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1. 已知函数$y=(m-2)x^{m^2 -5}$是反比例函数，则$m$的值为（
A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.任意实数
B
）.A.2
B.$-2$
C.2或$-2$
D.任意实数
答案
1. B
解析
【分析】
要确定m的取值，需先明确反比例函数的成立条件：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需要同时满足两个要求：①x的指数等于-1；②x的系数不等于0。我们先根据指数的要求列方程求出m的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列出如下限制条件：
1. 指数满足：$m^2 -5 = -1$
解方程得：$m^2 = 4$，因此$m=2$或$m=-2$
2. 系数满足：$m-2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
结合两个条件，排除$m=2$，最终可得$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不能为0的限制条件，误选C选项，解题时需注意定义的所有限制条件都要同时满足。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需先明确反比例函数的成立条件：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需要同时满足两个要求：①x的指数等于-1；②x的系数不等于0。我们先根据指数的要求列方程求出m的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列出如下限制条件：
1. 指数满足：$m^2 -5 = -1$
解方程得：$m^2 = 4$，因此$m=2$或$m=-2$
2. 系数满足：$m-2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
结合两个条件，排除$m=2$，最终可得$m=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础考查题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不能为0的限制条件，误选C选项，解题时需注意定义的所有限制条件都要同时满足。
【难度系数】
0.7
2.（新疆模拟）若点$A(x_1, -5)$，$B(x_2, 2)$，$C(x_3, 5)$都在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上，则$x_1$，$x_2$，$x_3$的大小关系是（
A.$x_1＜x_2＜x_3$
B.$x_2＜x_3＜x_1$
C.$x_1＜x_3＜x_2$
D.$x_3＜x_1＜x_2$
C
）。A.$x_1＜x_2＜x_3$
B.$x_2＜x_3＜x_1$
C.$x_1＜x_3＜x_2$
D.$x_3＜x_1＜x_2$
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路有两种：方法一：根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将三个点的纵坐标分别代入$y=\frac{10}{x}$，求出对应的$x_1$、$x_2$、$x_3$的具体值，再比较大小即可；方法二：根据反比例函数的性质，先由$k=10＞0$判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的正负判断点所在的象限，第三象限的点横坐标为负，第一象限的点横坐标为正，再结合第一象限内$y$随$x$的增大而减小的性质，比较第一象限内两点横坐标的大小，最终得出三个横坐标的大小关系。
【解析】
方法一（代入求值法）：
∵点$A(x_1, -5)$，$B(x_2, 2)$，$C(x_3, 5)$都在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上
∴将各点纵坐标代入解析式：
对于点A：$-5=\frac{10}{x_1}$，解得$x_1=-2$
对于点B：$2=\frac{10}{x_2}$，解得$x_2=5$
对于点C：$5=\frac{10}{x_3}$，解得$x_3=2$
∵$-2＜2＜5$
∴$x_1＜x_3＜x_2$
方法二（性质判断法）：
反比例函数$y=\frac{10}{x}$中$k=10＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵点A的纵坐标$-5＜0$，
∴点A在第三象限，$x_1＜0$，
∵点B、C的纵坐标2、5都大于0，
∴点B、C在第一象限，$x_2＞0$，$x_3＞0$，
∵在第一象限内$y$随$x$增大而减小，且$2＜5$，
∴$x_2＞x_3$，
综上可得$x_1＜x_3＜x_2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，两种解题方法都比较容易掌握，利用函数性质判断无需计算即可快速得到结果，适合在考试中提升解题速度。
【难度系数】
0.8
解题思路有两种：方法一：根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将三个点的纵坐标分别代入$y=\frac{10}{x}$，求出对应的$x_1$、$x_2$、$x_3$的具体值，再比较大小即可；方法二：根据反比例函数的性质，先由$k=10＞0$判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的正负判断点所在的象限，第三象限的点横坐标为负，第一象限的点横坐标为正，再结合第一象限内$y$随$x$的增大而减小的性质，比较第一象限内两点横坐标的大小，最终得出三个横坐标的大小关系。
【解析】
方法一（代入求值法）：
∵点$A(x_1, -5)$，$B(x_2, 2)$，$C(x_3, 5)$都在反比例函数$y=\frac{10}{x}$的图象上
∴将各点纵坐标代入解析式：
对于点A：$-5=\frac{10}{x_1}$，解得$x_1=-2$
