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2. 如图28-3，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针旋转$90°$，得到四边形$A'B'C'D'$，则点A的对应点$A'$的坐标是（
A.$(-1, -2)$
B.$(-2, -1)$
C.$(2, 1)$
D.$(1, 2)$
A
）。A.$(-1, -2)$
B.$(-2, -1)$
C.$(2, 1)$
D.$(1, 2)$
答案
2. A
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步先确定平移前点A、点B的坐标，根据向右平移使点B与原点重合的要求，计算出平移后点A的坐标；第二步运用平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，代入平移后的点A坐标计算，即可得到点A'的坐标，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：由题图可知，原正方形中点B的坐标为$(-2,0)$，点A的坐标为$(0,-1)$。
1. 平移变换：将正方形向右平移2个单位，可使点B与原点O重合，平移规则为横坐标加2，纵坐标不变，因此平移后点A的坐标为$(0+2, -1)=(2,-1)$。
2. 旋转变换：平面直角坐标系中，点$(m,n)$绕原点顺时针旋转$90°$后的坐标为$(n, -m)$。将平移后点A的坐标$(2,-1)$代入规律，可得$A'$的坐标为$(-1, -2)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
坐标与平移变换、坐标与旋转变换、正方形的性质
【点评】
本题考查图形平移和旋转变换对应的坐标变化，属于常考基础题型，熟练掌握两种变换的坐标运算规则，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步：第一步先确定平移前点A、点B的坐标，根据向右平移使点B与原点重合的要求，计算出平移后点A的坐标；第二步运用平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，代入平移后的点A坐标计算，即可得到点A'的坐标，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：由题图可知，原正方形中点B的坐标为$(-2,0)$，点A的坐标为$(0,-1)$。
1. 平移变换：将正方形向右平移2个单位，可使点B与原点O重合，平移规则为横坐标加2，纵坐标不变，因此平移后点A的坐标为$(0+2, -1)=(2,-1)$。
2. 旋转变换：平面直角坐标系中，点$(m,n)$绕原点顺时针旋转$90°$后的坐标为$(n, -m)$。将平移后点A的坐标$(2,-1)$代入规律，可得$A'$的坐标为$(-1, -2)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
坐标与平移变换、坐标与旋转变换、正方形的性质
【点评】
本题考查图形平移和旋转变换对应的坐标变化，属于常考基础题型，熟练掌握两种变换的坐标运算规则，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
3. 如图28-4，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将△ABC关于y轴对称的图形绕原点O旋转$180°$，得到△$A_1B_1C_1$，则点A的对应点$A_1$的坐标是（
A.$(-1, -2)$
B.$(1, 2)$
C.$(2, 1)$
D.$(-2, -1)$
A
）。A.$(-1, -2)$
B.$(1, 2)$
C.$(2, 1)$
D.$(-2, -1)$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先需要确定点A的原始坐标，再分两步完成坐标变换：第一步根据关于y轴对称的点的坐标规律，求出点A关于y轴对称的点的坐标；第二步根据绕原点旋转180°（即关于原点中心对称）的坐标变化规律，求出最终对应点A₁的坐标即可。
【解析】
首先根据格点图可得点A的原始坐标为$\boldsymbol{(-1, 2)}$。
1. 求点A关于y轴对称的点的坐标：
关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，因此A关于y轴对称的点的坐标为$(1, 2)$。
2. 求该对称点绕原点旋转$180°$后的坐标：
绕原点旋转$180°$的点与原点成中心对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，因此将$(1, 2)$绕原点旋转$180°$后，得到的点的坐标为$(-1, -2)$，即$A_1$的坐标为$(-1, -2)$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称坐标变化，中心对称坐标变化，旋转变换性质
【点评】
本题考查坐标与图形变换的结合应用，解题核心是熟练掌握轴对称和旋转180°对应的坐标变化规律，属于常考的基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要确定点A的原始坐标，再分两步完成坐标变换：第一步根据关于y轴对称的点的坐标规律，求出点A关于y轴对称的点的坐标；第二步根据绕原点旋转180°（即关于原点中心对称）的坐标变化规律，求出最终对应点A₁的坐标即可。
【解析】
首先根据格点图可得点A的原始坐标为$\boldsymbol{(-1, 2)}$。
1. 求点A关于y轴对称的点的坐标：
关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数，因此A关于y轴对称的点的坐标为$(1, 2)$。
2. 求该对称点绕原点旋转$180°$后的坐标：
