登录
4. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$,函数值$y$与自变量$x$的部分对应值如下表:
(1)求该二次函数的表达式。
(2)当$x$为何值时,$y$有最小值? 最小值是多少?
(3)若$A(m,y_1),B(m+1,y_2)$两点都在该函数的图象上,试比较$y_1$与$y_2$的大小。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)当$x$为何值时,$y$有最小值? 最小值是多少?
(3)若$A(m,y_1),B(m+1,y_2)$两点都在该函数的图象上,试比较$y_1$与$y_2$的大小。
答案
(1) 该二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 5$
(2) 因为$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$，所以当$x = 2$时，$y$有最小值，最小值是1
(3) 因为$A(m,y_1),B(m+1,y_2)$两点都在函数$y = x^2 - 4x + 5$的图象上，所以$y_1 = m^2 - 4m + 5$，$y_2 = (m+1)^2 - 4(m+1) + 5 = m^2 - 2m + 2$。所以$y_2 - y_1 = (m^2 - 2m + 2) - (m^2 - 4m + 5) = 2m - 3$，所以当$2m - 3 ＜ 0$，即$m ＜ \dfrac{3}{2}$时，$y_1 ＞ y_2$；当$2m - 3 = 0$，即$m = \dfrac{3}{2}$时，$y_1 = y_2$；当$2m - 3 ＞ 0$，即$m ＞ \dfrac{3}{2}$时，$y_1 ＜ y_2$
(2) 因为$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$，所以当$x = 2$时，$y$有最小值，最小值是1
(3) 因为$A(m,y_1),B(m+1,y_2)$两点都在函数$y = x^2 - 4x + 5$的图象上，所以$y_1 = m^2 - 4m + 5$，$y_2 = (m+1)^2 - 4(m+1) + 5 = m^2 - 2m + 2$。所以$y_2 - y_1 = (m^2 - 2m + 2) - (m^2 - 4m + 5) = 2m - 3$，所以当$2m - 3 ＜ 0$，即$m ＜ \dfrac{3}{2}$时，$y_1 ＞ y_2$；当$2m - 3 = 0$，即$m = \dfrac{3}{2}$时，$y_1 = y_2$；当$2m - 3 ＞ 0$，即$m ＞ \dfrac{3}{2}$时，$y_1 ＜ y_2$
解析
【分析】
(1) 已知二次函数解析式为$y=x^2+bx+c$，仅含有b、c两个未知系数，因此可以选取表格中两组x、y的对应值代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到函数表达式。
(2) 该二次函数$a=1＞0$，开口向上，顶点处函数值最小，将第一问求得的解析式配方为顶点式，即可直接得到顶点坐标，确定y取最小值时x的值和最小值。
(3) 要比较$y_1$和$y_2$的大小，先将A、B两点的横坐标代入函数解析式，分别用含m的代数式表示出$y_1$和$y_2$，再用作差法计算$y_2-y_1$，根据差的正负性分三类讨论即可。
【解析】
(1) 选取表格中$x=0,y=5$和$x=1,y=2$两组值代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=5 \\1 + b + c = 2\end{cases}$
将$c=5$代入第二个方程，解得$b=2-1-5=-4$，因此二次函数的表达式为$y=x^2 - 4x + 5$。
(2) 将解析式配方：
$y=x^2 -4x +5 = x^2 -4x +4 +1 = (x-2)^2 +1$
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(2,1)$
$\therefore$当$x=2$时，y有最小值，最小值为1。
(3) $\because A(m,y_1),B(m+1,y_2)$都在函数图象上
$\therefore y_1 = m^2 -4m +5$
$y_2 = (m+1)^2 -4(m+1) +5 = m^2 +2m +1 -4m -4 +5 = m^2 -2m +2$
计算$y_2 - y_1$：
$y_2 - y_1 = (m^2 -2m +2) - (m^2 -4m +5) = 2m -3$
分三种情况讨论：
① 当$2m -3 ＜ 0$，即$m ＜ \dfrac{3}{2}$时，$y_2 - y_1 ＜ 0$，$\therefore y_1 ＞ y_2$；
② 当$2m -3 = 0$，即$m = \dfrac{3}{2}$时，$y_2 - y_1 = 0$，$\therefore y_1 = y_2$；
③ 当$2m -3 ＞ 0$，即$m ＞ \dfrac{3}{2}$时，$y_2 - y_1 ＞ 0$，$\therefore y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) 该二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 5$
(2) 当$x = 2$时，$y$有最小值，最小值是1
(3) 当$m ＜ \dfrac{3}{2}$时，$y_1 ＞ y_2$；当$m = \dfrac{3}{2}$时，$y_1 = y_2$；当$m ＞ \dfrac{3}{2}$时，$y_1 ＜ y_2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，涵盖了解析式求解、最值计算、函数值比较三类核心考点，解题用到的待定系数法、配方法、作差比较法都是代数部分的常用方法，第三问的分类讨论能很好地锻炼逻辑思维能力，是二次函数部分的经典题型。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数解析式为$y=x^2+bx+c$，仅含有b、c两个未知系数，因此可以选取表格中两组x、y的对应值代入解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到函数表达式。
