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10. 根据下列各题中的条件，确定字母的值.
(1) 点$P(2a-1,5)$与点$Q(1+a,b)$关于$x$轴对称，求$a$，$b$的值；
(2) 点$P(2m+n,m-1)$与点$Q(m-n,-2n-1)$关于原点对称，求$m$，$n$的值；
(3) 点$P(2p-1,q)$与点$Q(p+1,4)$在平行于$y$轴的一条直线上，且点$P$在点$Q$的上面，点$P$，$Q$间的距离为4，求$p$，$q$的值.
(1) 点$P(2a-1,5)$与点$Q(1+a,b)$关于$x$轴对称，求$a$，$b$的值；
(2) 点$P(2m+n,m-1)$与点$Q(m-n,-2n-1)$关于原点对称，求$m$，$n$的值；
(3) 点$P(2p-1,q)$与点$Q(p+1,4)$在平行于$y$轴的一条直线上，且点$P$在点$Q$的上面，点$P$，$Q$间的距离为4，求$p$，$q$的值.
答案
10. 解：(1)
∵点$P(2a-1,5)$与点$Q(1+a,b)$关于$x$轴对称，
∴$2a-1=1+a$，$b=-5$.
解得$a=2$，$b=-5$.
(2)
∵点$P(2m+n,m-1)$与点$Q(m-n,-2n-1)$关于原点对称，
∴$\begin{cases}2m+n+m-n=0,\\-2n-1+m-1=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=0,\\n=-1.\end{cases}$
(3)
∵点$P(2p-1,q)$与点$Q(p+1,4)$在平行于$y$轴的一条直线上，
∴$2p-1=p+1$. 解得$p=2$.
∵点$P$在点$Q$的上面，点$P$，$Q$间的距离为4，
∴$q-4=4$.
∴$q=8$.
∵点$P(2a-1,5)$与点$Q(1+a,b)$关于$x$轴对称，
∴$2a-1=1+a$，$b=-5$.
解得$a=2$，$b=-5$.
(2)
∵点$P(2m+n,m-1)$与点$Q(m-n,-2n-1)$关于原点对称，
∴$\begin{cases}2m+n+m-n=0,\\-2n-1+m-1=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=0,\\n=-1.\end{cases}$
(3)
∵点$P(2p-1,q)$与点$Q(p+1,4)$在平行于$y$轴的一条直线上，
∴$2p-1=p+1$. 解得$p=2$.
∵点$P$在点$Q$的上面，点$P$，$Q$间的距离为4，
∴$q-4=4$.
∴$q=8$.
解析
【分析】
本题围绕平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律设置问题，各小问解题思路如下：
(1) 关于x轴对称的两个点满足横坐标相等、纵坐标互为相反数，根据这一性质列等式即可求出a、b的取值；
(2) 关于原点对称的两个点满足横、纵坐标均互为相反数，即两点横坐标之和为0、纵坐标之和为0，据此列出二元一次方程组，求解即可得到m、n的值；
(3) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，先根据该性质列等式求出p的值；再结合点P在点Q上方、两点距离为4的条件，可知点P的纵坐标比点Q的纵坐标大4，列等式即可求出q的值。
【解析】
(1)
∵点$P(2a-1,5)$与点$Q(1+a,b)$关于$x$轴对称，
∴$2a-1=1+a$，$b=-5$，
解得$a=2$，$b=-5$。
(2)
∵点$P(2m+n,m-1)$与点$Q(m-n,-2n-1)$关于原点对称，
∴可列方程组：
$\begin{cases}2m+n+m-n=0,\\-2n-1+m-1=0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=0,\\n=-1.\end{cases}$
(3)
∵点$P(2p-1,q)$与点$Q(p+1,4)$在平行于$y$轴的一条直线上，
∴$2p-1=p+1$，解得$p=2$。
∵点$P$在点$Q$的上面，点$P$，$Q$间的距离为4，
∴$q-4=4$，解得$q=8$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-5$；
(2) $m=0$，$n=-1$；
(3) $p=2$，$q=8$。
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征；平行于y轴的点的坐标特征
【点评】
本题属于坐标规律的基础应用类题目，核心是熟练记忆不同特殊位置下点的坐标性质，通过建立方程或方程组求解参数，解题时要注意区分不同对称关系对应的坐标变化规律，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题围绕平面直角坐标系中特殊位置点的坐标规律设置问题，各小问解题思路如下：
