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1. 关于函数$y=-4x^2 +3$的性质，下列描述正确的是(
A.当x值为任意实数时，y的值总是负的
B.当x值增加时，y的值也增加
C.它的图象关于y轴对称
D.它的图象在第三、四象限内
C
)。A.当x值为任意实数时，y的值总是负的
B.当x值增加时，y的值也增加
C.它的图象关于y轴对称
D.它的图象在第三、四象限内
答案
1. C
解析
【分析】
要判断二次函数$y=-4x^2+3$的性质描述是否正确，首先明确该二次函数的基本特征：先由a的符号判断开口方向，再结合对称轴、顶点坐标等核心要素，逐一验证每个选项的正确性即可。
【解析】
对于二次函数$y=-4x^2+3$：
1. 基础参数判断：$a=-4＜0$，可知抛物线开口向下；一次项系数$b=0$，因此对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=0$，即y轴；顶点坐标为$(0,3)$，函数的最大值为3。
2. 逐一分析选项：
A选项：当$x=0$时，$y=3＞0$，并非任意实数x对应的y都是负数，故A错误；
B选项：抛物线开口向下，对称轴为y轴，因此当$x＜0$时，x增大y增大；当$x＞0$时，x增大y减小，不是x增加y就一定增加，故B错误；
C选项：该抛物线的对称轴为y轴，因此图象关于y轴对称，故C正确；
D选项：抛物线顶点在$(0,3)$（y轴正半轴），且开口向下，当$|x|＜\frac{\sqrt{3}}{2}$时$y＞0$，因此图象有部分在第一、二象限，并非只在第三、四象限，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题的核心是先确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等关键要素，再结合性质逐一排查选项，熟练掌握基础二次函数的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数$y=-4x^2+3$的性质描述是否正确，首先明确该二次函数的基本特征：先由a的符号判断开口方向，再结合对称轴、顶点坐标等核心要素，逐一验证每个选项的正确性即可。
【解析】
对于二次函数$y=-4x^2+3$：
1. 基础参数判断：$a=-4＜0$，可知抛物线开口向下；一次项系数$b=0$，因此对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=0$，即y轴；顶点坐标为$(0,3)$，函数的最大值为3。
2. 逐一分析选项：
A选项：当$x=0$时，$y=3＞0$，并非任意实数x对应的y都是负数，故A错误；
B选项：抛物线开口向下，对称轴为y轴，因此当$x＜0$时，x增大y增大；当$x＞0$时，x增大y减小，不是x增加y就一定增加，故B错误；
C选项：该抛物线的对称轴为y轴，因此图象关于y轴对称，故C正确；
D选项：抛物线顶点在$(0,3)$（y轴正半轴），且开口向下，当$|x|＜\frac{\sqrt{3}}{2}$时$y＞0$，因此图象有部分在第一、二象限，并非只在第三、四象限，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题的核心是先确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等关键要素，再结合性质逐一排查选项，熟练掌握基础二次函数的性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$均在抛物线$y=x^2 -1$上,则下列说法正确的是(
A.若$y_1=y_2$,则$x_1=x_2$
B.若$x_1=-x_2$,则$y_1=-y_2$
C.若$0＜x_1＜x_2$,则$y_1＞y_2$
D.若$x_1＜x_2＜0$,则$y_1＞y_2$
D
)。A.若$y_1=y_2$,则$x_1=x_2$
B.若$x_1=-x_2$,则$y_1=-y_2$
C.若$0＜x_1＜x_2$,则$y_1＞y_2$
D.若$x_1＜x_2＜0$,则$y_1＞y_2$
答案
2. D
解析
【分析】
首先回忆抛物线$y=x^2-1$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（$x=0$）；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；抛物线上关于y轴对称的点纵坐标相等。接下来逐个分析选项：A选项中$y_1=y_2$时，$x_1$、$x_2$可能相等也可能互为相反数，可直接排除；B选项中$x_1=-x_2$时两点关于y轴对称，$y_1=y_2$，可排除；C选项中两点都在对称轴右侧，$x$越大$y$越大，可排除；D选项中两点都在对称轴左侧，$x$越小$y$越大，符合性质，即可确定正确选项。
【解析】
结合抛物线$y=x^2-1$的性质逐个验证选项：
1. 对选项A：若$y_1=y_2$，则$x_1^2-1=x_2^2-1$，整理得$x_1^2=x_2^2$，即$x_1=x_2$或$x_1=-x_2$，故A错误；
2. 对选项B：若$x_1=-x_2$，代入解析式得$y_1=(-x_2)^2-1=x_2^2-1=y_2$，故B错误；
3. 对选项C：抛物线开口向上，对称轴为$x=0$，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，因此$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＜y_2$，故C错误；
4. 对选项D：$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，因此$x_1＜x_2＜0$时，$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题时可结合图象规律分析，也可代入特殊值快速排除错误选项，熟练掌握抛物线的增减性和对称性是解题核心。
【难度系数】
0.7