对于点B：$2=\frac{10}{x_2}$，解得$x_2=5$
对于点C：$5=\frac{10}{x_3}$，解得$x_3=2$
∵$-2＜2＜5$
∴$x_1＜x_3＜x_2$
方法二（性质判断法）：
反比例函数$y=\frac{10}{x}$中$k=10＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∵点A的纵坐标$-5＜0$，
∴点A在第三象限，$x_1＜0$，
∵点B、C的纵坐标2、5都大于0，
∴点B、C在第一象限，$x_2＞0$，$x_3＞0$，
∵在第一象限内$y$随$x$增大而减小，且$2＜5$，
∴$x_2＞x_3$，
综上可得$x_1＜x_3＜x_2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，两种解题方法都比较容易掌握，利用函数性质判断无需计算即可快速得到结果，适合在考试中提升解题速度。
【难度系数】
0.8
3.（河北模拟）如图27-3，一次函数$y=ax+b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象交于点$A(1,m)$，$B(-3,n)$，则关于$x$的不等式$ax+b＞\frac{k}{x}$的解集是（
A.$x＜-3$或$0＜x＜1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜3$
C.$-3＜x＜0$或$x＞1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞3$
C
）.A.$x＜-3$或$0＜x＜1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜3$
C.$-3＜x＜0$或$x＞1$
D.$-1＜x＜0$或$x＞3$
答案
3. C
解析
【分析】
要解不等式$ax+b ＞ \frac{k}{x}$，可利用数形结合思想：不等式的解集对应一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量$x$的取值范围。首先明确两个函数交点的横坐标为$x=1$和$x=-3$，且反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，图象分布在第一、三象限，自变量$x≠0$，因此需分$x＜-3$、$-3＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$四个区间逐一判断两个函数的上下位置关系，即可得到解集。
【解析】
不等式$ax+b ＞ \frac{k}{x}$的几何意义是：一次函数$y=ax+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象上方时对应的$x$的取值范围。
已知两函数交点横坐标为$1$和$-3$，反比例函数图象在第一、三象限且$x≠0$，分区间判断：
1. 当$x＜-3$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，不符合要求；
2. 当$-3＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，符合要求；
3. 当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，不符合要求；
4. 当$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，符合要求。
因此不等式的解集为$-3＜x＜0$或$x＞1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，利用函数图象解不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式中的应用，解题关键是将不等式的大小关系转化为函数图象的上下位置关系，解题时需注意反比例函数自变量不能为0，要分象限分段讨论取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax+b ＞ \frac{k}{x}$，可利用数形结合思想：不等式的解集对应一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量$x$的取值范围。首先明确两个函数交点的横坐标为$x=1$和$x=-3$，且反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，图象分布在第一、三象限，自变量$x≠0$，因此需分$x＜-3$、$-3＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$四个区间逐一判断两个函数的上下位置关系，即可得到解集。
【解析】
不等式$ax+b ＞ \frac{k}{x}$的几何意义是：一次函数$y=ax+b$的图象位于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象上方时对应的$x$的取值范围。
已知两函数交点横坐标为$1$和$-3$，反比例函数图象在第一、三象限且$x≠0$，分区间判断：
1. 当$x＜-3$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，不符合要求；
2. 当$-3＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，符合要求；
3. 当$0＜x＜1$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，不符合要求；
4. 当$x＞1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，符合要求。
因此不等式的解集为$-3＜x＜0$或$x＞1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，利用函数图象解不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在函数不等式中的应用，解题关键是将不等式的大小关系转化为函数图象的上下位置关系，解题时需注意反比例函数自变量不能为0，要分象限分段讨论取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压$p$(单位：kPa)与气体体积$V$(单位：$\mathrm{m}^3$)是反比例函数关系，其图象如图27-4所示. 当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（