(1) 关于x轴对称的两个点满足横坐标相等、纵坐标互为相反数，根据这一性质列等式即可求出a、b的取值；
(2) 关于原点对称的两个点满足横、纵坐标均互为相反数，即两点横坐标之和为0、纵坐标之和为0，据此列出二元一次方程组，求解即可得到m、n的值；
(3) 平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，先根据该性质列等式求出p的值；再结合点P在点Q上方、两点距离为4的条件，可知点P的纵坐标比点Q的纵坐标大4，列等式即可求出q的值。
【解析】
(1)
∵点$P(2a-1,5)$与点$Q(1+a,b)$关于$x$轴对称，
∴$2a-1=1+a$，$b=-5$，
解得$a=2$，$b=-5$。
(2)
∵点$P(2m+n,m-1)$与点$Q(m-n,-2n-1)$关于原点对称，
∴可列方程组：
$\begin{cases}2m+n+m-n=0,\\-2n-1+m-1=0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=0,\\n=-1.\end{cases}$
(3)
∵点$P(2p-1,q)$与点$Q(p+1,4)$在平行于$y$轴的一条直线上，
∴$2p-1=p+1$，解得$p=2$。
∵点$P$在点$Q$的上面，点$P$，$Q$间的距离为4，
∴$q-4=4$，解得$q=8$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-5$；
(2) $m=0$，$n=-1$；
(3) $p=2$，$q=8$。
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征；平行于y轴的点的坐标特征
【点评】
本题属于坐标规律的基础应用类题目，核心是熟练记忆不同特殊位置下点的坐标性质，通过建立方程或方程组求解参数，解题时要注意区分不同对称关系对应的坐标变化规律，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
11. 如图28.2-22，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-2，5)，B(-4，1)和C(-1，3)。
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A，B，C的对称点A₁，B₁，C₁的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂，并写出点A，B，C的对称点A₂，B₂，C₂的坐标；
（3）试判断△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂是否关于y轴对称（只需写出判断结果）。
图28.2-22
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A，B，C的对称点A₁，B₁，C₁的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂，并写出点A，B，C的对称点A₂，B₂，C₂的坐标；
（3）试判断△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂是否关于y轴对称（只需写出判断结果）。
图28.2-22
答案
11. 解：(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所作，点$A_1$，$B_1$，$C_1$的坐标分别为$A_1(-2,-5)$，$B_1(-4,-1)$，$C_1(-1,-3)$.
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$即为所作，点$A_2$，$B_2$，$C_2$的坐标分别为$A_2(2,-5)$，$B_2(4,-1)$，$C_2(1,-3)$.
(3) 是.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先回忆关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，据此先求出A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，再在坐标系中描点、顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
2. 解决第(2)问：回忆关于原点对称的点的坐标变化规律：横、纵坐标均变为原数的相反数，据此求出A、B、C三点关于原点的对称点坐标，描点、顺次连接得到△A₂B₂C₂。
3. 解决第(3)问：根据关于y轴对称的点的坐标特征（纵坐标相同，横坐标互为相反数），观察△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的对应点坐标是否符合该特征，即可判断是否关于y轴对称。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：
