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6. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分。一名运动员起跳后,他的飞行路线如图所示,当他的水平距离为15 m时,达到飞行的最高点C处,此时的竖直高度为45 m,他落地时的水平距离(即OA的长)为60 m,求这名运动员起跳时的竖直高度(即OB的长)。
答案
设抛物线的表达式为$y = a(x - h)^2 + k$,根据题意,得抛物线的顶点坐标为$(15,45)$,$\therefore y = a(x - 15)^2 + 45$。
∵ 这个抛物线与x轴交于点$A(60,0)$,$\therefore 0 = a(60 - 15)^2 + 45$,解得$a = -\frac{1}{45}$。
∴ 抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{45}(x - 15)^2 + 45$。令$x = 0$,得$y = -\frac{1}{45}(0 - 15)^2 + 45 = 40$。
∴ 点B的坐标为$(0,40)$。因此,这名运动员起跳时的竖直高度为40 m
∵ 这个抛物线与x轴交于点$A(60,0)$,$\therefore 0 = a(60 - 15)^2 + 45$,解得$a = -\frac{1}{45}$。
∴ 抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{45}(x - 15)^2 + 45$。令$x = 0$,得$y = -\frac{1}{45}(0 - 15)^2 + 45 = 40$。
∴ 点B的坐标为$(0,40)$。因此,这名运动员起跳时的竖直高度为40 m
解析
【分析】
这是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先运动员的飞行路线是抛物线，已知抛物线的顶点C的坐标为$(15,45)$，优先选择顶点式设抛物线的解析式，计算更简便；其次已知抛物线过落地点$A(60,0)$，将该点代入所设解析式即可求出参数$a$，得到完整的抛物线表达式；最后起跳点B在y轴上，横坐标为0，将$x=0$代入解析式求出对应的y值，就是OB的长度，即起跳时的竖直高度。
【解析】
设抛物线的表达式为顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，
由题意可知抛物线的顶点C坐标为$(15,45)$，因此$h=15$，$k=45$，代入得$y = a(x - 15)^2 + 45$。
已知抛物线与x轴交于点$A(60,0)$，将$x=60$，$y=0$代入上式：
$0 = a(60 - 15)^2 + 45$
$0 = 2025a + 45$
解得$a = -\frac{1}{45}$。
因此抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{45}(x - 15)^2 + 45$。
要求起跳时的竖直高度OB，即求$x=0$时的y值，将$x=0$代入解析式：
$y = -\frac{1}{45}×(0 - 15)^2 + 45 = -\frac{1}{45}×225 + 45 = -5 + 45 = 40$
即点B坐标为$(0,40)$，OB的长度为40m。
【答案】
40 m
【知识点】
二次函数的应用；二次函数顶点式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题以跳台滑雪的实际场景为载体考查二次函数相关知识，解题关键是结合已知条件选择合适的形式设二次函数解析式，再通过代入点坐标求解参数，进而得到所求量，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.75
这是二次函数在实际场景中的应用问题，解题思路如下：首先运动员的飞行路线是抛物线，已知抛物线的顶点C的坐标为$(15,45)$，优先选择顶点式设抛物线的解析式，计算更简便；其次已知抛物线过落地点$A(60,0)$，将该点代入所设解析式即可求出参数$a$，得到完整的抛物线表达式；最后起跳点B在y轴上，横坐标为0，将$x=0$代入解析式求出对应的y值，就是OB的长度，即起跳时的竖直高度。
【解析】
设抛物线的表达式为顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，
由题意可知抛物线的顶点C坐标为$(15,45)$，因此$h=15$，$k=45$，代入得$y = a(x - 15)^2 + 45$。
已知抛物线与x轴交于点$A(60,0)$，将$x=60$，$y=0$代入上式：
$0 = a(60 - 15)^2 + 45$
$0 = 2025a + 45$
解得$a = -\frac{1}{45}$。
因此抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{45}(x - 15)^2 + 45$。
要求起跳时的竖直高度OB，即求$x=0$时的y值，将$x=0$代入解析式：
$y = -\frac{1}{45}×(0 - 15)^2 + 45 = -\frac{1}{45}×225 + 45 = -5 + 45 = 40$
即点B坐标为$(0,40)$，OB的长度为40m。
【答案】
40 m
【知识点】
二次函数的应用；二次函数顶点式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题以跳台滑雪的实际场景为载体考查二次函数相关知识，解题关键是结合已知条件选择合适的形式设二次函数解析式，再通过代入点坐标求解参数，进而得到所求量，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.75
1. 把抛物线$y=x^2+bx+c$向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为$y=x^2-3x+5$，则(
A.$b=3,c=7$
B.$b=6,c=3$
C.$b=-9,c=-5$
D.$b=-9,c=21$
A
)。A.$b=3,c=7$
B.$b=6,c=3$
C.$b=-9,c=-5$
D.$b=-9,c=21$
答案
1. A
解析
【分析】
本题可通过平移的逆运算求解原抛物线的系数，核心是掌握二次函数图象平移的规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。已知原抛物线经右移3个单位、下移2个单位得到新抛物线，我们可以反向操作：将新抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，即可还原得到原抛物线，再整理为一般式对比系数就能求出b、c的值。
【解析】
步骤1：反向平移第一步，将抛物线$y=x^2-3x+5$向上平移2个单位，根据“上加下减常数项”的规律，平移后解析式为：
$y=x^2-3x+5+2=x^2-3x+7$
步骤2：反向平移第二步，将上述抛物线向左平移3个单位，根据“左加右减自变量”的规律，把$x$替换为$x+3$，代入得：
$y=(x+3)^2-3(x+3)+7$
步骤3：展开化简得到原抛物线一般式：
$y=x^2+6x+9-3x-9+7=x^2+3x+7$
步骤4：对比原抛物线表达式$y=x^2+bx+c$，可得$b=3$，$c=7$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律，待定系数法求解析式，整式化简