A.不大于$\frac{24}{35}\ \mathrm{m}^3$
B.不小于$\frac{24}{35}\ \mathrm{m}^3$
C.不大于$\frac{24}{37}\ \mathrm{m}^3$
D.不小于$\frac{24}{37}\ \mathrm{m}^3$
B
）.A.不大于$\frac{24}{35}\ \mathrm{m}^3$
B.不小于$\frac{24}{35}\ \mathrm{m}^3$
C.不大于$\frac{24}{37}\ \mathrm{m}^3$
D.不小于$\frac{24}{37}\ \mathrm{m}^3$
答案
4. B
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题意设出气压p与体积V的反比例函数解析式，再利用图像上的已知点代入求出解析式中的未知系数，得到完整的函数表达式；最后结合“气压不大于140kPa”的安全条件列不等式，结合反比例函数的增减性以及体积为正数的实际意义求解体积的取值范围即可。
【解析】
设p与V的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$）。
由图像可知，当$V=0.8\ \mathrm{m}^3$时，$p=120\ \mathrm{kPa}$，将其代入解析式得：
$120=\frac{k}{0.8}$，解得$k=120×0.8=96$，
因此p与V的函数解析式为$p=\frac{96}{V}$。
根据安全要求，气压不能超过140kPa，即$p≤140$，代入解析式得：
$\frac{96}{V}≤140$，
因为气体体积$V＞0$，不等式两边同时乘V，不等号方向不变，可得：
$96≤140V$，
两边同时除以140，化简得$V≥\frac{96}{140}=\frac{24}{35}$，
即气体体积应不小于$\frac{24}{35}\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是先求出反比例函数的解析式，再根据限制条件列不等式求解，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免因忽略V为正数导致不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据题意设出气压p与体积V的反比例函数解析式，再利用图像上的已知点代入求出解析式中的未知系数，得到完整的函数表达式；最后结合“气压不大于140kPa”的安全条件列不等式，结合反比例函数的增减性以及体积为正数的实际意义求解体积的取值范围即可。
【解析】
设p与V的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$，$V＞0$）。
由图像可知，当$V=0.8\ \mathrm{m}^3$时，$p=120\ \mathrm{kPa}$，将其代入解析式得：
$120=\frac{k}{0.8}$，解得$k=120×0.8=96$，
因此p与V的函数解析式为$p=\frac{96}{V}$。
根据安全要求，气压不能超过140kPa，即$p≤140$，代入解析式得：
$\frac{96}{V}≤140$，
因为气体体积$V＞0$，不等式两边同时乘V，不等号方向不变，可得：
$96≤140V$，
两边同时除以140，化简得$V≥\frac{96}{140}=\frac{24}{35}$，
即气体体积应不小于$\frac{24}{35}\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是先求出反比例函数的解析式，再根据限制条件列不等式求解，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免因忽略V为正数导致不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$ I $(单位：A)与电阻$ R $(单位：Ω)是反比例函数关系，函数图象如图27-5所示. 下列说法正确的是（
A.函数解析式为$ I=\frac{13}{R} $
B.蓄电池的电压是18 V
C.当$ I≤10 $时，$ R≥3.6 $
D.当$ R=6 $时，$ I=4 $
C
）.A.函数解析式为$ I=\frac{13}{R} $
B.蓄电池的电压是18 V
C.当$ I≤10 $时，$ R≥3.6 $
D.当$ R=6 $时，$ I=4 $
答案
5. C
解析
【分析】
本题结合物理中电压、电流、电阻的关系考查反比例函数的应用，解题思路如下：首先根据“电压=电流×电阻”且电压为定值，确定I与R的反比例函数形式为$I=\frac{U}{R}$（U为定值电压）；再结合函数图象上的已知点求出定值U，得到完整的函数解析式；最后逐一验证四个选项的正误，选出正确答案。注意处理含反比例的不等式时，电阻R恒为正数，不等号方向不会改变。
【解析】
设电流I与电阻R的反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（U为蓄电池电压，是定值，且$U＞0,R＞0$）。
由函数图象可知，图象过点$(4,9)$，将其代入解析式得：
$9=\frac{U}{4}$，解得$U=36$，即函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
逐一判断选项：
A. 求得的解析式为$I=\frac{36}{R}$，不是$I=\frac{13}{R}$，该选项错误；
B. 蓄电池电压为36V，不是18V，该选项错误；
C. 当$I≤10$时，$\frac{36}{R}≤10$，因$R＞0$，两边同乘R得$36≤10R$，解得$R≥3.6$，该选项正确；
D. 当$R=6$时，代入解析式得$I=\frac{36}{6}=6≠4$，该选项错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数实际应用；反比例函数解析式求解；一元一次不等式求解
