10. 已知电磁波的波长λ(单位：m)会随着电磁波的频率f(单位：MHz)的变化而变化，已知某段电磁波在宇宙中，波长λ与频率f的部分对应值如下表：

（1）选择合适的函数模型，求出波长λ关于频率f的函数解析式；
（2）估计当波长为20 m时，电磁波的频率。

(1) 由题意可知，波长 $λ$ 是频率 $f$ 的函数，因为没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数模型.
为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图，如图①所示，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点. 可以发现图②中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述波长 $λ$ 与频率 $f$ 之间的关系.

建立函数模型. 设函数解析式为 $λ=\frac{k}{f}$（$f＞0$）. 根据题表中的数据，分析求出 $k$ 的值，列表如下.
| $f$ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $λ$ | 149 | 75.5 | 51 | 37.5 | 30 | 24.5 |
| $k$ | 298 | 302 | 306 | 300 | 300 | 294 |
计算所有 $k$ 值的平均值，得 $k=\frac{1}{6}×(298+302+306+300+300+294)=300$.
把这个平均值 300 作为 $k$ 的值，就得到一个函数模型 $λ=\frac{300}{f}$.
检验模型. 将已知数据代入 $λ=\frac{300}{f}$，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映波长 $λ$ 与频率 $f$ 之间的关系.
(2) 当 $λ=20$ 时，$20=\frac{300}{f}$. 解得 $f=15$.
因此，估计当波长为 20 m 时，电磁波的频率为 15 MHz.

【分析】
解决本题分两步开展：
1. 求解函数解析式：首先观察表格中频率f和波长λ的变化规律，也可通过绘制散点图直观观察数据分布，可发现f越大λ越小，且每组f与λ的乘积接近同一个常数，符合反比例函数的特征，因此选择反比例函数模型。设解析式为$λ=\frac{k}{f}$（$f＞0$），再用多组数据计算k的平均值来减小误差，最后验证模型与已知数据的匹配度即可。
2. 求对应频率：已知λ的值求f，直接将$λ=20$代入第(1)问得到的解析式，解分式方程即可得到f的取值。
【解析】
(1) 首先根据表格中的数据绘制散点图（如图①），观察点的分布，绘制拟合曲线（如图②），可见曲线形似双曲线的一支，因此判断波长λ与频率f近似符合反比例函数关系。
设函数解析式为$λ=\frac{k}{f}$（$f＞0$，$k$为常数且$k≠0$）。
将表格中每组$f$和$λ$的取值代入解析式计算$k=fλ$，得到$k$的取值分别为：$2×149=298$，$4×75.5=302$，$6×51=306$，$8×37.5=300$，$10×30=300$，$12×24.5=294$。
计算$k$的平均值：$k=\frac{1}{6}×(298+302+306+300+300+294)=300$。
因此得到波长$λ$关于频率$f$的函数解析式为$λ=\frac{300}{f}$（$f＞0$）。
将已知数据代入解析式验证，发现模型与实际数据基本吻合，能较好反映两者的关系。

(2) 当$λ=20\ \mathrm{m}$时，将其代入解析式$λ=\frac{300}{f}$，可得：
$20=\frac{300}{f}$
解得$f=15$。
【答案】
(1) 波长$λ$关于频率$f$的函数解析式为$\boldsymbol{λ=\frac{300}{f}(f＞0)}$；
(2) 当波长为20 m时，电磁波的频率为$\boldsymbol{15\ \mathrm{MHz}}$。

【知识点】
反比例函数应用，函数建模，解方程
【点评】
本题结合电磁波的实际情境，考查学生对数据的分析能力和函数模型的应用能力，需要学生通过数据特征判断函数类型，再通过计算确定函数参数，最后利用模型解决实际问题，体现了数学在跨学科场景中的应用价值。
【难度系数】
0.7