绕原点旋转$180°$的点与原点成中心对称，横、纵坐标均变为原坐标的相反数，因此将$(1, 2)$绕原点旋转$180°$后，得到的点的坐标为$(-1, -2)$，即$A_1$的坐标为$(-1, -2)$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称坐标变化，中心对称坐标变化，旋转变换性质
【点评】
本题考查坐标与图形变换的结合应用，解题核心是熟练掌握轴对称和旋转180°对应的坐标变化规律，属于常考的基础类题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图28-5，$△ ABC$三个顶点的坐标分别是$A(1, 3)$，$B(3, 4)$，$C(1, 4)$。
（1）将$△ ABC$向下平移2个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$，画出平移后的图形，并直接写出点$B_1$的坐标；
（2）将$△ A_1B_1C_1$绕点$B_1$逆时针旋转$90°$得到$△ A_2B_1C_2$，画出旋转后的图形。
图28-5
（1）将$△ ABC$向下平移2个单位长度得到$△ A_1B_1C_1$，画出平移后的图形，并直接写出点$B_1$的坐标；
（2）将$△ A_1B_1C_1$绕点$B_1$逆时针旋转$90°$得到$△ A_2B_1C_2$，画出旋转后的图形。
图28-5
答案
解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所作，点B₁的坐标为(3，2)。
（2）如图，△A₂B₁C₂即为所作。
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中图形的平移和旋转作图，解题思路如下：
1. 解决第（1）问：回忆平移的坐标变化规律“上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减”，将△ABC三个顶点的纵坐标都减去2，横坐标保持不变，得到平移后三个顶点的坐标，描点后顺次连接即可得到平移后的图形，直接读出B₁的坐标。
2. 解决第（2）问：回忆旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。以B₁为旋转中心，将点A₁、C₁分别绕B₁逆时针旋转90°得到对应点A₂、C₂，顺次连接各对应点即可得到旋转后的图形。
【解析】
（1）根据平移的坐标变化规律：向下平移2个单位长度，各点横坐标不变，纵坐标减2：
点A(1,3)平移后得A₁(1,3-2)即(1,1)；
点C(1,4)平移后得C₁(1,4-2)即(1,2)；
点B(3,4)平移后得B₁(3,4-2)即(3,2)；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，顺次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
（2）根据旋转的性质，绕点B₁逆时针旋转90°：
分别确定A₁、C₁绕B₁逆时针旋转90°后的对应点A₂、C₂，确保B₁A₂=B₁A₁、B₁C₂=B₁C₁，且∠A₁B₁A₂=∠C₁B₁C₂=90°；
在坐标系中描出A₂、C₂，顺次连接A₂、B₁、C₂，得到△A₂B₁C₂。
【答案】
（1）如图，△A₁B₁C₁即为所作，点B₁的坐标为(3，2)。
（2）如图，△A₂B₁C₂即为所作。
【知识点】
平移的坐标特征，旋转的性质，平移旋转作图
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，核心考查平移和旋转的变换规律，作图时需准确找到对应点的位置，这类题型是几何变换类题目的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
本题考查平面直角坐标系中图形的平移和旋转作图，解题思路如下：
1. 解决第（1）问：回忆平移的坐标变化规律“上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减”，将△ABC三个顶点的纵坐标都减去2，横坐标保持不变，得到平移后三个顶点的坐标，描点后顺次连接即可得到平移后的图形，直接读出B₁的坐标。
2. 解决第（2）问：回忆旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。以B₁为旋转中心，将点A₁、C₁分别绕B₁逆时针旋转90°得到对应点A₂、C₂，顺次连接各对应点即可得到旋转后的图形。
【解析】
（1）根据平移的坐标变化规律：向下平移2个单位长度，各点横坐标不变，纵坐标减2：
点A(1,3)平移后得A₁(1,3-2)即(1,1)；
点C(1,4)平移后得C₁(1,4-2)即(1,2)；
点B(3,4)平移后得B₁(3,4-2)即(3,2)；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，顺次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
（2）根据旋转的性质，绕点B₁逆时针旋转90°：
分别确定A₁、C₁绕B₁逆时针旋转90°后的对应点A₂、C₂，确保B₁A₂=B₁A₁、B₁C₂=B₁C₁，且∠A₁B₁A₂=∠C₁B₁C₂=90°；
在坐标系中描出A₂、C₂，顺次连接A₂、B₁、C₂，得到△A₂B₁C₂。
【答案】
（1）如图，△A₁B₁C₁即为所作，点B₁的坐标为(3，2)。
（2）如图，△A₂B₁C₂即为所作。
【知识点】
平移的坐标特征，旋转的性质，平移旋转作图
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，核心考查平移和旋转的变换规律，作图时需准确找到对应点的位置，这类题型是几何变换类题目的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
5. 如图28-6，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D对称.（1）直接写出图中所有相等的线段；（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围. 