【点评】
本题将数学知识与物理场景结合，考查反比例函数的相关性质，解题的关键是先求出定值电压得到函数解析式，再结合解析式分析各个结论，属于反比例函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
本题结合物理中电压、电流、电阻的关系考查反比例函数的应用，解题思路如下：首先根据“电压=电流×电阻”且电压为定值，确定I与R的反比例函数形式为$I=\frac{U}{R}$（U为定值电压）；再结合函数图象上的已知点求出定值U，得到完整的函数解析式；最后逐一验证四个选项的正误，选出正确答案。注意处理含反比例的不等式时，电阻R恒为正数，不等号方向不会改变。
【解析】
设电流I与电阻R的反比例函数解析式为$I=\frac{U}{R}$（U为蓄电池电压，是定值，且$U＞0,R＞0$）。
由函数图象可知，图象过点$(4,9)$，将其代入解析式得：
$9=\frac{U}{4}$，解得$U=36$，即函数解析式为$I=\frac{36}{R}$。
逐一判断选项：
A. 求得的解析式为$I=\frac{36}{R}$，不是$I=\frac{13}{R}$，该选项错误；
B. 蓄电池电压为36V，不是18V，该选项错误；
C. 当$I≤10$时，$\frac{36}{R}≤10$，因$R＞0$，两边同乘R得$36≤10R$，解得$R≥3.6$，该选项正确；
D. 当$R=6$时，代入解析式得$I=\frac{36}{6}=6≠4$，该选项错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数实际应用；反比例函数解析式求解；一元一次不等式求解
【点评】
本题将数学知识与物理场景结合，考查反比例函数的相关性质，解题的关键是先求出定值电压得到函数解析式，再结合解析式分析各个结论，属于反比例函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.7
6. 若$y=(a+1)x^{a^2 -2}$是反比例函数，则$a$的值为
1
。答案
6. 1
解析
【分析】
要确定a的取值，需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（k为常数，$k≠0$），因此本题需同时满足两个核心条件：①自变量x的指数等于-1；②x的系数不为0。先根据指数条件列方程求出a的可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到最终a的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列如下条件：
1. 自变量次数要求：$a^2 - 2 = -1$
解方程得：$a^2 = 1$，即$a=1$或$a=-1$
2. 比例系数要求：$a + 1 ≠ 0$
解得：$a ≠ -1$
综合两个条件，排除$a=-1$，因此$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，解题关键是牢记反比例函数的两个限制条件：自变量指数为-1、比例系数不为0，易错点是容易忽略系数不为0的要求，误将$a=-1$当作正确结果。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值，需结合反比例函数的定义推导：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（k为常数，$k≠0$），因此本题需同时满足两个核心条件：①自变量x的指数等于-1；②x的系数不为0。先根据指数条件列方程求出a的可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到最终a的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列如下条件：
1. 自变量次数要求：$a^2 - 2 = -1$
解方程得：$a^2 = 1$，即$a=1$或$a=-1$
2. 比例系数要求：$a + 1 ≠ 0$
解得：$a ≠ -1$
综合两个条件，排除$a=-1$，因此$a=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，解题关键是牢记反比例函数的两个限制条件：自变量指数为-1、比例系数不为0，易错点是容易忽略系数不为0的要求，误将$a=-1$当作正确结果。
【难度系数】
0.7
7. 若点A(－1，a)在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，则a的值为
3
.答案
7. 3
解析
【分析】
解题的核心依据是：若点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。要求a的值，只需将点A的横坐标x=-1代入给定的反比例函数解析式，计算出对应的y值，即为a的取值。
【解析】
∵点A(-1，a)在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，
∴将x=-1，y=a代入函数解析式，可得：
$a=-\dfrac{3}{-1}=3$
【答案】
3
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题型，核心考察函数图象上的点与函数解析式的对应关系，只要掌握“点在函数图象上则点坐标满足函数解析式”的规律即可快速求解，失分率较低。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是：若点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。要求a的值，只需将点A的横坐标x=-1代入给定的反比例函数解析式，计算出对应的y值，即为a的取值。
【解析】
∵点A(-1，a)在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，
∴将x=-1，y=a代入函数解析式，可得：
$a=-\dfrac{3}{-1}=3$
【答案】
3
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题型，核心考察函数图象上的点与函数解析式的对应关系，只要掌握“点在函数图象上则点坐标满足函数解析式”的规律即可快速求解，失分率较低。
【难度系数】
0.9
