登录
【数据采集】
为了证明自己的想法是正确的,两组同学分别对建筑物进行了数据测量,数据如图2所示.
【数据应用】
(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；
(2)若0＜a＜b,则组同学的想法正确.(填“①”或“②”)
为了证明自己的想法是正确的,两组同学分别对建筑物进行了数据测量,数据如图2所示.
【数据应用】
(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；
(2)若0＜a＜b,则组同学的想法正确.(填“①”或“②”)
答案
(2) $\boldsymbol{①}$
解析
【分析】
(1)求两个建筑物的占地面积即求阴影部分的面积，解题思路为：用外框大长方形的面积减去内部空白长方形的面积，再根据多项式乘多项式法则展开、合并同类项即可得到结果。(2)要判断哪组同学的想法正确，只需用做差法比较两个占地面积的大小，将两个代数式作差后因式分解，结合0＜a＜b的条件判断差的正负，即可得出两个面积的大小关系，对应得到正确的组别。
【解析】
(1)计算①回字形福建土楼的占地面积：
外框大长方形面积为：$(3a+2b)(2a+b)$
内部空白长方形面积为：$(a+2b)(a+b)$
则占地面积$S_1=(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(a+b)$
展开计算：
$(3a+2b)(2a+b)=6a^2+3ab+4ab+2b^2=6a^2+7ab+2b^2$
$(a+2b)(a+b)=a^2+ab+2ab+2b^2=a^2+3ab+2b^2$
$S_1=(6a^2+7ab+2b^2)-(a^2+3ab+2b^2)=5a^2+4ab$
计算②山西大院的占地面积：
外框大长方形的长为$a+2a+b+a=4a+b$，宽为$a+a+b=2a+b$，面积为$(4a+b)(2a+b)$
内部空白长方形面积为：$(2a+b)(a+b)$
则占地面积$S_2=(4a+b)(2a+b)-(2a+b)(a+b)$
展开计算：
$(4a+b)(2a+b)=8a^2+4ab+2ab+b^2=8a^2+6ab+b^2$
$(2a+b)(a+b)=2a^2+2ab+ab+b^2=2a^2+3ab+b^2$
$S_2=(8a^2+6ab+b^2)-(2a^2+3ab+b^2)=6a^2+3ab$
(2)比较$S_1$和$S_2$的大小，作差得：
$S_1-S_2=(5a^2+4ab)-(6a^2+3ab)=-a^2+ab=a(b-a)$
$\because 0＜a＜b$
$\therefore a＞0，b-a＞0$
$\therefore a(b-a)＞0$，即$S_1＞S_2$，故①组同学的想法正确。
【答案】
(1)回字形福建土楼的占地面积为$5a^2+4ab$，山西大院的占地面积为$6a^2+3ab$；(2)$\boldsymbol{①}$
【知识点】
多项式乘多项式，整式的加减，代数式比较大小
【点评】
本题结合传统建筑场景考查整式的运算应用，解题的核心是掌握阴影面积的求解思路，熟练运用多项式乘法法则和作差法比较代数式大小，体现了数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
(1)求两个建筑物的占地面积即求阴影部分的面积，解题思路为：用外框大长方形的面积减去内部空白长方形的面积，再根据多项式乘多项式法则展开、合并同类项即可得到结果。(2)要判断哪组同学的想法正确，只需用做差法比较两个占地面积的大小，将两个代数式作差后因式分解，结合0＜a＜b的条件判断差的正负，即可得出两个面积的大小关系，对应得到正确的组别。
【解析】
(1)计算①回字形福建土楼的占地面积：
外框大长方形面积为：$(3a+2b)(2a+b)$
内部空白长方形面积为：$(a+2b)(a+b)$
则占地面积$S_1=(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(a+b)$
展开计算：
$(3a+2b)(2a+b)=6a^2+3ab+4ab+2b^2=6a^2+7ab+2b^2$
$(a+2b)(a+b)=a^2+ab+2ab+2b^2=a^2+3ab+2b^2$
$S_1=(6a^2+7ab+2b^2)-(a^2+3ab+2b^2)=5a^2+4ab$
计算②山西大院的占地面积：
外框大长方形的长为$a+2a+b+a=4a+b$，宽为$a+a+b=2a+b$，面积为$(4a+b)(2a+b)$
内部空白长方形面积为：$(2a+b)(a+b)$
则占地面积$S_2=(4a+b)(2a+b)-(2a+b)(a+b)$
展开计算：
$(4a+b)(2a+b)=8a^2+4ab+2ab+b^2=8a^2+6ab+b^2$
$(2a+b)(a+b)=2a^2+2ab+ab+b^2=2a^2+3ab+b^2$
$S_2=(8a^2+6ab+b^2)-(2a^2+3ab+b^2)=6a^2+3ab$
(2)比较$S_1$和$S_2$的大小，作差得：
$S_1-S_2=(5a^2+4ab)-(6a^2+3ab)=-a^2+ab=a(b-a)$
$\because 0＜a＜b$
