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2. 已知抛物线 $ y = x^2 + (m - 4)x - 4m $，若顶点在 $ y $ 轴上，则 $ m = $
4
；若顶点在 $ x $ 轴上，则 $ m = $ -4
。答案
2. 4 -4
解析
【分析】
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。解题时结合坐标轴上点的特征列方程：①顶点在$y$轴上时，顶点横坐标为0，即$-\frac{b}{2a}=0$，代入系数即可求$m$；②顶点在$x$轴上时，顶点纵坐标为0，即判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，代入系数求解即可。
【解析】
由抛物线解析式$y = x^2 + (m - 4)x - 4m$，得$a=1$，$b=m-4$，$c=-4m$。
1. 若顶点在$y$轴上：
$y$轴上点的横坐标为0，因此顶点横坐标$-\frac{b}{2a}=0$，
代入$a=1$得$-b=0$，即$m-4=0$，解得$m=4$。
2. 若顶点在$x$轴上：
$x$轴上点的纵坐标为0，因此抛物线与$x$轴只有1个交点，判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，
代入得：$(m-4)^2 - 4×1×(-4m)=0$，
展开整理：$m^2-8m+16+16m=0$，即$m^2+8m+16=0$，
因式分解得$(m+4)^2=0$，解得$m=-4$。
【答案】
$4$；$-4$
【知识点】
二次函数顶点性质，坐标轴点的特征，判别式应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心是将顶点在坐标轴上的条件转化为顶点坐标的等量关系，通过列方程求解参数，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。解题时结合坐标轴上点的特征列方程：①顶点在$y$轴上时，顶点横坐标为0，即$-\frac{b}{2a}=0$，代入系数即可求$m$；②顶点在$x$轴上时，顶点纵坐标为0，即判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，代入系数求解即可。
【解析】
由抛物线解析式$y = x^2 + (m - 4)x - 4m$，得$a=1$，$b=m-4$，$c=-4m$。
1. 若顶点在$y$轴上：
$y$轴上点的横坐标为0，因此顶点横坐标$-\frac{b}{2a}=0$，
代入$a=1$得$-b=0$，即$m-4=0$，解得$m=4$。
2. 若顶点在$x$轴上：
$x$轴上点的纵坐标为0，因此抛物线与$x$轴只有1个交点，判别式$\Delta=b^2-4ac=0$，
代入得：$(m-4)^2 - 4×1×(-4m)=0$，
展开整理：$m^2-8m+16+16m=0$，即$m^2+8m+16=0$，
因式分解得$(m+4)^2=0$，解得$m=-4$。
【答案】
$4$；$-4$
【知识点】
二次函数顶点性质，坐标轴点的特征，判别式应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，核心是将顶点在坐标轴上的条件转化为顶点坐标的等量关系，通过列方程求解参数，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图,抛物线$C_1:y_1=-x^2+2$向右平移1个单位长度得到抛物线$C_2$,回答下列问题:
(1)抛物线$C_2$的表达式为
(2)阴影部分的面积$S=$
(3)若再将抛物线$C_2$绕原点$O$旋转$180°$得到抛物线$C_3$,则抛物线$C_3$的表达式为
(1)抛物线$C_2$的表达式为
$y_2 = -(x-1)^2 + 2$
;顶点坐标为$(1,2)$
。(2)阴影部分的面积$S=$
$2$
。(3)若再将抛物线$C_2$绕原点$O$旋转$180°$得到抛物线$C_3$,则抛物线$C_3$的表达式为
$y_3 = (x+1)^2 - 2$
;开口向上
,顶点坐标为$(-1,-2)$
。答案
3. (1) $y_2 = -(x-1)^2 + 2$ $(1,2)$ (2) 2 (3) $y_3 = (x+1)^2 - 2$ 向上 $(-1,-2)$
解析
【分析】
本题围绕二次函数图象的平移、旋转变换及不规则图形面积计算展开。解题思路如下：1. 解决平移问题：牢记二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，平移后顶点坐标也对应平移，即可求出$C_2$的表达式和顶点坐标；2. 求阴影面积：利用平移前后图形全等的性质，用割补法将不规则阴影转化为规则的平行四边形计算面积；3. 解决旋转问题：绕原点旋转180°后对应点关于原点对称，将坐标代入$C_2$表达式整理可得$C_3$的表达式，再根据二次项系数判断开口方向，顶点也对应关于原点对称即可得到结果。
【解析】
(1) 根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，抛物线$C_1:y_1=-x^2+2$向右平移1个单位，将自变量$x$替换为$x-1$，可得$C_2$的表达式为$y_2=-(x-1)^2+2$；
