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1. 如图所示的是二次函数的图象,则这个二次函数的表达式为(
A.$y=x^2 -2x +3$
B.$y=x^2 -2x -3$
C.$y=x^2 +2x -3$
D.$y=x^2 +2x +3$
B
)。A.$y=x^2 -2x +3$
B.$y=x^2 -2x -3$
C.$y=x^2 +2x -3$
D.$y=x^2 +2x +3$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像中提取已知点坐标：与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴的交点为$(0,-3)$。我们可以通过两种思路求解：第一种是用待定系数法，选择交点式代入已知点求出解析式；第二种是用排除法，先根据y轴交点的纵坐标排除常数项不符合的选项，再根据对称轴或代入x轴交点验证剩余选项即可。
【解析】
方法一：待定系数法（交点式）
由图像可知，二次函数与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$，因此设二次函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
将y轴交点$(0,-3)$代入解析式：
$-3=a×(0+1)×(0-3)$
$-3=-3a$
解得$a=1$
因此解析式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$。
方法二：排除法
当$x=0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y=c$，由图像知$x=0$时$y=-3$，因此$c=-3$，排除常数项为3的A、D选项。
二次函数与x轴两个交点的中点为对称轴，即对称轴$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，选项中$a$均为1，因此$-\frac{b}{2}=1$，解得$b=-2$，只有B选项符合。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过待定系数法直接求出解析式，也可以利用排除法快速锁定答案，解题的关键是能从图像中准确提取交点坐标，熟悉二次函数解析式各系数与图像的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先从二次函数图像中提取已知点坐标：与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴的交点为$(0,-3)$。我们可以通过两种思路求解：第一种是用待定系数法，选择交点式代入已知点求出解析式；第二种是用排除法，先根据y轴交点的纵坐标排除常数项不符合的选项，再根据对称轴或代入x轴交点验证剩余选项即可。
【解析】
方法一：待定系数法（交点式）
由图像可知，二次函数与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$，因此设二次函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$）。
将y轴交点$(0,-3)$代入解析式：
$-3=a×(0+1)×(0-3)$
$-3=-3a$
解得$a=1$
因此解析式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$。
方法二：排除法
当$x=0$时，二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y=c$，由图像知$x=0$时$y=-3$，因此$c=-3$，排除常数项为3的A、D选项。
二次函数与x轴两个交点的中点为对称轴，即对称轴$x=\frac{-1+3}{2}=1$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，选项中$a$均为1，因此$-\frac{b}{2}=1$，解得$b=-2$，只有B选项符合。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数交点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过待定系数法直接求出解析式，也可以利用排除法快速锁定答案，解题的关键是能从图像中准确提取交点坐标，熟悉二次函数解析式各系数与图像的对应关系。
【难度系数】
0.8
2. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-3,0),B(1,0),C(0,3)$，则该抛物线的表达式为
。
$y=-x^2 -2x +3$
。
答案
2. $y = -x^2 -2x +3$
解析
【分析】
本题要求抛物线的表达式，已知抛物线经过3个点，可采用待定系数法求解，有两种常规思路：1. 直接设一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个点的坐标代入得到三元一次方程组，解出$a、b、c$的值即可；2. 已知抛物线与x轴的两个交点A、B，可先设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1、x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标），代入第三个点C的坐标求出$a$的值，再整理为一般式即可，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵ 抛物线与x轴交于点$A(-3,0)$、$B(1,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x+3)(x-1)$（$a≠0$）
将$C(0,3)$代入解析式得：
$3 = a×(0+3)×(0-1)$
解得 $a = -1$
∴ 抛物线的解析式为$y = -(x+3)(x-1)$
展开整理得：$y = -x^2 -2x +3$
方法二（一般式法）：
将$A(-3,0)$、$B(1,0)$、$C(0,3)$分别代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases} 9a - 3b + c = 0 \\ a + b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，得：
$\begin{cases} 9a - 3b = -3 \\ a + b = -3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = -1 \\ b = -2 \end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为$y = -x^2 -2x +3$
【答案】
$y = -x^2 -2x +3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数交点式；三元一次方程组解法
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题的关键是根据已知点的特征灵活选择解析式形式，已知与x轴的两个交点时选用交点式可大大减少计算量。
【难度系数】
0.85