首先回忆抛物线$y=x^2-1$的基本性质：开口向上，对称轴为y轴（$x=0$）；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；抛物线上关于y轴对称的点纵坐标相等。接下来逐个分析选项：A选项中$y_1=y_2$时，$x_1$、$x_2$可能相等也可能互为相反数，可直接排除；B选项中$x_1=-x_2$时两点关于y轴对称，$y_1=y_2$，可排除；C选项中两点都在对称轴右侧，$x$越大$y$越大，可排除；D选项中两点都在对称轴左侧，$x$越小$y$越大，符合性质，即可确定正确选项。
【解析】
结合抛物线$y=x^2-1$的性质逐个验证选项：
1. 对选项A：若$y_1=y_2$，则$x_1^2-1=x_2^2-1$，整理得$x_1^2=x_2^2$，即$x_1=x_2$或$x_1=-x_2$，故A错误；
2. 对选项B：若$x_1=-x_2$，代入解析式得$y_1=(-x_2)^2-1=x_2^2-1=y_2$，故B错误；
3. 对选项C：抛物线开口向上，对称轴为$x=0$，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，因此$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＜y_2$，故C错误；
4. 对选项D：$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，因此$x_1＜x_2＜0$时，$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题时可结合图象规律分析，也可代入特殊值快速排除错误选项，熟练掌握抛物线的增减性和对称性是解题核心。
【难度系数】
0.7
3. 抛物线 $y=-6x^2 +5$ 的开口向
下
，对称轴是 y轴(或直线x=0)
，顶点坐标是 (0,5)
，顶点是最 高
点，所以函数的最 大
值是 5
。答案
3. 下 y轴(或直线x=0) (0,5) 高 大 5
解析
【分析】
这道题考查二次函数$y=ax^2+c$的基本性质，解题可按以下思路推导：首先从解析式中确定二次项系数$a$和常数项$c$的取值；第一步根据$a$的正负判断抛物线的开口方向；第二步结合$y=ax^2+c$无一次项的结构特点，确定对称轴和顶点坐标；第三步根据开口方向判断顶点是最高点还是最低点，对应得到函数的最值类型和最值。
【解析】
对于抛物线$y=-6x^2 +5$，属于$y=ax^2+c$（$a≠0$）的形式，推导如下：
1. 二次项系数$a=-6＜0$，因此抛物线开口向下；
2. $y=ax^2+c$类二次函数无一次项，对称轴为y轴，即直线$x=0$；
3. 当$x=0$时，$y=-6×0^2+5=5$，因此顶点坐标为$(0,5)$；
4. 因为抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，所以函数有最大值，最大值为顶点纵坐标$5$。
【答案】
下；y轴(或直线x=0)；(0,5)；高；大；5
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握二次项系数$a$对开口方向的影响、$y=ax^2+c$类函数的对称轴和顶点规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
这道题考查二次函数$y=ax^2+c$的基本性质，解题可按以下思路推导：首先从解析式中确定二次项系数$a$和常数项$c$的取值；第一步根据$a$的正负判断抛物线的开口方向；第二步结合$y=ax^2+c$无一次项的结构特点，确定对称轴和顶点坐标；第三步根据开口方向判断顶点是最高点还是最低点，对应得到函数的最值类型和最值。
【解析】
对于抛物线$y=-6x^2 +5$，属于$y=ax^2+c$（$a≠0$）的形式，推导如下：
1. 二次项系数$a=-6＜0$，因此抛物线开口向下；
2. $y=ax^2+c$类二次函数无一次项，对称轴为y轴，即直线$x=0$；
3. 当$x=0$时，$y=-6×0^2+5=5$，因此顶点坐标为$(0,5)$；
4. 因为抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，所以函数有最大值，最大值为顶点纵坐标$5$。
【答案】
下；y轴(或直线x=0)；(0,5)；高；大；5
【知识点】
二次函数$y=ax^2+c$的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握二次项系数$a$对开口方向的影响、$y=ax^2+c$类函数的对称轴和顶点规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85
4. 将抛物线 $ y = 2x^2 $ 向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是
$y=2x^2 +1$
。答案
4. $y=2x^2 +1$
解析
【分析】
解决这道题需要用到二次函数图象的平移规律，可按照“上加下减常数项，左加右减自变量”的规则思考：首先明确本题是向上的纵向平移，纵向平移仅需对原函数表达式的常数项做加减操作，向上平移n个单位就加n，向下平移n个单位就减n。原抛物线$y=2x^2$的常数项为0，向上平移1个单位，直接给常数项加1即可得到新的抛物线表达式。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的规律：向上平移m个单位长度，就在原函数表达式末尾加上m。
已知原抛物线表达式为$y=2x^2$，向上平移1个单位长度，因此平移后得到的抛物线表达式为：
$y=2x^2 + 1$
【答案】
$y=2x^2 +1$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的平移规则，熟练记忆“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速解题，是二次函数章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要用到二次函数图象的平移规律，可按照“上加下减常数项，左加右减自变量”的规则思考：首先明确本题是向上的纵向平移，纵向平移仅需对原函数表达式的常数项做加减操作，向上平移n个单位就加n，向下平移n个单位就减n。原抛物线$y=2x^2$的常数项为0，向上平移1个单位，直接给常数项加1即可得到新的抛物线表达式。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的规律：向上平移m个单位长度，就在原函数表达式末尾加上m。
