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1.勾股定理是直角三角形中三边数量关系和数形结合思想的体现.勾股定理有三种表达形式：$c^2=$，$a^2=$，$b^2=$（其中$a$，$b$为直角边，$c$为斜边），这些表达式可作为等量关系，用来求边长或者列方程.
答案
2.怎样利用三边的数量关系判断一个三角形是直角三角形？ .
答案
解：先将三角形的三边长度按大小排序，确定出最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。若三角形的三边长为$a$、$b$、$c$（其中$c$是最长边），满足$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形，最长边$c$所对的角为直角。
3.满足的三个数，叫作勾股数，每组勾股数的正整数倍仍是勾股数。
答案
解：第一空填写：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = c^2}$
第二空填写：$\boldsymbol{正整}$
第二空填写：$\boldsymbol{正整}$
例1 如图1-4-1，梯子AB长2.5 m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.5 m. 一段时间后，梯子下滑停在DE的位置上，测得BD长为0.5 m，求梯子顶端A下滑的距离.
思路提示 利用勾股定理，先求出AC的长，再求出EC的长，可求出梯子顶端下滑的距离.
尝试解答
图1-4-1
小结反思 本题考查勾股定理在实际生活中的应用，在$Rt△ ABC$和$Rt△ CDE$中分别应用勾股定理是解题的关键.
思路提示 利用勾股定理，先求出AC的长，再求出EC的长，可求出梯子顶端下滑的距离.
尝试解答
图1-4-1
小结反思 本题考查勾股定理在实际生活中的应用，在$Rt△ ABC$和$Rt△ CDE$中分别应用勾股定理是解题的关键.
答案
在Rt△ABC中，AB=2.5 m，BC=1.5 m，
故AC²=AB²−BC²=2.5²−1.5²=2²，
∴AC=2 m.
在Rt△CDE中，AB=DE=2.5 m，CD=1.5+0.5=2(m)，
故EC²=DE²−CD²=2.5²−2²=1.5²，
∴EC=1.5 m，
故AE=AC−CE=2−1.5=0.5(m).
所以梯子顶端A下滑了0.5 m.
巩固训练
1.小明和小亮周末一起在广场上放风筝.如图1-4-2,为了用勾股定理测量某一时刻天空中风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:
①测得水平距离BD的长为15米;
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;
③牵线放风筝的小明的身高AB为1.6米.
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米?
1.小明和小亮周末一起在广场上放风筝.如图1-4-2,为了用勾股定理测量某一时刻天空中风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作:
①测得水平距离BD的长为15米;
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;
③牵线放风筝的小明的身高AB为1.6米.
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)如果小明想让风筝沿CD方向下降12米,则他应该往回收线多少米?
答案
1. (1)由勾股定理得，CD²=BC²−BD²=25²−15²=20²，
∴CD=20米，
∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米).
(2)如图，由勾股定理得，
BF²=DF²+BD²
=(20−12)²+15²
=17²，
∴BF=17(米).
∵25−17=8(米)，
∴他应该往回收线8米.