本题要求抛物线的表达式，已知抛物线经过3个点，可采用待定系数法求解，有两种常规思路：1. 直接设一般式$y=ax^2+bx+c$，将三个点的坐标代入得到三元一次方程组，解出$a、b、c$的值即可；2. 已知抛物线与x轴的两个交点A、B，可先设交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$x_1、x_2$是抛物线与x轴交点的横坐标），代入第三个点C的坐标求出$a$的值，再整理为一般式即可，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵ 抛物线与x轴交于点$A(-3,0)$、$B(1,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x+3)(x-1)$（$a≠0$）
将$C(0,3)$代入解析式得：
$3 = a×(0+3)×(0-1)$
解得 $a = -1$
∴ 抛物线的解析式为$y = -(x+3)(x-1)$
展开整理得：$y = -x^2 -2x +3$
方法二（一般式法）：
将$A(-3,0)$、$B(1,0)$、$C(0,3)$分别代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases} 9a - 3b + c = 0 \\ a + b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，得：
$\begin{cases} 9a - 3b = -3 \\ a + b = -3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = -1 \\ b = -2 \end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为$y = -x^2 -2x +3$
【答案】
$y = -x^2 -2x +3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数交点式；三元一次方程组解法
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题的关键是根据已知点的特征灵活选择解析式形式，已知与x轴的两个交点时选用交点式可大大减少计算量。
【难度系数】
0.85
3. 若二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象经过点$(-4,0),(2,6)$，则这个二次函数的表达式是
$y=x^2 +3x -4$
。答案
3. $y = x^2 +3x -4$
解析
【分析】
本题已知二次函数的一般形式和图象经过的两个点的坐标，解题核心是运用待定系数法求解。思路如下：第一步，将两个点的横、纵坐标分别代入二次函数的一般式，得到关于未知系数b、c的二元一次方程组；第二步，解这个二元一次方程组，求出b和c的值；第三步，将b、c的值代回原一般式，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
因为二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象经过点$(-4,0)$和$(2,6)$，所以将两点坐标分别代入解析式可得：
$\begin{cases}(-4)^2 - 4b + c = 0 \\2^2 + 2b + c = 6\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}-4b + c = -16 ① \\2b + c = 2 ②\end{cases}$
用②式减去①式消去c，得：
$6b=18$，解得$b=3$。
将$b=3$代入②式，得：$4+6+c=6$，解得$c=-4$。
把$b=3$、$c=-4$代回原解析式，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y = x^2 +3x -4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二元一次方程组的解法；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数表达式的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题已知二次函数的一般形式和图象经过的两个点的坐标，解题核心是运用待定系数法求解。思路如下：第一步，将两个点的横、纵坐标分别代入二次函数的一般式，得到关于未知系数b、c的二元一次方程组；第二步，解这个二元一次方程组，求出b和c的值；第三步，将b、c的值代回原一般式，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
因为二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象经过点$(-4,0)$和$(2,6)$，所以将两点坐标分别代入解析式可得：
$\begin{cases}(-4)^2 - 4b + c = 0 \\2^2 + 2b + c = 6\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}-4b + c = -16 ① \\2b + c = 2 ②\end{cases}$
用②式减去①式消去c，得：
$6b=18$，解得$b=3$。
将$b=3$代入②式，得：$4+6+c=6$，解得$c=-4$。
把$b=3$、$c=-4$代回原解析式，即可得到二次函数的表达式。
【答案】
$y = x^2 +3x -4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二元一次方程组的解法；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数表达式的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.若抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点是$A(2,1)$，且经过点$B(1,0)$，则该抛物线的表达式为
$y=-x^2 +4x -3$
。答案
4. $y = -x^2 +4x -3$
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选用二次函数顶点式求解，可简化计算步骤。首先根据顶点式的结构，代入顶点坐标得到含唯一待定系数a的解析式，再将抛物线上已知点B的坐标代入解析式求出a的值，最后将顶点式展开为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线的顶点为A(2,1)
∴ 设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-2)^2+1$（$a≠0$）
∵ 抛物线经过点B(1,0)
∴ 将$x=1$，$y=0$代入上式得：
$0=a(1-2)^2+1$
解得$a=-1$
将$a=-1$代入顶点式，展开得：
$y=-(x-2)^2+1 = -(x^2-4x+4)+1 = -x^2+4x-3$
【答案】
$y = -x^2 +4x -3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数形式转化
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知条件选择最优的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅减少计算量，需熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的顶点坐标，优先选用二次函数顶点式求解，可简化计算步骤。首先根据顶点式的结构，代入顶点坐标得到含唯一待定系数a的解析式，再将抛物线上已知点B的坐标代入解析式求出a的值，最后将顶点式展开为一般式即可得到结果。