$\therefore a＞0，b-a＞0$
$\therefore a(b-a)＞0$，即$S_1＞S_2$，故①组同学的想法正确。
【答案】
(1)回字形福建土楼的占地面积为$5a^2+4ab$，山西大院的占地面积为$6a^2+3ab$；(2)$\boldsymbol{①}$
【知识点】
多项式乘多项式，整式的加减，代数式比较大小
【点评】
本题结合传统建筑场景考查整式的运算应用，解题的核心是掌握阴影面积的求解思路，熟练运用多项式乘法法则和作差法比较代数式大小，体现了数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
1. (2025·内江)下列计算正确的是 ()
A.$x^2 · x^4 = x^8$
B.$(x-y)^2 = x^2 - y^2$
C.$x + 2x^2 = 3x^2$
D.$(x+2)(x-2) = x^2 -4$
A.$x^2 · x^4 = x^8$
B.$(x-y)^2 = x^2 - y^2$
C.$x + 2x^2 = 3x^2$
D.$(x+2)(x-2) = x^2 -4$
答案
D
解析
【分析】
这是一道整式运算的正误判断题，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应的整式运算法则或公式验证计算结果是否正确即可。具体思路为：对A选项用同底数幂乘法法则判断，B选项用完全平方公式判断，C选项用合并同类项规则判断，D选项用平方差公式判断，排除错误选项后就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，$x^2 · x^4 = x^{2+4}=x^6 ≠ x^8$，故A错误。
选项B：根据完全平方公式，$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 ≠ x^2 - y^2$，故B错误。
选项C：$x$和$2x^2$中$x$的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，故C错误。
选项D：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，这里$a=x$，$b=2$，代入得$(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 -4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对常见整式运算法则和乘法公式的掌握，需要注意区分完全平方公式和平方差公式，同时牢记只有同类项才能合并，避免概念混淆导致失分。
【难度系数】
0.8
这是一道整式运算的正误判断题，解题时需要逐一分析每个选项，结合对应的整式运算法则或公式验证计算结果是否正确即可。具体思路为：对A选项用同底数幂乘法法则判断，B选项用完全平方公式判断，C选项用合并同类项规则判断，D选项用平方差公式判断，排除错误选项后就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，$x^2 · x^4 = x^{2+4}=x^6 ≠ x^8$，故A错误。
选项B：根据完全平方公式，$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 ≠ x^2 - y^2$，故B错误。
选项C：$x$和$2x^2$中$x$的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，故C错误。
选项D：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，这里$a=x$，$b=2$，代入得$(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 -4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法、合并同类项、乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对常见整式运算法则和乘法公式的掌握，需要注意区分完全平方公式和平方差公式，同时牢记只有同类项才能合并，避免概念混淆导致失分。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算正确的是 （）
A.$a^3 · a^2 = a^6$
B.$(a^2)^5 = a^7$
C.$(-2a^3b)^3 = -8a^9b^3$
D.$(-a+b)(a+b) = a^2 - b^2$
A.$a^3 · a^2 = a^6$
B.$(a^2)^5 = a^7$
C.$(-2a^3b)^3 = -8a^9b^3$
D.$(-a+b)(a+b) = a^2 - b^2$
答案
C
解析
【分析】