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此$C_2$的顶点坐标为$(1,2)$。
(2) 由于平移前后抛物线的形状、大小完全相同，通过割补法可将阴影部分转化为底为1、高为2的平行四边形，因此阴影部分面积$S=1×2=2$。
(3) 抛物线绕原点旋转180°后，图象上任意一点$(x,y)$对应旋转前的点为$(-x,-y)$，将$x$替换为$-x$、$y$替换为$-y$代入$C_2$的表达式：
$-y=-(-x-1)^2+2$，整理得$y=(x+1)^2-2$，即$C_3$的表达式为$y_3=(x+1)^2-2$；
该表达式二次项系数为$1＞0$，因此开口向上；顶点式对应的顶点坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1) $y_2 = -(x-1)^2 + 2$；$(1,2)$
(2) $2$
(3) $y_3 = (x+1)^2 - 2$；向上；$(-1,-2)$
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数图象的旋转；割补法求面积
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题，重点考查平移、旋转的坐标变换规律，以及利用图形变换的性质简化不规则图形面积计算的方法，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数图象的平移、旋转变换及不规则图形面积计算展开。解题思路如下：1. 解决平移问题：牢记二次函数平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，平移后顶点坐标也对应平移，即可求出$C_2$的表达式和顶点坐标；2. 求阴影面积：利用平移前后图形全等的性质，用割补法将不规则阴影转化为规则的平行四边形计算面积；3. 解决旋转问题：绕原点旋转180°后对应点关于原点对称，将坐标代入$C_2$表达式整理可得$C_3$的表达式，再根据二次项系数判断开口方向，顶点也对应关于原点对称即可得到结果。
【解析】
(1) 根据二次函数图象平移“左加右减”的规律，抛物线$C_1:y_1=-x^2+2$向右平移1个单位，将自变量$x$替换为$x-1$，可得$C_2$的表达式为$y_2=-(x-1)^2+2$；
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此$C_2$的顶点坐标为$(1,2)$。
(2) 由于平移前后抛物线的形状、大小完全相同，通过割补法可将阴影部分转化为底为1、高为2的平行四边形，因此阴影部分面积$S=1×2=2$。
(3) 抛物线绕原点旋转180°后，图象上任意一点$(x,y)$对应旋转前的点为$(-x,-y)$，将$x$替换为$-x$、$y$替换为$-y$代入$C_2$的表达式：
$-y=-(-x-1)^2+2$，整理得$y=(x+1)^2-2$，即$C_3$的表达式为$y_3=(x+1)^2-2$；
该表达式二次项系数为$1＞0$，因此开口向上；顶点式对应的顶点坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
(1) $y_2 = -(x-1)^2 + 2$；$(1,2)$
(2) $2$
(3) $y_3 = (x+1)^2 - 2$；向上；$(-1,-2)$
【知识点】
二次函数图象的平移；二次函数图象的旋转；割补法求面积
【点评】
本题属于二次函数图象变换的基础题，重点考查平移、旋转的坐标变换规律，以及利用图形变换的性质简化不规则图形面积计算的方法，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图,已知二次函数$y=a(x-h)^2+\sqrt{3}$的图象经过原点$O(0,0),A(2,0)$。
(1)写出该函数的图象的对称轴；
(2)若将线段$OA$绕点$O$按逆时针方向旋转$60°$到$OA'$,试判断点$A'$是不是该函数的图象的顶点。
(1)写出该函数的图象的对称轴；
(2)若将线段$OA$绕点$O$按逆时针方向旋转$60°$到$OA'$,试判断点$A'$是不是该函数的图象的顶点。
答案
(1) 直线$x=1$ (2) 点$A'$是该函数的图象的顶点
解析
【分析】
(1) 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值对应的竖直直线，据此可直接计算对称轴；
(2) 先根据旋转的性质求出点A'的坐标，再结合二次函数顶点式的特征求出函数顶点坐标，对比两个坐标即可判断点A'是否为顶点。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=a(x-h)^2+\sqrt{3}$的图象经过$O(0,0)$、$A(2,0)$，两点均为函数与x轴的交点，
∴该函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
(2) ①求点$A'$的坐标：
过点$A'$作$A'B⊥ x$轴于点$B$，由旋转的性质可得：$OA'=OA=2$，$∠ A'OA=60°$。
在$Rt△ A'OB$中，$∠ OA'B=90° - 60°=30°$，
