登录
8.（新疆模拟）如图27-6，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A=90°，∠AOB=30°，OB=4。若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k=
图27-6
图27-7
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
。图27-6
图27-7
答案
8. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
解析
【分析】
本题是反比例函数与直角三角形结合的综合题，解题思路如下：首先，在Rt△OAB中利用30°角的三角函数值求出OA的长度；其次，结合∠AOB=30°求出点A的坐标；再根据中点坐标公式得到OA中点C的坐标；最后将C点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
在Rt△OAB中，∠A=90°，∠AOB=30°，OB=4，
∴ $OA = OB · \cos30° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
∵ 原点为O，∠AOB=30°，
∴ 点A的横坐标为 $OA · \cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$，
点A的纵坐标为 $OA · \sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，即$A(3,\sqrt{3})$。
∵ C是OA的中点，
∴ C点坐标为$(\frac{0+3}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2})$，即$(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点C，
∴ $k = x_C · y_C = \frac{3}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
反比例函数的性质，解直角三角形，中点坐标公式
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合基础题，核心是通过三角函数确定点的坐标，再结合代入法求解反比例函数系数，需要熟练掌握直角三角形的边角计算和函数图象上点的坐标特征。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数与直角三角形结合的综合题，解题思路如下：首先，在Rt△OAB中利用30°角的三角函数值求出OA的长度；其次，结合∠AOB=30°求出点A的坐标；再根据中点坐标公式得到OA中点C的坐标；最后将C点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
在Rt△OAB中，∠A=90°，∠AOB=30°，OB=4，
∴ $OA = OB · \cos30° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
∵ 原点为O，∠AOB=30°，
∴ 点A的横坐标为 $OA · \cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$，
点A的纵坐标为 $OA · \sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，即$A(3,\sqrt{3})$。
∵ C是OA的中点，
∴ C点坐标为$(\frac{0+3}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2})$，即$(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点C，
∴ $k = x_C · y_C = \frac{3}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
反比例函数的性质，解直角三角形，中点坐标公式
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合基础题，核心是通过三角函数确定点的坐标，再结合代入法求解反比例函数系数，需要熟练掌握直角三角形的边角计算和函数图象上点的坐标特征。
【难度系数】
0.7
9.（安徽模拟）某滑梯的侧面图如图27-7所示，建立平面直角坐标系，其中BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB表示上行的阶梯，OA=6 m，OE=1 m，出口点C到BE的距离CF为11 m. 若滑梯BC上有一个小球Q，Q的高度不高于3 m，则Q到BE的距离至少为
1
m.答案
9. 1
解析
【分析】
解题时首先需根据矩形的边长确定点B的坐标，代入求出BC段对应的反比例函数解析式；再将“小球高度不高于3m”转化为纵坐标y≤3的条件，代入解析式求出横坐标的取值范围；最后结合BE所在直线的位置，计算得到Q到BE的最小距离。
【解析】
∵ 四边形AOEB是矩形，OA=6m，OE=1m，
∴ 点B的坐标为(1, 6)。
设BC段所在反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，
将B(1, 6)代入解析式，得$ 6=\frac{k}{1} $，解得k=6，
∴ BC段的函数解析式为$ y=\frac{6}{x} $。
由题意可知，BE为直线x=1，设小球Q的坐标为(x, y)，则Q到BE的距离为$ x-1 $。
要求Q的高度不高于3m，即$ y≤3 $，代入函数解析式得：
$ \frac{6}{x}≤3 $，
∵ x＞0，不等式两边同时乘x得$ 3x≥6 $，解得$ x≥2 $。
∴ Q到BE的距离$ x-1≥2-1=1 $，即最小距离为1m。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数图象与性质，不等式的求解