点A(-2,5)的对称点A₁坐标为(-2,-5)，点B(-4,1)的对称点B₁坐标为(-4,-1)，点C(-1,3)的对称点C₁坐标为(-1,-3)。在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，可得：
点A(-2,5)的对称点A₂坐标为(2,-5)，点B(-4,1)的对称点B₂坐标为(4,-1)，点C(-1,3)的对称点C₂坐标为(1,-3)。在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接，得到△A₂B₂C₂。
(3) 观察对应点坐标：A₁(-2,-5)与A₂(2,-5)、B₁(-4,-1)与B₂(4,-1)、C₁(-1,-3)与C₂(1,-3)，均满足“纵坐标相同，横坐标互为相反数”的y轴对称点坐标特征，因此△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于y轴对称。
【答案】
(1) $△ A_1B_1C_1$即为所作，点$A_1$，$B_1$，$C_1$的坐标分别为$A_1(-2,-5)$，$B_1(-4,-1)$，$C_1(-1,-3)$。
(2) $△ A_2B_2C_2$即为所作，点$A_2$，$B_2$，$C_2$的坐标分别为$A_2(2,-5)$，$B_2(4,-1)$，$C_2(1,-3)$。
(3) 是。
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标规律
2. 关于原点对称的点的坐标规律
3. 关于y轴对称的图形判定
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的对称变换，核心是掌握不同对称类型下点的坐标变化规律，解题时只需按照规律计算坐标、描点连线即可，属于基础题型，能有效巩固对称变换的相关性质。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先回忆关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，据此先求出A、B、C三点关于x轴的对称点坐标，再在坐标系中描点、顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
2. 解决第(2)问：回忆关于原点对称的点的坐标变化规律：横、纵坐标均变为原数的相反数，据此求出A、B、C三点关于原点的对称点坐标，描点、顺次连接得到△A₂B₂C₂。
3. 解决第(3)问：根据关于y轴对称的点的坐标特征（纵坐标相同，横坐标互为相反数），观察△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的对应点坐标是否符合该特征，即可判断是否关于y轴对称。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：
点A(-2,5)的对称点A₁坐标为(-2,-5)，点B(-4,1)的对称点B₁坐标为(-4,-1)，点C(-1,3)的对称点C₁坐标为(-1,-3)。在坐标系中描出A₁、B₁、C₁三点，顺次连接，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，可得：
点A(-2,5)的对称点A₂坐标为(2,-5)，点B(-4,1)的对称点B₂坐标为(4,-1)，点C(-1,3)的对称点C₂坐标为(1,-3)。在坐标系中描出A₂、B₂、C₂三点，顺次连接，得到△A₂B₂C₂。
(3) 观察对应点坐标：A₁(-2,-5)与A₂(2,-5)、B₁(-4,-1)与B₂(4,-1)、C₁(-1,-3)与C₂(1,-3)，均满足“纵坐标相同，横坐标互为相反数”的y轴对称点坐标特征，因此△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于y轴对称。
【答案】
(1) $△ A_1B_1C_1$即为所作，点$A_1$，$B_1$，$C_1$的坐标分别为$A_1(-2,-5)$，$B_1(-4,-1)$，$C_1(-1,-3)$。
(2) $△ A_2B_2C_2$即为所作，点$A_2$，$B_2$，$C_2$的坐标分别为$A_2(2,-5)$，$B_2(4,-1)$，$C_2(1,-3)$。
(3) 是。
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标规律
2. 关于原点对称的点的坐标规律
3. 关于y轴对称的图形判定
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的对称变换，核心是掌握不同对称类型下点的坐标变化规律，解题时只需按照规律计算坐标、描点连线即可，属于基础题型，能有效巩固对称变换的相关性质。
【难度系数】
0.8