这是一道整式运算的正误判断题，解题思路是逐个选项对应相关运算法则计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。解题时需分别回忆同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、平方差公式的运算规则，避免混淆公式特征。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：根据同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5≠ a^6$，故A错误；
B选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^5 = a^{2×5}=a^{10}≠ a^7$，故B错误；
C选项：根据积的乘方法则：积的乘方等于把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(-2a^3b)^3 = (-2)^3·(a^3)^3·b^3=-8a^9b^3$，和选项表述一致，故C正确；
D选项：根据平方差公式特征，先变形得$(-a+b)(a+b)=(b-a)(b+a)=b^2 - a^2≠ a^2 - b^2$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，核心考查对各类运算法则、公式的掌握程度，解题的关键是准确区分不同运算的指数变化规律，以及平方差公式的结构特征，避免公式混淆。
【难度系数】
0.8
这是一道整式运算的正误判断题，解题思路是逐个选项对应相关运算法则计算验证，排除错误选项即可得到正确答案。解题时需分别回忆同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、平方差公式的运算规则，避免混淆公式特征。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：根据同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5≠ a^6$，故A错误；
B选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^5 = a^{2×5}=a^{10}≠ a^7$，故B错误；
C选项：根据积的乘方法则：积的乘方等于把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(-2a^3b)^3 = (-2)^3·(a^3)^3·b^3=-8a^9b^3$，和选项表述一致，故C正确；
D选项：根据平方差公式特征，先变形得$(-a+b)(a+b)=(b-a)(b+a)=b^2 - a^2≠ a^2 - b^2$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，核心考查对各类运算法则、公式的掌握程度，解题的关键是准确区分不同运算的指数变化规律，以及平方差公式的结构特征，避免公式混淆。
【难度系数】
0.8
3. 用简便方法计算 $50\frac{2}{5} × 49\frac{3}{5}$，变形正确的是（）
A.$(50+\frac{2}{5})(49+\frac{3}{5})$
B.$(49+\frac{2}{5})(51-\frac{2}{5})$
C.$(50+\frac{3}{5})(50-\frac{3}{5})$
D.$(50+\frac{2}{5})(50-\frac{2}{5})$
A.$(50+\frac{2}{5})(49+\frac{3}{5})$
B.$(49+\frac{2}{5})(51-\frac{2}{5})$
C.$(50+\frac{3}{5})(50-\frac{3}{5})$
D.$(50+\frac{2}{5})(50-\frac{2}{5})$
答案
D
解析
【分析】
要简便计算两个接近50的带分数乘积，优先考虑用平方差公式简化计算，平方差公式的结构是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，使用前提是两个因式分别为两个数的和与两个数的差，且两个因式中相同的项为$a$，互为相反数的项为$b$。首先找两个带分数的共同基准数：$50\frac{2}{5}$和$49\frac{3}{5}$的和是100，平均值是50，因此可将两个数分别拆为基准数50加一个数、50减同一个数的形式，再对照选项判断即可。
【解析】
先对两个带分数进行变形：
1. 第一个数：$50\frac{2}{5} = 50 + \frac{2}{5}$
2. 第二个数：$49\frac{3}{5} = 49 + \frac{3}{5} = 50 - 1 + \frac{3}{5} = 50 - (1 - \frac{3}{5}) = 50 - \frac{2}{5}$
因此原式可变形为$(50 + \frac{2}{5})(50 - \frac{2}{5})$，符合平方差公式的结构，可实现简便计算。
对其他选项验证：
A选项是直接拆分带分数，无法用乘法公式简便计算，不符合要求；
B、C选项的变形不符合两个带分数的拆分结果，错误。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题考查乘法公式在简便计算中的应用，解题的核心是抓住平方差公式的结构特征，找到合适的基准数将两个乘数转化为两数和与两数差的形式，熟记公式结构能快速找到简便计算的思路。