【点评】
本题结合滑梯的实际场景考查反比例函数的相关应用，解题的核心是将实际问题中的数量关系转化为函数与不等式问题，能够有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先需根据矩形的边长确定点B的坐标，代入求出BC段对应的反比例函数解析式；再将“小球高度不高于3m”转化为纵坐标y≤3的条件，代入解析式求出横坐标的取值范围；最后结合BE所在直线的位置，计算得到Q到BE的最小距离。
【解析】
∵ 四边形AOEB是矩形，OA=6m，OE=1m，
∴ 点B的坐标为(1, 6)。
设BC段所在反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0) $，
将B(1, 6)代入解析式，得$ 6=\frac{k}{1} $，解得k=6，
∴ BC段的函数解析式为$ y=\frac{6}{x} $。
由题意可知，BE为直线x=1，设小球Q的坐标为(x, y)，则Q到BE的距离为$ x-1 $。
要求Q的高度不高于3m，即$ y≤3 $，代入函数解析式得：
$ \frac{6}{x}≤3 $，
∵ x＞0，不等式两边同时乘x得$ 3x≥6 $，解得$ x≥2 $。
∴ Q到BE的距离$ x-1≥2-1=1 $，即最小距离为1m。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数图象与性质，不等式的求解
【点评】
本题结合滑梯的实际场景考查反比例函数的相关应用，解题的核心是将实际问题中的数量关系转化为函数与不等式问题，能够有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 一辆汽车从甲地出发前往乙地，甲、乙两地相距240 km.
（1）写出汽车的平均速度v(单位：km/h)与所用时间t(单位：h)的函数解析式；
（2）已知$60≤ v≤ 120$，直接写出t的取值范围.
（1）写出汽车的平均速度v(单位：km/h)与所用时间t(单位：h)的函数解析式；
（2）已知$60≤ v≤ 120$，直接写出t的取值范围.
答案
10. 解：(1) $v=\frac{240}{t}$.
(2) $2≤ t≤4$.
(2) $2≤ t≤4$.
解析
【分析】
（1）解题思路：回忆行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，本题中甲乙两地的距离即固定路程为240km，将公式变形即可得到速度v关于时间t的函数解析式，注意时间t为正数，需满足自变量的实际意义。
（2）解题思路：已知v的取值范围，将第一问得到的函数解析式代入取值范围，结合t＞0的隐含条件解不等式，即可得到t的取值范围；也可利用反比例函数的增减性（v越大t越小），直接代入v的最值计算得到t的最值，从而确定取值范围。
【解析】
解：（1）根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，可得：
$v· t=240$，
由于时间t为正数，即$t＞0$，将等式变形得：
$v=\frac{240}{t}\ (t＞0)$。
（2）已知$60≤ v≤ 120$，将$v=\frac{240}{t}$代入不等式得：
$60≤ \frac{240}{t}≤ 120$，
$\because t＞0$，不等式三边同时乘t，不等号方向不变，可得：
$60t≤ 240≤ 120t$，
分别解两个不等式：
由$60t≤ 240$解得$t≤ 4$，
由$240≤ 120t$解得$t≥ 2$，
因此t的取值范围为$2≤ t≤ 4$。
【答案】
(1) $v=\frac{240}{t}$；(2) $2≤ t≤ 4$
【知识点】
反比例函数的实际应用，行程问题公式，不等式的求解
【点评】
本题是结合生活场景的基础数学应用题，侧重考察对基础公式的应用能力和不等式的运算能力，掌握反比例函数的基本性质和行程问题的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：回忆行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，本题中甲乙两地的距离即固定路程为240km，将公式变形即可得到速度v关于时间t的函数解析式，注意时间t为正数，需满足自变量的实际意义。
（2）解题思路：已知v的取值范围，将第一问得到的函数解析式代入取值范围，结合t＞0的隐含条件解不等式，即可得到t的取值范围；也可利用反比例函数的增减性（v越大t越小），直接代入v的最值计算得到t的最值，从而确定取值范围。
【解析】
解：（1）根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，可得：
$v· t=240$，
由于时间t为正数，即$t＞0$，将等式变形得：
$v=\frac{240}{t}\ (t＞0)$。
（2）已知$60≤ v≤ 120$，将$v=\frac{240}{t}$代入不等式得：
$60≤ \frac{240}{t}≤ 120$，
$\because t＞0$，不等式三边同时乘t，不等号方向不变，可得：
$60t≤ 240≤ 120t$，
分别解两个不等式：
由$60t≤ 240$解得$t≤ 4$，
由$240≤ 120t$解得$t≥ 2$，
因此t的取值范围为$2≤ t≤ 4$。
【答案】
(1) $v=\frac{240}{t}$；(2) $2≤ t≤ 4$
【知识点】
反比例函数的实际应用，行程问题公式，不等式的求解
【点评】
本题是结合生活场景的基础数学应用题，侧重考察对基础公式的应用能力和不等式的运算能力，掌握反比例函数的基本性质和行程问题的数量关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
11. 如图27-8，一次函数$y_1=kx+2$与反比例函数$y_2=-\dfrac{8}{x}$的图象相交于$A(a, -2a)$，$B(4, -2)$两点.