【点评】
本题是二次函数平移的典型基础题，易错点是平移时忽略“左加右减”是针对自变量$x$本身，替换时需要给$x$加括号，只要熟练掌握平移规律，注意运算细节就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
本题可通过平移的逆运算求解原抛物线的系数，核心是掌握二次函数图象平移的规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。已知原抛物线经右移3个单位、下移2个单位得到新抛物线，我们可以反向操作：将新抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，即可还原得到原抛物线，再整理为一般式对比系数就能求出b、c的值。
【解析】
步骤1：反向平移第一步，将抛物线$y=x^2-3x+5$向上平移2个单位，根据“上加下减常数项”的规律，平移后解析式为：
$y=x^2-3x+5+2=x^2-3x+7$
步骤2：反向平移第二步，将上述抛物线向左平移3个单位，根据“左加右减自变量”的规律，把$x$替换为$x+3$，代入得：
$y=(x+3)^2-3(x+3)+7$
步骤3：展开化简得到原抛物线一般式：
$y=x^2+6x+9-3x-9+7=x^2+3x+7$
步骤4：对比原抛物线表达式$y=x^2+bx+c$，可得$b=3$，$c=7$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律，待定系数法求解析式，整式化简
【点评】
本题是二次函数平移的典型基础题，易错点是平移时忽略“左加右减”是针对自变量$x$本身，替换时需要给$x$加括号，只要熟练掌握平移规律，注意运算细节就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
2. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$(4,3),(3,0)$，求此二次函数的表达式，并求出当$0≤x≤3$时，$y$的最大值。
答案
$y = x^2 - 4x + 3$ 当$x = 0$时，$y_{最大}=3$
解析
【分析】
本题分为两步求解：第一步求二次函数表达式，已知二次函数的一般式和图象上两个点的坐标，可采用待定系数法，将两点坐标代入一般式，得到关于系数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，确定函数表达式；第二步求指定区间内的最大值，先根据二次函数的系数判断开口方向，计算出对称轴，再结合自变量$0≤x≤3$的取值范围，根据二次函数的增减性，比较区间端点和顶点处的函数值，即可得到最大值。
【解析】
1. 求二次函数表达式：
将点$(4,3)$、$(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}16 + 4b + c = 3 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$c$，得：
$7 + b = 3$，解得$b=-4$
将$b=-4$代入$9 + 3b + c = 0$，得：
$9 + 3×(-4) + c = 0$，解得$c=3$
因此二次函数的表达式为$y=x^2 - 4x + 3$。
2. 求$0≤x≤3$时$y$的最大值：
对于二次函数$y=x^2 -4x +3$，其中$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2×1}=2$。
根据二次函数的性质：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。
分别计算区间端点和顶点处的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2 -4×0 +3=3$
当$x=2$时，$y=2^2 -4×2 +3=-1$
当$x=3$时，$y=3^2 -4×3 +3=0$
比较三个值可得最大值为3，在$x=0$处取得。
【答案】
$y = x^2 - 4x + 3$ 当$x = 0$时，$y_{最大}=3$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时要注意求解区间最值时，不能直接将顶点作为最值点，需结合抛物线的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围综合分析判断。
【难度系数】
0.7
本题分为两步求解：第一步求二次函数表达式，已知二次函数的一般式和图象上两个点的坐标，可采用待定系数法，将两点坐标代入一般式，得到关于系数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，确定函数表达式；第二步求指定区间内的最大值，先根据二次函数的系数判断开口方向，计算出对称轴，再结合自变量$0≤x≤3$的取值范围，根据二次函数的增减性，比较区间端点和顶点处的函数值，即可得到最大值。
【解析】
1. 求二次函数表达式：
将点$(4,3)$、$(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}16 + 4b + c = 3 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$c$，得：
$7 + b = 3$，解得$b=-4$
将$b=-4$代入$9 + 3b + c = 0$，得：
$9 + 3×(-4) + c = 0$，解得$c=3$
因此二次函数的表达式为$y=x^2 - 4x + 3$。
2. 求$0≤x≤3$时$y$的最大值：
对于二次函数$y=x^2 -4x +3$，其中$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2×1}=2$。
根据二次函数的性质：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大。
分别计算区间端点和顶点处的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2 -4×0 +3=3$
当$x=2$时，$y=2^2 -4×2 +3=-1$
当$x=3$时，$y=3^2 -4×3 +3=0$
比较三个值可得最大值为3，在$x=0$处取得。
【答案】
$y = x^2 - 4x + 3$ 当$x = 0$时，$y_{最大}=3$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，同时要注意求解区间最值时，不能直接将顶点作为最值点，需结合抛物线的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围综合分析判断。
【难度系数】
0.7
3. 已知抛物线$y = -\dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$经过点$(1,0),(0,\dfrac{3}{2})$。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线$y = -\dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后所得抛物线的表达式。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线$y = -\dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后所得抛物线的表达式。