【难度系数】
0.7
要简便计算两个接近50的带分数乘积，优先考虑用平方差公式简化计算，平方差公式的结构是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，使用前提是两个因式分别为两个数的和与两个数的差，且两个因式中相同的项为$a$，互为相反数的项为$b$。首先找两个带分数的共同基准数：$50\frac{2}{5}$和$49\frac{3}{5}$的和是100，平均值是50，因此可将两个数分别拆为基准数50加一个数、50减同一个数的形式，再对照选项判断即可。
【解析】
先对两个带分数进行变形：
1. 第一个数：$50\frac{2}{5} = 50 + \frac{2}{5}$
2. 第二个数：$49\frac{3}{5} = 49 + \frac{3}{5} = 50 - 1 + \frac{3}{5} = 50 - (1 - \frac{3}{5}) = 50 - \frac{2}{5}$
因此原式可变形为$(50 + \frac{2}{5})(50 - \frac{2}{5})$，符合平方差公式的结构，可实现简便计算。
对其他选项验证：
A选项是直接拆分带分数，无法用乘法公式简便计算，不符合要求；
B、C选项的变形不符合两个带分数的拆分结果，错误。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题考查乘法公式在简便计算中的应用，解题的核心是抓住平方差公式的结构特征，找到合适的基准数将两个乘数转化为两数和与两数差的形式，熟记公式结构能快速找到简便计算的思路。
【难度系数】
0.7
4. 如果一个正整数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“幸福数”.例如，$8=3^2 -1^2$，$16=5^2 -3^2$，所以8和16都是“幸福数”.下列数是“幸福数”的是（）
A.205
B.250
C.508
D.520
A.205
B.250
C.508
D.520
答案
D
解析
【分析】
要判断一个数是否为“幸福数”，首先需要根据定义推导“幸福数”的通用特征：第一步，设两个连续奇数，用含正整数n的代数式分别表示这两个数；第二步，利用平方差公式计算两个连续奇数的平方差，化简后得到“幸福数”的表达式，总结出其数字特征；第三步，逐一验证四个选项是否符合该特征，即可得出答案。
【解析】
设较小的连续奇数为$2n-1$（$n$为正整数），则较大的连续奇数为$2n+1$。
根据平方差公式计算两者的平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=(2n+1+2n-1)×[2n+1-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
由此可得，“幸福数”是8的正整数倍。
逐一验证选项：
A. $205÷8=25.625$，结果不是正整数，不是幸福数；
B. $250÷8=31.25$，结果不是正整数，不是幸福数；
C. $508÷8=63.5$，结果不是正整数，不是幸福数；
D. $520÷8=65$，结果是正整数，是幸福数。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式化简，新定义理解
【点评】
本题以新定义为载体，重点考查平方差公式的灵活应用，解题的核心是先通过代数推导得到“幸福数”的本质特征，再利用特征快速筛选选项，能有效考查学生对公式的运用能力和对新定义的解读能力。
【难度系数】
0.7
要判断一个数是否为“幸福数”，首先需要根据定义推导“幸福数”的通用特征：第一步，设两个连续奇数，用含正整数n的代数式分别表示这两个数；第二步，利用平方差公式计算两个连续奇数的平方差，化简后得到“幸福数”的表达式，总结出其数字特征；第三步，逐一验证四个选项是否符合该特征，即可得出答案。
【解析】
设较小的连续奇数为$2n-1$（$n$为正整数），则较大的连续奇数为$2n+1$。
根据平方差公式计算两者的平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=(2n+1+2n-1)×[2n+1-(2n-1)]\\&=4n×2\\&=8n\end{aligned}$
由此可得，“幸福数”是8的正整数倍。
逐一验证选项：
A. $205÷8=25.625$，结果不是正整数，不是幸福数；
B. $250÷8=31.25$，结果不是正整数，不是幸福数；
C. $508÷8=63.5$，结果不是正整数，不是幸福数；
D. $520÷8=65$，结果是正整数，是幸福数。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，代数式化简，新定义理解
【点评】
本题以新定义为载体，重点考查平方差公式的灵活应用，解题的核心是先通过代数推导得到“幸福数”的本质特征，再利用特征快速筛选选项，能有效考查学生对公式的运用能力和对新定义的解读能力。
【难度系数】
0.7