(2) 该二次函数$a=1＞0$，开口向上，顶点处函数值最小，将第一问求得的解析式配方为顶点式，即可直接得到顶点坐标，确定y取最小值时x的值和最小值。
(3) 要比较$y_1$和$y_2$的大小，先将A、B两点的横坐标代入函数解析式，分别用含m的代数式表示出$y_1$和$y_2$，再用作差法计算$y_2-y_1$，根据差的正负性分三类讨论即可。
【解析】
(1) 选取表格中$x=0,y=5$和$x=1,y=2$两组值代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=5 \\1 + b + c = 2\end{cases}$
将$c=5$代入第二个方程，解得$b=2-1-5=-4$，因此二次函数的表达式为$y=x^2 - 4x + 5$。
(2) 将解析式配方：
$y=x^2 -4x +5 = x^2 -4x +4 +1 = (x-2)^2 +1$
$\because a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点坐标为$(2,1)$
$\therefore$当$x=2$时，y有最小值，最小值为1。
(3) $\because A(m,y_1),B(m+1,y_2)$都在函数图象上
$\therefore y_1 = m^2 -4m +5$
$y_2 = (m+1)^2 -4(m+1) +5 = m^2 +2m +1 -4m -4 +5 = m^2 -2m +2$
计算$y_2 - y_1$：
$y_2 - y_1 = (m^2 -2m +2) - (m^2 -4m +5) = 2m -3$
分三种情况讨论：
① 当$2m -3 ＜ 0$，即$m ＜ \dfrac{3}{2}$时，$y_2 - y_1 ＜ 0$，$\therefore y_1 ＞ y_2$；
② 当$2m -3 = 0$，即$m = \dfrac{3}{2}$时，$y_2 - y_1 = 0$，$\therefore y_1 = y_2$；
③ 当$2m -3 ＞ 0$，即$m ＞ \dfrac{3}{2}$时，$y_2 - y_1 ＞ 0$，$\therefore y_1 ＜ y_2$。
【答案】
(1) 该二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 5$
(2) 当$x = 2$时，$y$有最小值，最小值是1
(3) 当$m ＜ \dfrac{3}{2}$时，$y_1 ＞ y_2$；当$m = \dfrac{3}{2}$时，$y_1 = y_2$；当$m ＞ \dfrac{3}{2}$时，$y_1 ＜ y_2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，涵盖了解析式求解、最值计算、函数值比较三类核心考点，解题用到的待定系数法、配方法、作差比较法都是代数部分的常用方法，第三问的分类讨论能很好地锻炼逻辑思维能力，是二次函数部分的经典题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图,二次函数$y = ax^2 + bx$的图象经过点$A(2,4),B(6,0)$。
(1)求$a,b$的值；
(2)点$C$是该二次函数图象上$A,B$两点之间的一动点,其横坐标为$x(2 ＜ x ＜ 6)$,求四边形$OACB$的面积$S$与$x$之间的关系式及$S$的最大值。
(1)求$a,b$的值；
(2)点$C$是该二次函数图象上$A,B$两点之间的一动点,其横坐标为$x(2 ＜ x ＜ 6)$,求四边形$OACB$的面积$S$与$x$之间的关系式及$S$的最大值。
答案
5. (1) $a = -\dfrac{1}{2}, b = 3$
(2) 如图，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，连接CD，过C作$CE ⊥ AD$，$CF ⊥ x$轴，垂足分别为点E,F，连接BC，$S_{△ OAD} = \dfrac{1}{2}OD · AD = \dfrac{1}{2} × 2 × 4 = 4$，$S_{△ ACD} = \dfrac{1}{2}AD · CE = \dfrac{1}{2} × 4 × (x - 2) = 2x - 4$，$S_{△ BCD} = \dfrac{1}{2}BD · CF = \dfrac{1}{2} × 4 × (-\dfrac{1}{2}x^2 + 3x) = -x^2 + 6x$。$\therefore S = S_{△ OAD} + S_{△ ACD} + S_{△ BCD} = 4 + 2x - 4 - x^2 + 6x = -x^2 + 8x$，$\therefore S$与x之间的关系式为$S = -x^2 + 8x(2 ＜ x ＜ 6)$。$\because S = -x^2 + 8x = -(x - 4)^2 + 16$，$\therefore$ 当$x = 4$时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16
解析
【分析】
(1) 求二次函数的系数a、b时，已知函数图象经过两个定点，可使用待定系数法，将两点坐标分别代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值。
(2) 四边形OACB是不规则图形，直接计算面积难度较大，因此采用割补法，将其分割为3个规则的三角形，分别计算三个三角形的面积后求和，即可得到S关于x的函数关系式；再将得到的二次函数配方为顶点式，结合x的取值范围，即可求出S的最大值。