【解析】
∵ 抛物线的顶点为A(2,1)
∴ 设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-2)^2+1$（$a≠0$）
∵ 抛物线经过点B(1,0)
∴ 将$x=1$，$y=0$代入上式得：
$0=a(1-2)^2+1$
解得$a=-1$
将$a=-1$代入顶点式，展开得：
$y=-(x-2)^2+1 = -(x^2-4x+4)+1 = -x^2+4x-3$
【答案】
$y = -x^2 +4x -3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数顶点式
3. 二次函数形式转化
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知条件选择最优的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅减少计算量，需熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景。
【难度系数】
0.8
5. 如图,某同学推铅球,铅球出手(点A处)的高度是0.6 m,出手后的铅球沿一段抛物线运行,当运行到最高3 m时,水平距离$x=4$ m。
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该同学把铅球推出去多远？
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该同学把铅球推出去多远？
答案
5. (1) 设这个二次函数的表达式为$y = a(x - 4)^2 + 3$,把$(0,0.6)$代入,得$0.6 = a(0 - 4)^2 + 3$,解得$a = -\frac{3}{20}$。所以$y = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$
(2) 当$y = 0$时,$0 = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$。解得$x_1 = 4 + 2\sqrt{5}$,$x_2 = 4 - 2\sqrt{5}$(舍去)。因此,该同学把铅球推出去$(4 + 2\sqrt{5})$m 远
(2) 当$y = 0$时,$0 = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$。解得$x_1 = 4 + 2\sqrt{5}$,$x_2 = 4 - 2\sqrt{5}$(舍去)。因此,该同学把铅球推出去$(4 + 2\sqrt{5})$m 远
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标为(4,3)，优先选择二次函数顶点式设解析式更简便，再将出手点A(0,0.6)代入所设解析式，即可求出参数a的值，得到二次函数表达式。
(2) 铅球落地时高度为0，因此令函数值y=0，解对应的一元二次方程，得到的正根就是铅球推出的水平距离，负根不符合实际意义需舍去。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线顶点坐标为(4,3)，设二次函数的表达式为$y = a(x - 4)^2 + 3$，
将点A(0,0.6)代入表达式，得$0.6 = a(0 - 4)^2 + 3$，
整理得$16a=-2.4$，解得$a = -\frac{3}{20}$，
因此二次函数的表达式为$y = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$。
(2) 当铅球落地时高度$y=0$，将$y=0$代入函数表达式，得：
$0 = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$
移项得$\frac{3}{20}(x - 4)^2 = 3$，两边同乘$\frac{20}{3}$得$(x - 4)^2 = 20$，
开方得$x - 4 = \pm 2\sqrt{5}$，解得$x_1 = 4 + 2\sqrt{5}$，$x_2 = 4 - 2\sqrt{5}$，
因水平距离不能为负，$4 - 2\sqrt{5} ＜ 0$不符合实际，故舍去，
所以铅球推出的水平距离为$(4 + 2\sqrt{5})$m。
【答案】
(1) $y = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$
(2) $(4 + 2\sqrt{5})$m
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用、解一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数在抛体问题中的实际应用，解题关键是根据已知条件选择合适的函数解析式形式，同时要结合实际场景对计算结果进行合理性筛选，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线的顶点坐标为(4,3)，优先选择二次函数顶点式设解析式更简便，再将出手点A(0,0.6)代入所设解析式，即可求出参数a的值，得到二次函数表达式。
(2) 铅球落地时高度为0，因此令函数值y=0，解对应的一元二次方程，得到的正根就是铅球推出的水平距离，负根不符合实际意义需舍去。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线顶点坐标为(4,3)，设二次函数的表达式为$y = a(x - 4)^2 + 3$，
将点A(0,0.6)代入表达式，得$0.6 = a(0 - 4)^2 + 3$，
整理得$16a=-2.4$，解得$a = -\frac{3}{20}$，
因此二次函数的表达式为$y = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$。
(2) 当铅球落地时高度$y=0$，将$y=0$代入函数表达式，得：
$0 = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$
移项得$\frac{3}{20}(x - 4)^2 = 3$，两边同乘$\frac{20}{3}$得$(x - 4)^2 = 20$，
开方得$x - 4 = \pm 2\sqrt{5}$，解得$x_1 = 4 + 2\sqrt{5}$，$x_2 = 4 - 2\sqrt{5}$，
因水平距离不能为负，$4 - 2\sqrt{5} ＜ 0$不符合实际，故舍去，
所以铅球推出的水平距离为$(4 + 2\sqrt{5})$m。
【答案】
(1) $y = -\frac{3}{20}(x - 4)^2 + 3$
(2) $(4 + 2\sqrt{5})$m
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数实际应用、解一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数在抛体问题中的实际应用，解题关键是根据已知条件选择合适的函数解析式形式，同时要结合实际场景对计算结果进行合理性筛选，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