已知原抛物线表达式为$y=2x^2$，向上平移1个单位长度，因此平移后得到的抛物线表达式为：
$y=2x^2 + 1$
【答案】
$y=2x^2 +1$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数的平移规则，熟练记忆“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速解题，是二次函数章节的常规考点。
【难度系数】
0.9
5. 如图，抛物线$y=ax^2 -4$和$y=-ax^2 +4$都经过x轴上的A,B两点，两条抛物线的顶点分别为C,D，当四边形ACBD的面积为40时，a的值为
$\dfrac{4}{25}$
。答案
5. $\dfrac{4}{25}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先确定两个抛物线的顶点坐标：对于$y=ax^2+c$型的二次函数，顶点在y轴上，直接得到$C(0,-4)$、$D(0,4)$，算出对角线$CD$的长度；2. 求抛物线与x轴交点$A$、$B$的坐标：令$y=0$，解方程得到$A$、$B$的横坐标，算出另一条对角线$AB$的长度；3. 观察到$AB$在x轴、$CD$在y轴，两条对角线互相垂直，因此四边形$ACBD$的面积等于对角线乘积的一半，代入面积值列方程求解$a$即可。
【解析】
解：① 求顶点$C$、$D$坐标及$CD$长度：
抛物线$y=ax^2 -4$的顶点为$C(0,-4)$，抛物线$y=-ax^2 +4$的顶点为$D(0,4)$，
因此$CD=4 - (-4)=8$。
② 求$A$、$B$点坐标及$AB$长度：
令$y=0$，代入$y=ax^2 -4$得：$ax^2 -4=0$，解得$x^2=\frac{4}{a}$，即$x=\pm \frac{2}{\sqrt{a}}$，
因此$A$点坐标为$(-\frac{2}{\sqrt{a}},0)$，$B$点坐标为$(\frac{2}{\sqrt{a}},0)$，
$AB=\frac{2}{\sqrt{a}} - (-\frac{2}{\sqrt{a}})=\frac{4}{\sqrt{a}}$。
③ 利用面积公式列方程求解$a$：
∵$AB$在x轴上，$CD$在y轴上，
∴$AB⊥ CD$，
对角线垂直的四边形面积$S=\frac{1}{2} × AB × CD$，
已知$S=40$，代入得：
$\frac{1}{2} × \frac{4}{\sqrt{a}} × 8 =40$
化简得：$\frac{16}{\sqrt{a}}=40$
解得：$\sqrt{a}=\frac{16}{40}=\frac{2}{5}$，两边平方得$a=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
【答案】
$\dfrac{4}{25}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+c$的性质
2. 二次函数与坐标轴交点求法
3. 对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题的核心是抓住$y=ax^2+c$型抛物线的图象对称性，结合对角线垂直的四边形面积公式简化计算，是考查二次函数图象性质的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先确定两个抛物线的顶点坐标：对于$y=ax^2+c$型的二次函数，顶点在y轴上，直接得到$C(0,-4)$、$D(0,4)$，算出对角线$CD$的长度；2. 求抛物线与x轴交点$A$、$B$的坐标：令$y=0$，解方程得到$A$、$B$的横坐标，算出另一条对角线$AB$的长度；3. 观察到$AB$在x轴、$CD$在y轴，两条对角线互相垂直，因此四边形$ACBD$的面积等于对角线乘积的一半，代入面积值列方程求解$a$即可。
【解析】
解：① 求顶点$C$、$D$坐标及$CD$长度：
抛物线$y=ax^2 -4$的顶点为$C(0,-4)$，抛物线$y=-ax^2 +4$的顶点为$D(0,4)$，
因此$CD=4 - (-4)=8$。
② 求$A$、$B$点坐标及$AB$长度：
令$y=0$，代入$y=ax^2 -4$得：$ax^2 -4=0$，解得$x^2=\frac{4}{a}$，即$x=\pm \frac{2}{\sqrt{a}}$，
因此$A$点坐标为$(-\frac{2}{\sqrt{a}},0)$，$B$点坐标为$(\frac{2}{\sqrt{a}},0)$，
$AB=\frac{2}{\sqrt{a}} - (-\frac{2}{\sqrt{a}})=\frac{4}{\sqrt{a}}$。
③ 利用面积公式列方程求解$a$：
∵$AB$在x轴上，$CD$在y轴上，
∴$AB⊥ CD$，
对角线垂直的四边形面积$S=\frac{1}{2} × AB × CD$，
已知$S=40$，代入得：
$\frac{1}{2} × \frac{4}{\sqrt{a}} × 8 =40$
化简得：$\frac{16}{\sqrt{a}}=40$
解得：$\sqrt{a}=\frac{16}{40}=\frac{2}{5}$，两边平方得$a=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
【答案】
$\dfrac{4}{25}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+c$的性质
2. 二次函数与坐标轴交点求法
3. 对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题的核心是抓住$y=ax^2+c$型抛物线的图象对称性，结合对角线垂直的四边形面积公式简化计算，是考查二次函数图象性质的典型题型。
【难度系数】
0.7
