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27.1 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 $ x=-3 $ 时，$ y=8 $。
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 $ x=6 $ 时，求 y 的值；
（3）当 $ y=-12 $ 时，求 x 的值。
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 $ x=6 $ 时，求 y 的值；
（3）当 $ y=-12 $ 时，求 x 的值。
答案
解：(1) $y=-\frac{24}{x}$. (2) $y=-4$. (3) $x=2.$
解析
【分析】
本题是反比例函数的基础应用问题，解题思路如下：①对于第(1)问，先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），我们可以用待定系数法，将已知的$x=-3$、$y=8$代入一般式，求出未知系数$k$，就能得到$y$关于$x$的函数解析式；②第(2)问是已知自变量求函数值，只需将$x=6$代入第(1)问求出的解析式中，直接计算即可得到$y$的值；③第(3)问是已知函数值求自变量，将$y=-12$代入解析式，解方程即可求出对应的$x$的值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），
将$x=-3$，$y=8$代入解析式得：$8=\frac{k}{-3}$，
解得$k=8×(-3)=-24$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{24}{x}$。
(2) 将$x=6$代入$y=-\frac{24}{x}$得：
$y=-\frac{24}{6}=-4$。
(3) 将$y=-12$代入$y=-\frac{24}{x}$得：
$-12=-\frac{24}{x}$，
两边同乘$x$得：$-12x=-24$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) $y=-\frac{24}{x}$；(2) $y=-4$；(3) $x=2$
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 待定系数法求解析式 3. 函数值计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，核心考察待定系数法求反比例函数解析式的方法，以及已知自变量或函数值求对应值的基本运算，熟练掌握反比例函数的基本形式即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
本题是反比例函数的基础应用问题，解题思路如下：①对于第(1)问，先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），我们可以用待定系数法，将已知的$x=-3$、$y=8$代入一般式，求出未知系数$k$，就能得到$y$关于$x$的函数解析式；②第(2)问是已知自变量求函数值，只需将$x=6$代入第(1)问求出的解析式中，直接计算即可得到$y$的值；③第(3)问是已知函数值求自变量，将$y=-12$代入解析式，解方程即可求出对应的$x$的值。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），
将$x=-3$，$y=8$代入解析式得：$8=\frac{k}{-3}$，
解得$k=8×(-3)=-24$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{24}{x}$。
(2) 将$x=6$代入$y=-\frac{24}{x}$得：
$y=-\frac{24}{6}=-4$。
(3) 将$y=-12$代入$y=-\frac{24}{x}$得：
$-12=-\frac{24}{x}$，
两边同乘$x$得：$-12x=-24$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) $y=-\frac{24}{x}$；(2) $y=-4$；(3) $x=2$
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 待定系数法求解析式 3. 函数值计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，核心考察待定系数法求反比例函数解析式的方法，以及已知自变量或函数值求对应值的基本运算，熟练掌握反比例函数的基本形式即可轻松解题。
【难度系数】
0.9
27.2 如图27-1，一次函数$y=2x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(4, n)$.将点$A$沿$x$轴正方向平移$m$个单位长度得到点$B$，$D$为$x$轴正半轴上的点，点$B$的横坐标大于点$D$的横坐标，连接$BD$，$BD$的中点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上.
（1）求$n$，$k$的值.
（2）当$m$为何值时，$AB · OD$的值最大？最大值是多少？
（1）求$n$，$k$的值.