【解析】
(1) 将$A(2,4)$、$B(6,0)$代入$y = ax^2 + bx$，可得方程组：
$\begin{cases}4a + 2b = 4 \\36a + 6b = 0\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2a + b = 2 \\6a + b = 0 \end{cases}$，两式相减得$4a=-2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$，将$a=-\dfrac{1}{2}$代入$2a + b = 2$，解得$b=3$。
(2) 过点A作x轴的垂线，垂足为点D，连接CD，过C作$CE ⊥ AD$，$CF ⊥ x$轴，垂足分别为点E、F。
由(1)得二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$，因此点C坐标为$(x,-\dfrac{1}{2}x^2+3x)$。
分别计算三个三角形的面积：
$S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}· OD· AD=\dfrac{1}{2}×2×4=4$
$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}· AD· CE=\dfrac{1}{2}×4×(x-2)=2x-4$
$S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}· BD· CF=\dfrac{1}{2}×4×(-\dfrac{1}{2}x^2+3x)=-x^2+6x$
因此四边形面积$S = S_{△ OAD} + S_{△ ACD} + S_{△ BCD}=4+2x-4-x^2+6x=-x^2+8x$，其中$2＜x＜6$。
将$S=-x^2+8x$配方得$S=-(x-4)^2+16$，因为二次项系数为负，函数开口向下，且$x=4$在$2＜x＜6$范围内，因此当$x=4$时，S取得最大值16。
【答案】
(1) $a = -\dfrac{1}{2}, b = 3$
(2) $S$与$x$之间的关系式为$S = -x^2 + 8x(2 ＜ x ＜ 6)$，$S$的最大值为16
【知识点】
待定系数法求解析式、割补法求面积、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的综合应用题，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，灵活运用割补法转化不规则图形的面积，再结合二次函数的性质求解最值，属于二次函数应用的经典题型。
【难度系数】
0.6
(1) 求二次函数的系数a、b时，已知函数图象经过两个定点，可使用待定系数法，将两点坐标分别代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值。
(2) 四边形OACB是不规则图形，直接计算面积难度较大，因此采用割补法，将其分割为3个规则的三角形，分别计算三个三角形的面积后求和，即可得到S关于x的函数关系式；再将得到的二次函数配方为顶点式，结合x的取值范围，即可求出S的最大值。
【解析】
(1) 将$A(2,4)$、$B(6,0)$代入$y = ax^2 + bx$，可得方程组：
$\begin{cases}4a + 2b = 4 \\36a + 6b = 0\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2a + b = 2 \\6a + b = 0 \end{cases}$，两式相减得$4a=-2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$，将$a=-\dfrac{1}{2}$代入$2a + b = 2$，解得$b=3$。
(2) 过点A作x轴的垂线，垂足为点D，连接CD，过C作$CE ⊥ AD$，$CF ⊥ x$轴，垂足分别为点E、F。
由(1)得二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$，因此点C坐标为$(x,-\dfrac{1}{2}x^2+3x)$。
分别计算三个三角形的面积：
$S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}· OD· AD=\dfrac{1}{2}×2×4=4$
$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}· AD· CE=\dfrac{1}{2}×4×(x-2)=2x-4$
$S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}· BD· CF=\dfrac{1}{2}×4×(-\dfrac{1}{2}x^2+3x)=-x^2+6x$
因此四边形面积$S = S_{△ OAD} + S_{△ ACD} + S_{△ BCD}=4+2x-4-x^2+6x=-x^2+8x$，其中$2＜x＜6$。
将$S=-x^2+8x$配方得$S=-(x-4)^2+16$，因为二次项系数为负，函数开口向下，且$x=4$在$2＜x＜6$范围内，因此当$x=4$时，S取得最大值16。
【答案】
(1) $a = -\dfrac{1}{2}, b = 3$
(2) $S$与$x$之间的关系式为$S = -x^2 + 8x(2 ＜ x ＜ 6)$，$S$的最大值为16
【知识点】
待定系数法求解析式、割补法求面积、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的综合应用题，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，灵活运用割补法转化不规则图形的面积，再结合二次函数的性质求解最值，属于二次函数应用的经典题型。
【难度系数】
0.6
