BC₂，并写出点C₂的坐标；
（3）求第（2）小题中△A₂BC₂的面积。
图28-1
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A₂BC₂，并写出点C₂的坐标；
（3）求第（2）小题中△A₂BC₂的面积。
图28-1
答案
1. 如图
，△A₁B₁C₁即为所作，点A₁的坐标为(2，−4)。2. 如图
，△A₂BC₂即为所作，点C₂的坐标为(−1，4)。3. S△A₂BC₂=3×3−1/2×1×2−1/2×1×3−1/2×2×3=7/2。
解析
【分析】
（1）解决第一问需掌握关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。先分别求出A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，再依次连接各点即可得到对称三角形，直接读出A₁的坐标。
（2）解决第二问需依据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。将BA、BC两条边绕点B逆时针旋转90°确定A₂、C₂的位置，连接得到旋转后的三角形，结合网格读取C₂的坐标。
（3）解决第三问利用旋转前后图形全等、面积不变的性质，采用割补法：将原三角形放在边长为3的正方形中，用正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
（1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此A(2,4)的对称点A₁坐标为(2,-4)，同理得B₁(1,-1)、C₁(4,-3)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
（2）将线段BA、BC分别绕点B逆时针旋转90°，得到对应线段BA₂、BC₂，连接A₂C₂得到△A₂BC₂。已知B(1,1)，C(4,3)，向量BC为(3,2)，逆时针旋转90°后对应向量为(-2,3)，因此C₂坐标为(1-2,1+3)=(-1,4)。
（3）旋转前后图形全等，因此$S_{△ A_2BC_2}=S_{△ ABC}$。用割补法计算：
将△ABC放在边长为3的正方形内，正方形面积为$3×3=9$，
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×3=3$，
因此$S_{△ A_2BC_2}=9 - 1 - \frac{3}{2} - 3=\frac{7}{2}$。
【答案】
1. 如图，△A₁B₁C₁即为所作，点A₁的坐标为(2，−4)。
2. 如图，△A₂BC₂即为所作，点C₂的坐标为(−1，4)。
3. $S_{△ A_2BC_2}=3×3−\frac{1}{2}×1×2−\frac{1}{2}×1×3−\frac{1}{2}×2×3=\frac{7}{2}$。
【知识点】
轴对称的坐标变换，图形的旋转，割补法求面积
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的作图与计算，难度不大，核心是掌握坐标变换的规律和格点图形面积的常用计算方法，是平面几何变换部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问需掌握关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数。先分别求出A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，再依次连接各点即可得到对称三角形，直接读出A₁的坐标。
（2）解决第二问需依据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。将BA、BC两条边绕点B逆时针旋转90°确定A₂、C₂的位置，连接得到旋转后的三角形，结合网格读取C₂的坐标。
（3）解决第三问利用旋转前后图形全等、面积不变的性质，采用割补法：将原三角形放在边长为3的正方形中，用正方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
（1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此A(2,4)的对称点A₁坐标为(2,-4)，同理得B₁(1,-1)、C₁(4,-3)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
（2）将线段BA、BC分别绕点B逆时针旋转90°，得到对应线段BA₂、BC₂，连接A₂C₂得到△A₂BC₂。已知B(1,1)，C(4,3)，向量BC为(3,2)，逆时针旋转90°后对应向量为(-2,3)，因此C₂坐标为(1-2,1+3)=(-1,4)。
（3）旋转前后图形全等，因此$S_{△ A_2BC_2}=S_{△ ABC}$。用割补法计算：
将△ABC放在边长为3的正方形内，正方形面积为$3×3=9$，
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}×2×3=3$，
因此$S_{△ A_2BC_2}=9 - 1 - \frac{3}{2} - 3=\frac{7}{2}$。
【答案】
1. 如图
，△A₁B₁C₁即为所作，点A₁的坐标为(2，−4)。2. 如图
，△A₂BC₂即为所作，点C₂的坐标为(−1，4)。3. $S_{△ A_2BC_2}=3×3−\frac{1}{2}×1×2−\frac{1}{2}×1×3−\frac{1}{2}×2×3=\frac{7}{2}$。
【知识点】
轴对称的坐标变换，图形的旋转，割补法求面积
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的作图与计算，难度不大，核心是掌握坐标变换的规律和格点图形面积的常用计算方法，是平面几何变换部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
28.2 △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图 28-2 所示，A，B，C 三点在格点上.
（1）画出与△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点 C₁ 的坐标；
（2）画出与△ABC 关于原点 O 对称的△A₂B₂C₂，并写出点 C₂ 的坐标.
图 28-2
（1）画出与△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点 C₁ 的坐标；
（2）画出与△ABC 关于原点 O 对称的△A₂B₂C₂，并写出点 C₂ 的坐标.