（2）当$m$为何值时，$AB · OD$的值最大？最大值是多少？
答案
解：（1）将点 $A(4, n)$ 代入 $y=2x$，得
$n=8$，
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(4, 8)$。
将点 $A(4, 8)$代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $k=32$。
（2）$\because$ 点 $B$ 的横坐标大于点 $D$ 的横坐标，
$\therefore$ 点 $B$ 在点 $D$ 的右侧。
如图，过点 $C$ 作直线 $EF ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$，交 $AB$ 于点 $E$。
由平移的性质，得 $AB$ 平行于 $x$ 轴，$AB=m$。
$\therefore ∠ B=∠ CDF$。
$\because C$ 为 $BD$ 的中点，$\therefore BC=DC$。
$\because ∠ BCE=∠ DCF$，
$\therefore △ ECB ≌ △ FCD$。
$\therefore BE=DF$，$CE=CF$。
$\because AB$ 平行于 $x$ 轴，点 $A$ 的坐标为$(4, 8)$，
$\therefore EF=8$。$\therefore CE=CF=4$。
$\therefore$ 点 $C$ 的纵坐标为 $4$。
由第（1）小题知，反比例函数的解析式为
$y=\frac{32}{x}$。
$\therefore$ 当 $y=4$ 时，$x=8$。
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(8, 4)$。
$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为$(8, 8)$，点 $F$ 的坐标为$(8, 0)$。
$\because$ 点 $A(4, 8)$，$AB=m$，$AB$ 平行于 $x$ 轴，
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(m+4, 8)$。
$\therefore BE=m+4-8=m-4$。
$\therefore DF=BE=m-4$。
$\therefore OD=8-(m-4)=12-m$。
$\therefore AB · OD = m(12-m)=-(m-6)^2+36$。
$\therefore$ 当 $m=6$ 时，$AB · OD$ 的值最大，最大值为 36。
解析
【分析】
（1）第一小问可利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”求解：先将点A(4,n)代入一次函数y=2x求出n的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式即可求出k的值。
（2）第二小问首先根据平移性质可得AB平行于x轴，AB长度为m，可表示出点B的坐标；再通过作辅助线构造全等三角形：过点C作EF垂直x轴，分别交AB、x轴于E、F，利用C是BD中点的条件证明△ECB≌△FCD，可得CE=CF，结合点A的纵坐标推出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出点C的坐标；再利用全等性质得到BE=DF，进而表示出OD的长度，最后将AB·OD整理为关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
解：（1）将点 $A(4, n)$ 代入 $y=2x$，得
$n=2×4=8$，
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(4, 8)$。
将点 $A(4, 8)$代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $k=4×8=32$。
（2）$\because$ 点 $B$ 的横坐标大于点 $D$ 的横坐标，
$\therefore$ 点 $B$ 在点 $D$ 的右侧。
如图，过点 $C$ 作直线 $EF ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$，交 $AB$ 于点 $E$。
由平移的性质，得 $AB // x$ 轴，$AB=m$。
$\therefore ∠ B=∠ CDF$。
$\because C$ 为 $BD$ 的中点，$\therefore BC=DC$。
又$\because ∠ BCE=∠ DCF$，
$\therefore △ ECB ≌ △ FCD（ASA）$。
$\therefore BE=DF$，$CE=CF$。
$\because AB // x$ 轴，点 $A$ 的坐标为$(4, 8)$，
$\therefore EF=8$，即$CE=CF=4$。
$\therefore$ 点 $C$ 的纵坐标为 $4$。
由（1）知反比例函数的解析式为$y=\frac{32}{x}$，
将$y=4$代入得$x=\frac{32}{4}=8$，即点$C$的坐标为$(8,4)$。
$\therefore$ 点$E$坐标为$(8,8)$，点$F$坐标为$(8,0)$。
$\because$ 点$A(4,8)$，$AB=m$且$AB// x$轴，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(m+4,8)$，
$\therefore BE=(m+4)-8=m-4$，即$DF=BE=m-4$。
$\therefore OD=8-(m-4)=12-m$。
$\therefore AB · OD = m(12-m)=-m^2+12m=-(m-6)^2+36$。