∴$OB=\frac{1}{2}OA'=\frac{1}{2}×2=1$，
由勾股定理得$A'B=\sqrt{OA'^2 - OB^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴点$A'$的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
②求二次函数的顶点坐标：
二次函数的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+\sqrt{3}$，其顶点坐标为$(h,\sqrt{3})$，
由(1)可知对称轴为直线$x=1$，即$h=1$，
∴该函数图象的顶点坐标为$(1,\sqrt{3})$，与点$A'$坐标一致。
因此点$A'$是该函数的图象的顶点。
【答案】
(1) 直线$x=1$
(2) 点$A'$是该函数的图象的顶点
【知识点】
二次函数的对称性；旋转的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数与几何变换的综合基础题，解题的关键是掌握二次函数对称轴的求法、旋转的性质以及二次函数顶点式的特征，计算量较小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值对应的竖直直线，据此可直接计算对称轴；
(2) 先根据旋转的性质求出点A'的坐标，再结合二次函数顶点式的特征求出函数顶点坐标，对比两个坐标即可判断点A'是否为顶点。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=a(x-h)^2+\sqrt{3}$的图象经过$O(0,0)$、$A(2,0)$，两点均为函数与x轴的交点，
∴该函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。
(2) ①求点$A'$的坐标：
过点$A'$作$A'B⊥ x$轴于点$B$，由旋转的性质可得：$OA'=OA=2$，$∠ A'OA=60°$。
在$Rt△ A'OB$中，$∠ OA'B=90° - 60°=30°$，
∴$OB=\frac{1}{2}OA'=\frac{1}{2}×2=1$，
由勾股定理得$A'B=\sqrt{OA'^2 - OB^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
∴点$A'$的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
②求二次函数的顶点坐标：
二次函数的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+\sqrt{3}$，其顶点坐标为$(h,\sqrt{3})$，
由(1)可知对称轴为直线$x=1$，即$h=1$，
∴该函数图象的顶点坐标为$(1,\sqrt{3})$，与点$A'$坐标一致。
因此点$A'$是该函数的图象的顶点。
【答案】
(1) 直线$x=1$
(2) 点$A'$是该函数的图象的顶点
【知识点】
二次函数的对称性；旋转的性质；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数与几何变换的综合基础题，解题的关键是掌握二次函数对称轴的求法、旋转的性质以及二次函数顶点式的特征，计算量较小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知抛物线$y=-x^2+mx+3$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)。
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标。
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标。
答案
(1) 把点B的坐标(3,0)代入$y = -x^2 + mx + 3$得0 = $-3^2 +3m +3$,解得 $m = 2$,$\therefore y = -x^2 +2x +3 = -(x-1)^2 +4$,$\therefore$ 顶点坐标为$(1,4)$
(2) 如图,连接$BC$,交抛物线的对称轴$l$于点$P$,则此时 $PA + PC$ 的值最小。设直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y = kx + b$。$\because$ 点 $C(0,3)$,点 $B(3,0)$ 在直线 $BC$ 上,
$\therefore \begin{cases}0 = 3k + b,\\3 = b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = -1,\\b = 3。\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $BC$ 对应的函数表达式为$y = -x + 3$,当 $x = 1$时,$y = -1 + 3 = 2$,$\therefore$ 当$PA + PC$的值最小时,点 $P$ 的坐标为$(1,2)$
解析
【分析】