12. 如图28.2-23，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形AOP在第二象限，OA与x轴重合，将△AOP绕点O顺时针旋转60°，得到△A₁OP₁，再作△A₁OP₁关于原点O对称的图形，得到△A₂OP₂，再将△A₂OP₂绕点O顺时针旋转60°，得到△A₃OP₃，再作△A₃OP₃关于原点O对称的图形，得到△A₄OP₄……则点P₂₀₂₆的坐标是
(2, 0)
。答案
12. (2, 0)
解析
【分析】
首先确定初始点P的坐标，再按照题目给出的“顺时针旋转60°、关于原点对称交替”的变换规则，依次计算前几个$P_n$的坐标，找到坐标的循环周期，最后用2026除以周期得到余数，根据余数即可确定$P_{2026}$的坐标与周期内对应点的坐标一致，从而得出结果。
【解析】
1. 求初始点P的坐标：
边长为2的等边$△ AOP$在第二象限，OA在x轴负半轴，$OP=2$，$∠ POx=120°$，由三角函数可得：
$x=2×\cos120°=-1$，$y=2×\sin120°=\sqrt{3}$，即$P(-1,\sqrt{3})$。
2. 按变换规则计算前几个点坐标，探究周期：
① 第一次变换：将P绕O顺时针旋转$60°$得$P_1$，对应角度变为$120°-60°=60°$，则$P_1(2\cos60°,2\sin60°)=(1,\sqrt{3})$；
② 第二次变换：作$P_1$关于原点对称得$P_2$，关于原点对称的点横、纵坐标均变号，得$P_2(-1,-\sqrt{3})$；
③ 第三次变换：将$P_2$绕O顺时针旋转$60°$得$P_3$，$P_2$对应角度为$240°$，旋转后角度为$240°-60°=180°$，得$P_3(2\cos180°,2\sin180°)=(-2,0)$；
④ 第四次变换：作$P_3$关于原点对称得$P_4$，得$P_4(2,0)$；
⑤ 第五次变换：将$P_4$绕O顺时针旋转$60°$得$P_5$，对应角度为$0°-60°=-60°$，得$P_5(2\cos(-60°),2\sin(-60°))=(1,-\sqrt{3})$；
⑥ 第六次变换：作$P_5$关于原点对称得$P_6$，得$P_6(-1,\sqrt{3})$，与初始点P坐标完全相同，可知变换周期为6。
3. 计算余数确定坐标：
$2026÷6=337······4$，余数为4，说明$P_{2026}$的坐标与$P_4$的坐标相同。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
坐标与旋转变换；关于原点对称的点的坐标；点的坐标规律探究
【点评】
本题属于规律类坐标变换综合题，解题核心是通过计算前几个点的坐标找到循环周期，再结合余数定位所求点的坐标，能够有效考查对图形变换性质的掌握程度和规律探究能力。
【难度系数】
0.4
首先确定初始点P的坐标，再按照题目给出的“顺时针旋转60°、关于原点对称交替”的变换规则，依次计算前几个$P_n$的坐标，找到坐标的循环周期，最后用2026除以周期得到余数，根据余数即可确定$P_{2026}$的坐标与周期内对应点的坐标一致，从而得出结果。
【解析】
1. 求初始点P的坐标：
边长为2的等边$△ AOP$在第二象限，OA在x轴负半轴，$OP=2$，$∠ POx=120°$，由三角函数可得：
$x=2×\cos120°=-1$，$y=2×\sin120°=\sqrt{3}$，即$P(-1,\sqrt{3})$。
2. 按变换规则计算前几个点坐标，探究周期：
① 第一次变换：将P绕O顺时针旋转$60°$得$P_1$，对应角度变为$120°-60°=60°$，则$P_1(2\cos60°,2\sin60°)=(1,\sqrt{3})$；
② 第二次变换：作$P_1$关于原点对称得$P_2$，关于原点对称的点横、纵坐标均变号，得$P_2(-1,-\sqrt{3})$；
③ 第三次变换：将$P_2$绕O顺时针旋转$60°$得$P_3$，$P_2$对应角度为$240°$，旋转后角度为$240°-60°=180°$，得$P_3(2\cos180°,2\sin180°)=(-2,0)$；
④ 第四次变换：作$P_3$关于原点对称得$P_4$，得$P_4(2,0)$；
⑤ 第五次变换：将$P_4$绕O顺时针旋转$60°$得$P_5$，对应角度为$0°-60°=-60°$，得$P_5(2\cos(-60°),2\sin(-60°))=(1,-\sqrt{3})$；
⑥ 第六次变换：作$P_5$关于原点对称得$P_6$，得$P_6(-1,\sqrt{3})$，与初始点P坐标完全相同，可知变换周期为6。
3. 计算余数确定坐标：
$2026÷6=337······4$，余数为4，说明$P_{2026}$的坐标与$P_4$的坐标相同。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
坐标与旋转变换；关于原点对称的点的坐标；点的坐标规律探究
【点评】
本题属于规律类坐标变换综合题，解题核心是通过计算前几个点的坐标找到循环周期，再结合余数定位所求点的坐标，能够有效考查对图形变换性质的掌握程度和规律探究能力。
【难度系数】
0.4