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，
$\therefore$ 当$m=6$时，$AB·OD$取得最大值，最大值为36。
【答案】
（1）$n=8$，$k=32$；
（2）当$m=6$时，$AB·OD$的值最大，最大值是36。
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值
【点评】
本题为函数与几何的综合题，融合了平移性质、全等三角形、二次函数求最值等多个考点，解题的核心是通过构造全等三角形得到点C的坐标，进而建立AB·OD关于m的函数表达式，较好地考察了学生的知识综合运用能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一小问可利用“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”求解：先将点A(4,n)代入一次函数y=2x求出n的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式即可求出k的值。
（2）第二小问首先根据平移性质可得AB平行于x轴，AB长度为m，可表示出点B的坐标；再通过作辅助线构造全等三角形：过点C作EF垂直x轴，分别交AB、x轴于E、F，利用C是BD中点的条件证明△ECB≌△FCD，可得CE=CF，结合点A的纵坐标推出点C的纵坐标，代入反比例函数解析式求出点C的坐标；再利用全等性质得到BE=DF，进而表示出OD的长度，最后将AB·OD整理为关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大值。
【解析】
解：（1）将点 $A(4, n)$ 代入 $y=2x$，得
$n=2×4=8$，
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(4, 8)$。
将点 $A(4, 8)$代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $k=4×8=32$。
（2）$\because$ 点 $B$ 的横坐标大于点 $D$ 的横坐标，
$\therefore$ 点 $B$ 在点 $D$ 的右侧。
如图，过点 $C$ 作直线 $EF ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$，交 $AB$ 于点 $E$。
由平移的性质，得 $AB // x$ 轴，$AB=m$。
$\therefore ∠ B=∠ CDF$。
$\because C$ 为 $BD$ 的中点，$\therefore BC=DC$。
又$\because ∠ BCE=∠ DCF$，
$\therefore △ ECB ≌ △ FCD（ASA）$。
$\therefore BE=DF$，$CE=CF$。
$\because AB // x$ 轴，点 $A$ 的坐标为$(4, 8)$，
$\therefore EF=8$，即$CE=CF=4$。
$\therefore$ 点 $C$ 的纵坐标为 $4$。
由（1）知反比例函数的解析式为$y=\frac{32}{x}$，
将$y=4$代入得$x=\frac{32}{4}=8$，即点$C$的坐标为$(8,4)$。
$\therefore$ 点$E$坐标为$(8,8)$，点$F$坐标为$(8,0)$。
$\because$ 点$A(4,8)$，$AB=m$且$AB// x$轴，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(m+4,8)$，
$\therefore BE=(m+4)-8=m-4$，即$DF=BE=m-4$。
$\therefore OD=8-(m-4)=12-m$。
$\therefore AB · OD = m(12-m)=-m^2+12m=-(m-6)^2+36$。
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，
$\therefore$ 当$m=6$时，$AB·OD$取得最大值，最大值为36。
【答案】
（1）$n=8$，$k=32$；
（2）当$m=6$时，$AB·OD$的值最大，最大值是36。
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值
【点评】
本题为函数与几何的综合题，融合了平移性质、全等三角形、二次函数求最值等多个考点，解题的核心是通过构造全等三角形得到点C的坐标，进而建立AB·OD关于m的函数表达式，较好地考察了学生的知识综合运用能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
27.3 家用电灭蚊器的发热部分使用了某种发热材料，它的电阻$ R $（单位：$ \mathrm{k}\Omega $）随温度$ T $（单位：$ °\mathrm{C} $）（在一定范围内）变化的大致图象如图27-2所示. 通电后，发热材料的温度在由室温10 $ °\mathrm{C} $上升到30 $ °\mathrm{C} $的过程中，电阻与温度是反比例函数关系，且在温度达到30 $ °\mathrm{C} $时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1 $ °\mathrm{C} $，电阻增加$ \frac{4}{15} $ $ \mathrm{k}\Omega $.
（1）求$ R $关于$ T $的函数解析式.
（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4 $ \mathrm{k}\Omega $？
图27-2
（1）求$ R $关于$ T $的函数解析式.