(1) 求$a$，$k$的值；
(2) 结合图象，直接写出不等式$kx+2+\dfrac{8}{x}＜0$的解集；
(3) 连接$OA$，$OB$，求$△ AOB$的面积.
(1) 求$a$，$k$的值；
(2) 结合图象，直接写出不等式$kx+2+\dfrac{8}{x}＜0$的解集；
(3) 连接$OA$，$OB$，求$△ AOB$的面积.
答案
11. 解：(1) $\because$一次函数$y_1=kx+2$与反比例函数$y_2=-\frac{8}{x}$的图象相交于$A(a, -2a)$，$B(4, -2)$两点，
$\therefore -2=4k+2. \therefore k=-1. \therefore y_1=-x+2.$
将点$A(a, -2a)$代入$y_1=-x+2$，得$-2a=-a+2.$
解得$a=-2. \therefore a$的值为$-2$，$k$的值为$-1.$
(2) $\because a=-2$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-2, 4).$
观察题图，得
当$-2＜x＜0$或$x＞4$时，$kx+2＜-\frac{8}{x}.$
$\therefore$不等式$kx+2+\frac{8}{x}＜0$的解集为$-2＜x＜0$或$x＞4.$
(3) 设直线$AB$交$y$轴于点$C$（图略），
由直线$y_1=-x+2$可知，点$C$的坐标为$(0, 2)$，
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6.$
$\therefore -2=4k+2. \therefore k=-1. \therefore y_1=-x+2.$
将点$A(a, -2a)$代入$y_1=-x+2$，得$-2a=-a+2.$
解得$a=-2. \therefore a$的值为$-2$，$k$的值为$-1.$
(2) $\because a=-2$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-2, 4).$
观察题图，得
当$-2＜x＜0$或$x＞4$时，$kx+2＜-\frac{8}{x}.$
$\therefore$不等式$kx+2+\frac{8}{x}＜0$的解集为$-2＜x＜0$或$x＞4.$
(3) 设直线$AB$交$y$轴于点$C$（图略），
由直线$y_1=-x+2$可知，点$C$的坐标为$(0, 2)$，
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6.$
解析
【分析】
(1) 求k和a的值时，可先利用已知点B在一次函数图象上，代入坐标求出k的值，得到完整的一次函数解析式后，再将点A的坐标代入一次函数解析式，即可解出a的值。
(2) 先将不等式$kx+2+\dfrac{8}{x}＜0$变形为$kx+2＜-\dfrac{8}{x}$，转化为判断一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围，结合两个交点坐标，注意反比例函数定义域$x≠0$，观察图象分区间判断即可。
(3) 求$△ AOB$的面积时，利用割补法：找到一次函数与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形共底OC，高分别为A、B两点横坐标的绝对值，分别计算面积再求和即可。
【解析】
(1) $\because$一次函数$y_1=kx+2$的图象过点$B(4, -2)$，
将$x=4$，$y=-2$代入$y_1=kx+2$，得$-2=4k+2$，
解得$k=-1$，$\therefore$一次函数解析式为$y_1=-x+2$。
又$\because$点$A(a, -2a)$在一次函数$y_1=-x+2$的图象上，
将$x=a$，$y=-2a$代入解析式得$-2a=-a+2$，
解得$a=-2$。
(2) 由$a=-2$可得点A的坐标为$(-2, 4)$，
不等式$kx+2+\dfrac{8}{x}＜0$可变形为$kx+2＜-\dfrac{8}{x}$，即一次函数值小于反比例函数值。
观察图象可知：当$-2＜x＜0$或$x＞4$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足$kx+2＜-\dfrac{8}{x}$，