图 28-2
答案
1. 如图
，△A₁B₁C₁即为所作，点C₁的坐标为(−3，2)。2. 如图
，△A₂B₂C₂即为所作，点C₂的坐标为(−3，−2)。解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两种对称变换对应的点的坐标变化规律：1. 关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数；2. 关于原点对称的点，横坐标、纵坐标都变为原坐标的相反数。解题步骤为：首先确定△ABC三个顶点的坐标，再根据对应对称规律计算出对称后各顶点的坐标，最后在坐标系中描出对应点、依次连线即可得到所求三角形，同时写出对应点C的对称点坐标。
【解析】
首先读取△ABC各顶点坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)。
1. 作关于y轴对称的△A₁B₁C₁：
根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标取相反数”的规律，可得对称点坐标：A₁(-2,4)，B₁(-1,1)，C₁(-3,2)。在坐标系中依次描出三个点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
2. 作关于原点O对称的△A₂B₂C₂：
根据“关于原点对称的点，横、纵坐标均取相反数”的规律，可得对称点坐标：A₂(-2,-4)，B₂(-1,-1)，C₂(-3,-2)。在坐标系中依次描出三个点，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
【答案】
1. 如图，△A₁B₁C₁即为所作，点C₁的坐标为(−3，2)。
2. 如图，△A₂B₂C₂即为所作，点C₂的坐标为(−3，−2)。
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，关于原点对称的坐标特征，坐标与图形变换
【点评】
本题是平面直角坐标系对称变换的基础题型，解题核心是熟练掌握不同对称对应的坐标变化规律，作图时要注意准确对应格点位置，避免描点错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确两种对称变换对应的点的坐标变化规律：1. 关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数；2. 关于原点对称的点，横坐标、纵坐标都变为原坐标的相反数。解题步骤为：首先确定△ABC三个顶点的坐标，再根据对应对称规律计算出对称后各顶点的坐标，最后在坐标系中描出对应点、依次连线即可得到所求三角形，同时写出对应点C的对称点坐标。
【解析】
首先读取△ABC各顶点坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)。
1. 作关于y轴对称的△A₁B₁C₁：
根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标取相反数”的规律，可得对称点坐标：A₁(-2,4)，B₁(-1,1)，C₁(-3,2)。在坐标系中依次描出三个点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
2. 作关于原点O对称的△A₂B₂C₂：
根据“关于原点对称的点，横、纵坐标均取相反数”的规律，可得对称点坐标：A₂(-2,-4)，B₂(-1,-1)，C₂(-3,-2)。在坐标系中依次描出三个点，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
【答案】
1. 如图
，△A₁B₁C₁即为所作，点C₁的坐标为(−3，2)。2. 如图
，△A₂B₂C₂即为所作，点C₂的坐标为(−3，−2)。【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，关于原点对称的坐标特征，坐标与图形变换
【点评】
本题是平面直角坐标系对称变换的基础题型，解题核心是熟练掌握不同对称对应的坐标变化规律，作图时要注意准确对应格点位置，避免描点错误。
【难度系数】
0.8
1.（山东中考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
B
）。答案
1. B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再逐一分析每个选项是否同时满足两个图形的特征即可得出答案。第一步：回忆概念，轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。第二步：逐个判断选项，排除只满足其中一个特征或者都不满足的选项，最终选出正确答案。
【解析】
先明确两个定义：
1. 轴对称图形：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：平面内，绕某一定点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
对各选项逐一分析：
选项A：等边三角形是轴对称图形（有3条对称轴），但旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意；
选项B：正方形沿对边中点连线或对角线折叠时，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后能与原图形完全重合，属于中心对称图形，符合题意；
选项C：普通平行四边形是中心对称图形，但没有对称轴，不属于轴对称图形，不符合题意；
选项D：正五边形是轴对称图形（有5条对称轴），但旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 轴对称图形的判定
2. 中心对称图形的判定
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对轴对称和中心对称图形概念的区分与应用，熟练掌握常见几何图形的对称性特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再逐一分析每个选项是否同时满足两个图形的特征即可得出答案。第一步：回忆概念，轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两侧部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转180°后，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形。第二步：逐个判断选项，排除只满足其中一个特征或者都不满足的选项，最终选出正确答案。
【解析】
先明确两个定义：
1. 轴对称图形：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：平面内，绕某一定点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
对各选项逐一分析：
选项A：等边三角形是轴对称图形（有3条对称轴），但旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意；
选项B：正方形沿对边中点连线或对角线折叠时，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；绕对角线交点旋转180°后能与原图形完全重合，属于中心对称图形，符合题意；
选项C：普通平行四边形是中心对称图形，但没有对称轴，不属于轴对称图形，不符合题意；
选项D：正五边形是轴对称图形（有5条对称轴），但旋转180°后无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 轴对称图形的判定
2. 中心对称图形的判定
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对轴对称和中心对称图形概念的区分与应用，熟练掌握常见几何图形的对称性特征，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