（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4 $ \mathrm{k}\Omega $？
图27-2
答案
解：（1）$\because$ 温度在由室温 $10\ ℃$ 上升到 $30\ ℃$ 的过程中，电阻与温度是反比例函数关系，
$\therefore$ 当 $10 ≤ T ≤ 30$ 时，设函数解析式为
$R=\frac{k}{T}$，将$(10, 6)$代入 $R=\frac{k}{T}$，得 $6=\frac{k}{10}$。
解得 $k=60$。
故当 $10≤ T≤ 30$ 时，$R=\frac{60}{T}$。
当 $T=30$ 时，$R=\frac{60}{30}=2$。
$\therefore$ 温度在 $30\ ℃$ 时，电阻 $R=2\ \mathrm{k}\Omega$。
$\because$ 在温度达到 $30\ ℃$ 时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 $1\ ℃$，电阻增加 $\frac{4}{15}\ \mathrm{k}\Omega$，
$\therefore$ 当 $T＞30$ 时，
$R=2+\frac{4}{15}(T-30)=\frac{4}{15}T-6$。
故 $R$ 关于 $T$ 的函数解析式为
$R=\begin{cases}\frac{60}{T}(10≤ T≤ 30),\\\frac{4}{15}T-6(T＞30).\end{cases}$
（2）把 $R=4$ 代入 $R=\frac{4}{15}T-6$，得
$T=37.5$。
把 $R=4$ 代入 $R=\frac{60}{T}$，得 $T=15$，
由题图可知，当 $15≤ T≤ 37.5$ 时，发热材料的电阻不超过 $4\ \mathrm{k}\Omega$。
$\therefore$ 当 $10 ≤ T ≤ 30$ 时，设函数解析式为
$R=\frac{k}{T}$，将$(10, 6)$代入 $R=\frac{k}{T}$，得 $6=\frac{k}{10}$。
解得 $k=60$。
故当 $10≤ T≤ 30$ 时，$R=\frac{60}{T}$。
当 $T=30$ 时，$R=\frac{60}{30}=2$。
$\therefore$ 温度在 $30\ ℃$ 时，电阻 $R=2\ \mathrm{k}\Omega$。
$\because$ 在温度达到 $30\ ℃$ 时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 $1\ ℃$，电阻增加 $\frac{4}{15}\ \mathrm{k}\Omega$，
$\therefore$ 当 $T＞30$ 时，
$R=2+\frac{4}{15}(T-30)=\frac{4}{15}T-6$。
故 $R$ 关于 $T$ 的函数解析式为
$R=\begin{cases}\frac{60}{T}(10≤ T≤ 30),\\\frac{4}{15}T-6(T＞30).\end{cases}$
（2）把 $R=4$ 代入 $R=\frac{4}{15}T-6$，得
$T=37.5$。
把 $R=4$ 代入 $R=\frac{60}{T}$，得 $T=15$，
由题图可知，当 $15≤ T≤ 37.5$ 时，发热材料的电阻不超过 $4\ \mathrm{k}\Omega$。
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：① 先处理$10℃\le T\le30℃$的区间：题目明确此区间内$R$与$T$成反比例函数关系，已知点$(10,6)$在该函数图象上，代入反比例函数一般形式即可求出解析式，再代入$T=30$求出30℃对应的电阻值，作为下一段函数的起点。② 再处理$T＞30℃$的区间：此区间内电阻随温度线性上升，属于一次函数关系，已知温度每升$1℃$电阻增加$\frac{4}{15}\ \mathrm{k}\Omega$，结合30℃时的电阻值，即可写出该段的一次函数解析式，综上得到完整的分段函数。③ 解决第二问时，将$R=4$分别代入两段函数解析式，求出对应的温度值，再结合两段函数的增减性，即可确定电阻不超过$4\mathrm{k}\Omega$的温度范围。
【解析】
（1）分两段求函数解析式：
① 当$10\le T\le30$时，由题意知$R$与$T$为反比例函数关系，设$R=\frac{k}{T}$（$k\ne0$）。
将$T=10$，$R=6$代入得：$6=\frac{k}{10}$，解得$k=60$。