$\therefore$不等式的解集为$-2＜x＜0$或$x＞4$。
(3) 设直线$AB$与$y$轴交于点$C$，
在$y_1=-x+2$中，令$x=0$，得$y=2$，$\therefore$点C的坐标为$(0, 2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，
$△ AOC$的高为点A横坐标的绝对值$|-2|=2$，$△ BOC$的高为点B横坐标的绝对值$|4|=4$，
$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=2+4=6$。
【答案】
(1) $a=-2$，$k=-1$；
(2) $-2＜x＜0$或$x＞4$；
(3) $6$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合、函数图象解不等式、割补法求面积
【点评】
本题是函数综合的常规题型，既考查了函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，又考查了数形结合思想解不等式的应用，还涉及坐标系中斜三角形面积的常用求解方法，熟练掌握函数性质和割补法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求k和a的值时，可先利用已知点B在一次函数图象上，代入坐标求出k的值，得到完整的一次函数解析式后，再将点A的坐标代入一次函数解析式，即可解出a的值。
(2) 先将不等式$kx+2+\dfrac{8}{x}＜0$变形为$kx+2＜-\dfrac{8}{x}$，转化为判断一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围，结合两个交点坐标，注意反比例函数定义域$x≠0$，观察图象分区间判断即可。
(3) 求$△ AOB$的面积时，利用割补法：找到一次函数与y轴的交点C，将$△ AOB$拆分为$△ AOC$和$△ BOC$，两个三角形共底OC，高分别为A、B两点横坐标的绝对值，分别计算面积再求和即可。
【解析】
(1) $\because$一次函数$y_1=kx+2$的图象过点$B(4, -2)$，
将$x=4$，$y=-2$代入$y_1=kx+2$，得$-2=4k+2$，
解得$k=-1$，$\therefore$一次函数解析式为$y_1=-x+2$。
又$\because$点$A(a, -2a)$在一次函数$y_1=-x+2$的图象上，
将$x=a$，$y=-2a$代入解析式得$-2a=-a+2$，
解得$a=-2$。
(2) 由$a=-2$可得点A的坐标为$(-2, 4)$，
不等式$kx+2+\dfrac{8}{x}＜0$可变形为$kx+2＜-\dfrac{8}{x}$，即一次函数值小于反比例函数值。
观察图象可知：当$-2＜x＜0$或$x＞4$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足$kx+2＜-\dfrac{8}{x}$，
$\therefore$不等式的解集为$-2＜x＜0$或$x＞4$。
(3) 设直线$AB$与$y$轴交于点$C$，
在$y_1=-x+2$中，令$x=0$，得$y=2$，$\therefore$点C的坐标为$(0, 2)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，
$△ AOC$的高为点A横坐标的绝对值$|-2|=2$，$△ BOC$的高为点B横坐标的绝对值$|4|=4$，
$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=2+4=6$。
【答案】
(1) $a=-2$，$k=-1$；
(2) $-2＜x＜0$或$x＞4$；
(3) $6$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合、函数图象解不等式、割补法求面积
【点评】
本题是函数综合的常规题型，既考查了函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，又考查了数形结合思想解不等式的应用，还涉及坐标系中斜三角形面积的常用求解方法，熟练掌握函数性质和割补法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