(1) 已知点B在抛物线上，其坐标满足抛物线解析式，因此将B(3,0)代入$y=-x^2+mx+3$即可求出m的值；得到完整的抛物线解析式后，通过配方法将一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 本题属于“将军饮马”型最短路径问题：点A与点B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称性质，对称轴上任意点P都满足$PA=PB$，因此$PA+PC$可转化为$PB+PC$。根据“两点之间线段最短”，当B、P、C三点共线时，$PB+PC$的值最小，即$PA+PC$最小。因此只需求出直线BC的解析式，再将对称轴的x值代入解析式，即可得到交点P的坐标。
【解析】
(1) 将点$B(3,0)$代入抛物线解析式$y=-x^2+mx+3$，得：
$0=-3^2+3m+3$
解得$m=2$
因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$，配方得：
$y=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 抛物线的对称轴为直线$x=1$，点A与点B关于直线$x=1$对称，因此对称轴上任意点P都满足$PA=PB$，则$PA+PC=PB+PC$。
根据两点之间线段最短，当点P为直线BC与对称轴$x=1$的交点时，$PB+PC$最小，即$PA+PC$最小。
当$x=0$时，$y=3$，因此点C坐标为$(0,3)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases} 3k+b=0 \\ b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=3 \end{cases}$
因此直线BC的解析式为$y=-x+3$。
将$x=1$代入直线解析式，得$y=-1+3=2$，因此点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $m=2$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) 点P的坐标为$(1,2)$
【知识点】
二次函数的图像与性质，轴对称最短路径，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础综合题，第一问侧重二次函数基础运算，难度较低；第二问结合轴对称性质转化线段和的最值问题，是常考的基础题型，需要熟练掌握待定系数法和“将军饮马”模型的解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点B在抛物线上，其坐标满足抛物线解析式，因此将B(3,0)代入$y=-x^2+mx+3$即可求出m的值；得到完整的抛物线解析式后，通过配方法将一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 本题属于“将军饮马”型最短路径问题：点A与点B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称性质，对称轴上任意点P都满足$PA=PB$，因此$PA+PC$可转化为$PB+PC$。根据“两点之间线段最短”，当B、P、C三点共线时，$PB+PC$的值最小，即$PA+PC$最小。因此只需求出直线BC的解析式，再将对称轴的x值代入解析式，即可得到交点P的坐标。
【解析】
(1) 将点$B(3,0)$代入抛物线解析式$y=-x^2+mx+3$，得：
$0=-3^2+3m+3$
解得$m=2$
因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$，配方得：
$y=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
所以抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 抛物线的对称轴为直线$x=1$，点A与点B关于直线$x=1$对称，因此对称轴上任意点P都满足$PA=PB$，则$PA+PC=PB+PC$。
根据两点之间线段最短，当点P为直线BC与对称轴$x=1$的交点时，$PB+PC$最小，即$PA+PC$最小。
当$x=0$时，$y=3$，因此点C坐标为$(0,3)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases} 3k+b=0 \\ b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=3 \end{cases}$
因此直线BC的解析式为$y=-x+3$。
将$x=1$代入直线解析式，得$y=-1+3=2$，因此点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $m=2$，顶点坐标为$(1,4)$；
(2) 点P的坐标为$(1,2)$
【知识点】
二次函数的图像与性质，轴对称最短路径，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数与几何结合的基础综合题，第一问侧重二次函数基础运算，难度较低；第二问结合轴对称性质转化线段和的最值问题，是常考的基础题型，需要熟练掌握待定系数法和“将军饮马”模型的解题思路。
【难度系数】
0.7