因此该段函数解析式为$R=\frac{60}{T}$（$10\le T\le30$）。
将$T=30$代入上式，得$R=\frac{60}{30}=2$，即30℃时电阻为$2\ \mathrm{k}\Omega$。
② 当$T＞30$时，由题意知温度每上升$1℃$，电阻增加$\frac{4}{15}\ \mathrm{k}\Omega$，因此：
$R=2+\frac{4}{15}(T-30)=\frac{4}{15}T-6$。
综上，$R$关于$T$的函数解析式为分段函数。
（2）求电阻不超过$4\ \mathrm{k}\Omega$的温度范围，即求$R\le4$时$T$的取值范围，分两段计算：
① 当$10\le T\le30$时，令$\frac{60}{T}\le4$，解得$T\ge15$，结合区间得$15\le T\le30$；
② 当$T＞30$时，令$\frac{4}{15}T-6\le4$，解得$T\le37.5$，结合区间得$30＜T\le37.5$。
合并两个区间即可得到最终温度范围。
【答案】
（1）$R=\begin{cases}\frac{60}{T}&(10\le T\le30)\\\frac{4}{15}T-6&(T＞30)\end{cases}$
（2）$15℃\le T\le37.5℃$
【知识点】
反比例函数应用，一次函数应用，分段函数
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的相关知识，解题的核心是准确判断不同温度区间内的函数类型，结合已知条件求出各段的函数解析式，再通过解不等式得到对应范围，解题时要注意各段自变量的取值范围，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：① 先处理$10℃\le T\le30℃$的区间：题目明确此区间内$R$与$T$成反比例函数关系，已知点$(10,6)$在该函数图象上，代入反比例函数一般形式即可求出解析式，再代入$T=30$求出30℃对应的电阻值，作为下一段函数的起点。② 再处理$T＞30℃$的区间：此区间内电阻随温度线性上升，属于一次函数关系，已知温度每升$1℃$电阻增加$\frac{4}{15}\ \mathrm{k}\Omega$，结合30℃时的电阻值，即可写出该段的一次函数解析式，综上得到完整的分段函数。③ 解决第二问时，将$R=4$分别代入两段函数解析式，求出对应的温度值，再结合两段函数的增减性，即可确定电阻不超过$4\mathrm{k}\Omega$的温度范围。
【解析】
（1）分两段求函数解析式：
① 当$10\le T\le30$时，由题意知$R$与$T$为反比例函数关系，设$R=\frac{k}{T}$（$k\ne0$）。
将$T=10$，$R=6$代入得：$6=\frac{k}{10}$，解得$k=60$。
因此该段函数解析式为$R=\frac{60}{T}$（$10\le T\le30$）。
将$T=30$代入上式，得$R=\frac{60}{30}=2$，即30℃时电阻为$2\ \mathrm{k}\Omega$。
② 当$T＞30$时，由题意知温度每上升$1℃$，电阻增加$\frac{4}{15}\ \mathrm{k}\Omega$，因此：
$R=2+\frac{4}{15}(T-30)=\frac{4}{15}T-6$。
综上，$R$关于$T$的函数解析式为分段函数。
（2）求电阻不超过$4\ \mathrm{k}\Omega$的温度范围，即求$R\le4$时$T$的取值范围，分两段计算：
① 当$10\le T\le30$时，令$\frac{60}{T}\le4$，解得$T\ge15$，结合区间得$15\le T\le30$；
② 当$T＞30$时，令$\frac{4}{15}T-6\le4$，解得$T\le37.5$，结合区间得$30＜T\le37.5$。
合并两个区间即可得到最终温度范围。
【答案】
（1）$R=\begin{cases}\frac{60}{T}&(10\le T\le30)\\\frac{4}{15}T-6&(T＞30)\end{cases}$
（2）$15℃\le T\le37.5℃$
【知识点】
反比例函数应用，一次函数应用，分段函数
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的相关知识，解题的核心是准确判断不同温度区间内的函数类型，结合已知条件求出各段的函数解析式，再通过解不等式得到对应范围，解题时要注意各段自变量的取值范围，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7