图28-6
图28-6答案
解：(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC。
∵△A'BD与△ACD关于点D对称，
∴△A'BD≌△ACD。
∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B。
(2)
∵AD＝A'D，
∴AA'＝2AD。
∵AC＝A'B，AC＝3，
∴A'B＝3。
在△AA'B中，AB－A'B＜AA'＜AB＋A'B，即5－3＜2AD＜5＋3。
∴1＜AD＜4。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC。
∵△A'BD与△ACD关于点D对称，
∴△A'BD≌△ACD。
∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B。
(2)
∵AD＝A'D，
∴AA'＝2AD。
∵AC＝A'B，AC＝3，
∴A'B＝3。
在△AA'B中，AB－A'B＜AA'＜AB＋A'B，即5－3＜2AD＜5＋3。
∴1＜AD＜4。
解析
【分析】
（1）要找出图中相等线段，首先根据中线的定义可直接得到BD和CD相等；再根据关于某点对称的两个图形全等，可得△A'BD≌△ACD，结合全等三角形对应边相等的性质，即可得到其余相等的线段。
（2）求AD的取值范围时，先利用中心对称的性质将AD转化为AA'的一半，同时将AC转移为A'B，使AB、A'B、AA'处于同一个三角形中，再根据三角形三边关系列出不等式，求解不等式即可得到AD的取值范围。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝DC。
∵△A'BD与△ACD关于点D对称，
∴△A'BD≌△ACD，
∴AD＝A'D，AC＝A'B，结合已得的BD=CD，即为所有相等线段。
(2)
由(1)的结论可知AD＝A'D，AC＝A'B=3，
∴AA'＝AD+A'D＝2AD。
在△AA'B中，根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，
可得AB－A'B＜AA'＜AB＋A'B，
将AB＝5，A'B＝3，AA'=2AD代入不等式得：
$5-3＜2AD＜5+3$，
即$2＜2AD＜8$，
不等式两边同时除以2，得$1＜AD＜4$。
【答案】
(1) $BD=CD$，$AD=A'D$，$AC=A'B$
(2) $1＜AD＜4$
【知识点】
中心对称的性质，全等三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题考察几何中线段范围的求解方法，通过中心对称构造全等三角形转化线段是解题的关键，“倍长中线”是处理中线相关几何问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）要找出图中相等线段，首先根据中线的定义可直接得到BD和CD相等；再根据关于某点对称的两个图形全等，可得△A'BD≌△ACD，结合全等三角形对应边相等的性质，即可得到其余相等的线段。
（2）求AD的取值范围时，先利用中心对称的性质将AD转化为AA'的一半，同时将AC转移为A'B，使AB、A'B、AA'处于同一个三角形中，再根据三角形三边关系列出不等式，求解不等式即可得到AD的取值范围。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝DC。
∵△A'BD与△ACD关于点D对称，
∴△A'BD≌△ACD，
∴AD＝A'D，AC＝A'B，结合已得的BD=CD，即为所有相等线段。
(2)
由(1)的结论可知AD＝A'D，AC＝A'B=3，
∴AA'＝AD+A'D＝2AD。
在△AA'B中，根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和，
可得AB－A'B＜AA'＜AB＋A'B，
将AB＝5，A'B＝3，AA'=2AD代入不等式得：
$5-3＜2AD＜5+3$，
即$2＜2AD＜8$，
不等式两边同时除以2，得$1＜AD＜4$。
【答案】
(1) $BD=CD$，$AD=A'D$，$AC=A'B$
(2) $1＜AD＜4$
【知识点】
中心对称的性质，全等三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题考察几何中线段范围的求解方法，通过中心对称构造全等三角形转化线段是解题的关键，“倍长中线”是处理中线相关几何问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
