7. 如图28.2-20，已知△ABC的顶点坐标分别为A(-1, 1)，B(-3, 2)，C(-4, 1)。
（1）作出与△ABC关于原点对称的△A₁B₁C₁，并写出各顶点的坐标；
（2）作出与△ABC关于点P(1, -2)对称的△A₂B₂C₂，并写出各顶点的坐标。

7. 解：（1）如图，△A₁B₁C₁即为所作. 各顶点的坐标分别为 A₁(1，－1)，B₁(3，－2)，C₁(4，－1).
（2）如图，△A₂B₂C₂即为所作. 各顶点的坐标分别为 A₂(3，－5)，B₂(5，－6)，C₂(6，－5).

【分析】
解题思路如下：1. 解决第（1）问时，先回忆关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，直接根据这个规律求出△ABC各顶点关于原点对称的点的坐标，再描点连线即可得到△A₁B₁C₁。2. 解决第（2）问时，利用中心对称的性质：对称中心是任意一组对应点连线的中点，结合中点坐标公式推导得到对称点的计算方法，代入各顶点坐标求出对应对称点的坐标，最后描点连线得到△A₂B₂C₂。
【解析】
（1）根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知$A(-1,1)$，$B(-3,2)$，$C(-4,1)$，因此：
$A_1$的坐标为$(1,-1)$，$B_1$的坐标为$(3,-2)$，$C_1$的坐标为$(4,-1)$。
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三个点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）根据中心对称的性质，点$P(1,-2)$是$△ ABC$和$△ A_2B_2C_2$对应点连线的中点。
若设原点点坐标为$(x,y)$，对称中心为$(a,b)$，则对应对称点的坐标为$(2a-x,2b-y)$。
将$a=1$，$b=-2$分别代入各点计算：
对于$A(-1,1)$，$A_2$的横坐标为$2×1 - (-1)=3$，纵坐标为$2×(-2) -1=-5$，即$A_2(3,-5)$；
对于$B(-3,2)$，$B_2$的横坐标为$2×1 - (-3)=5$，纵坐标为$2×(-2) -2=-6$，即$B_2(5,-6)$；
对于$C(-4,1)$，$C_2$的横坐标为$2×1 - (-4)=6$，纵坐标为$2×(-2) -1=-5$，即$C_2(6,-5)$。
在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三个点，顺次连接即可得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
（1）$△ A_1B_1C_1$即为所作，各顶点坐标为$A₁(1，－1)$，$B₁(3，－2)$，$C₁(4，－1)$；
（2）$△ A_2B_2C_2$即为所作，各顶点坐标为$A₂(3，－5)$，$B₂(5，－6)$，$C₂(6，－5)$。

【知识点】
关于原点对称的坐标特征，中心对称的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是基础的坐标变换类题目，主要考查中心对称相关的坐标计算与作图能力，解题的关键是熟练掌握不同对称中心对应的对称点坐标求解方法，作图时注意描点准确、连线规范。
【难度系数】
0.8

8. 如图28.2-21，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题.

（1）请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征.
A(2，3)与D，B与E(-1，-2)，C(3，1)与F，对应点坐标的特征是坐标符号；
（2）若点P(a＋3，4－b)与点Q(2a，2b－3)也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值.

8. 解：（1）（－2，－3） （1，2） （－3，－1） 相反
（2）由第（1）小题知，对应点坐标的特征是坐标符号相反.
∴a＋3＝－2a，4－b＝3－2b.
∴a＝－1，b＝－1.

【分析】
解决第（1）问时，先根据平面直角坐标系的网格读取对应点的坐标，再对比每组对应点的横、纵坐标，总结坐标变化特征；第（2）问利用第（1）问得到的对应点坐标特征，列出关于a、b的一元一次方程，解方程即可求出a、b的值。
【解析】
（1）观察网格可得：点A(2,3)的对应点D坐标为$(-2,-3)$；点E$(-1,-2)$的对应点B坐标为$(1,2)$；点C$(3,1)$的对应点F坐标为$(-3,-1)$。对比三组对应点的坐标，可发现对应点的横、纵坐标均互为相反数，即坐标符号相反。
（2）由（1）的结论可知，该变换下对应点的横、纵坐标均互为相反数，因此列方程：
$\begin{cases}a+3=-2a\\4-b=-(2b-3)\end{cases}$
解第一个方程：移项得$a+2a=-3$，即$3a=-3$，解得$a=-1$；
解第二个方程：去括号得$4-b=-2b+3$，移项得$-b+2b=3-4$，解得$b=-1$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(-2,-3)}$；$\boldsymbol{(1,2)}$；$\boldsymbol{(-3,-1)}$；相反
（2）$\boldsymbol{a=-1}$，$\boldsymbol{b=-1}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题结合平面直角坐标系的图形变换考查原点对称的坐标规律应用，解题核心是准确归纳对应点的坐标变化特征，再结合规律列方程求解参数，考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8

9. 在平面直角坐标系中，已知点$A(2,3)$，$B(0,1)$，$C(3,1)$。若线段$AC$与$BD$互相平分，则点$D$关于坐标原点对称的点的坐标为。

9. (-5, -3)

【分析】
解题思路可分三步展开：首先，由“线段AC与BD互相平分”可知两条线段的中点重合，这是解题的核心突破口；其次，利用中点坐标公式先计算出线段AC的中点坐标，再根据中点重合列等式求出点D的坐标；最后，根据关于原点对称的点的坐标规律，即可求出最终答案。
【解析】
∵ 线段AC与BD互相平分，
∴ AC和BD的中点坐标相同。
先计算线段AC的中点坐标：已知$A(2,3)$，$C(3,1)$，根据中点坐标公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
∴ AC的中点横坐标为$\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$，纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，即AC中点为$(\frac{5}{2},2)$。
设点D的坐标为$(x,y)$，已知$B(0,1)$，则BD的中点坐标为$(\frac{0+x}{2},\frac{1+y}{2})$。
由中点重合可得：
$\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{5}{2} \\\frac{1+y}{2}=2\end{cases}$
解得：$x=5$，$y=3$，即点D的坐标为$(5,3)$。
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，
∴ 点D关于原点对称的点的坐标为$(-5,-3)$。
【答案】
$(-5,-3)$
【知识点】
1. 中点坐标公式
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 平行四边形对角线性质
【点评】
本题属于坐标几何的基础综合题，解题关键是将“线段互相平分”的条件转化为中点重合，再结合坐标计算的相关规律求解，需要注意不要遗漏最后求原点对称点的步骤。
【难度系数】
0.7