答案
(1) 把点$(1,0),(0,\dfrac{3}{2})$的坐标代入该抛物线的表达式，得$\begin{cases} -\dfrac{1}{2} + b + c = 0, \\ c = \dfrac{3}{2}, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} b = -1, \\ c = \dfrac{3}{2}, \end{cases}$ 则抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$
(2) 抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2$（平移方式不唯一）
(2) 抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2$（平移方式不唯一）
解析
【分析】
(1) 抛物线表达式中含有两个未知系数b、c，且已知抛物线上两个点的坐标，将两点坐标分别代入表达式即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，就能确定抛物线的表达式。
(2) 要将抛物线平移至顶点落在原点，首先需要用配方法把原抛物线的一般式转化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标，再根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律，确定平移方法，进而得到平移后的抛物线表达式。
【解析】
(1) 把点$(1,0)$、$(0,\dfrac{3}{2})$的坐标代入抛物线表达式$y = -\dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$，可得：
$\begin{cases} -\dfrac{1}{2} + b + c = 0 \\ c = \dfrac{3}{2} \end{cases}$
将$c=\dfrac{3}{2}$代入第一个方程，解得$b=-1$，因此抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$。
(2) 对原抛物线表达式配方，转化为顶点式：
$\begin{aligned}y &= -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2} \\&= -\dfrac{1}{2}(x^2 + 2x) + \dfrac{3}{2} \\&= -\dfrac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + \dfrac{3}{2} \\&= -\dfrac{1}{2}(x+1)^2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \\&= -\dfrac{1}{2}(x+1)^2 + 2\end{aligned}$
可得原抛物线顶点坐标为$(-1,2)$，要使顶点平移到原点$(0,0)$，可将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度（平移方式不唯一），平移后抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2$。
【答案】
(1) $y = -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$
(2) 示例：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2$（平移方式不唯一）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；二次函数的顶点式
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础应用，第一问是待定系数法的常规考查，第二问需要掌握配方法求顶点式和平移规律，整体偏基础，有助于夯实二次函数的核心基础知识。
【难度系数】
0.8
(1) 抛物线表达式中含有两个未知系数b、c，且已知抛物线上两个点的坐标，将两点坐标分别代入表达式即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，就能确定抛物线的表达式。
(2) 要将抛物线平移至顶点落在原点，首先需要用配方法把原抛物线的一般式转化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标，再根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律，确定平移方法，进而得到平移后的抛物线表达式。
【解析】
(1) 把点$(1,0)$、$(0,\dfrac{3}{2})$的坐标代入抛物线表达式$y = -\dfrac{1}{2}x^2 + bx + c$，可得：
$\begin{cases} -\dfrac{1}{2} + b + c = 0 \\ c = \dfrac{3}{2} \end{cases}$
将$c=\dfrac{3}{2}$代入第一个方程，解得$b=-1$，因此抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$。
(2) 对原抛物线表达式配方，转化为顶点式：
$\begin{aligned}y &= -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2} \\&= -\dfrac{1}{2}(x^2 + 2x) + \dfrac{3}{2} \\&= -\dfrac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + \dfrac{3}{2} \\&= -\dfrac{1}{2}(x+1)^2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \\&= -\dfrac{1}{2}(x+1)^2 + 2\end{aligned}$
可得原抛物线顶点坐标为$(-1,2)$，要使顶点平移到原点$(0,0)$，可将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度（平移方式不唯一），平移后抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2$。
【答案】
(1) $y = -\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2}$
(2) 示例：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得抛物线的表达式为$y = -\dfrac{1}{2}x^2$（平移方式不唯一）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；二次函数的顶点式
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础应用，第一问是待定系数法的常规考查，第二问需要掌握配方法求顶点式和平移规律，整体偏基础，有助于夯实二次函数的核心基础知识。
【难度系数】
0.8
