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5. (2024·上海)计算:$(a+b)(b-a)=$.
答案
$\boldsymbol{b^2 - a^2}$
解析
【分析】
解题时先观察式子的结构特征：两个因式中，b是相同项，a和-a是互为相反的项，符合平方差公式的使用条件：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于相同项的平方减去相反项的平方。也可以通过多项式乘多项式的运算法则展开合并同类项得到结果，优先选用平方差公式可简化计算。
【解析】
方法一（利用平方差公式）：
将原式调整顺序得：$(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)$
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，其中相同项$x=b$，相反项$y=a$，代入得：
原式$=b^2 - a^2$
方法二（多项式乘多项式展开）：
根据多项式乘多项式法则，逐项相乘再合并同类项：
$(a+b)(b-a)=a· b - a· a + b· b - b· a = ab - a^2 + b^2 - ab = b^2 - a^2$
【答案】
$b^2 - a^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别与应用，准确区分公式中的相同项和相反项是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
解题时先观察式子的结构特征：两个因式中，b是相同项，a和-a是互为相反的项，符合平方差公式的使用条件：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于相同项的平方减去相反项的平方。也可以通过多项式乘多项式的运算法则展开合并同类项得到结果，优先选用平方差公式可简化计算。
【解析】
方法一（利用平方差公式）：
将原式调整顺序得：$(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)$
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，其中相同项$x=b$，相反项$y=a$，代入得：
原式$=b^2 - a^2$
方法二（多项式乘多项式展开）：
根据多项式乘多项式法则，逐项相乘再合并同类项：
$(a+b)(b-a)=a· b - a· a + b· b - b· a = ab - a^2 + b^2 - ab = b^2 - a^2$
【答案】
$b^2 - a^2$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别与应用，准确区分公式中的相同项和相反项是快速解题的核心。
【难度系数】
0.9
6. (2024·乐山)已知$a-b=3$,$ab=10$,则$a^2+b^2=$.
答案
$\boldsymbol{29}$
解析
【分析】
已知$a-b$和$ab$的值，要求$a^2+b^2$，可结合完全平方公式的结构求解：完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$中刚好包含$a-b$、$ab$、$a^2+b^2$三个量，我们只需将公式变形，把$a^2+b^2$用含$(a-b)^2$和$ab$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方差公式：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
对公式变形可得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=3$，$ab=10$代入上式：
$a^2+b^2=3^2+2×10=9+20=29$
【答案】
$\boldsymbol{29}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形形式，属于整式乘法部分的常考基础题型，掌握公式变形即可快速求解。
【难度系数】
0.9
已知$a-b$和$ab$的值，要求$a^2+b^2$，可结合完全平方公式的结构求解：完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$中刚好包含$a-b$、$ab$、$a^2+b^2$三个量，我们只需将公式变形，把$a^2+b^2$用含$(a-b)^2$和$ab$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方差公式：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
对公式变形可得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=3$，$ab=10$代入上式：
$a^2+b^2=3^2+2×10=9+20=29$
【答案】
$\boldsymbol{29}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形形式，属于整式乘法部分的常考基础题型，掌握公式变形即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 计算：
(1) $(x-2y)^2 - (x-y)(x+y)$；
(2) $1001 × 999 - 997^2$.(利用公式计算)
(1) $(x-2y)^2 - (x-y)(x+y)$；
(2) $1001 × 999 - 997^2$.(利用公式计算)
答案
解：
(1) 原式$=x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - y^2)$
$=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + y^2$
$=-4xy + 5y^2$
(2) 原式$=(1000+1)(1000-1) - (1000-3)^2$
$=1000^2 - 1^2 - (1000^2 - 2×1000×3 + 3^2)$
$=1000000 - 1 - 1000000 + 6000 - 9$
$=5990$
(1) 原式$=x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - y^2)$
$=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + y^2$
$=-4xy + 5y^2$
(2) 原式$=(1000+1)(1000-1) - (1000-3)^2$
$=1000^2 - 1^2 - (1000^2 - 2×1000×3 + 3^2)$
$=1000000 - 1 - 1000000 + 6000 - 9$
$=5990$
解析
【分析】
(1) 解题时先观察式子结构：$(x-2y)^2$符合完全平方差公式的形式，$(x-y)(x+y)$符合平方差公式的形式，因此先分别套用两个乘法公式展开，再去括号合并同类项即可得到化简结果，注意去括号时括号前是负号，括号内各项要变号。
(2) 要求利用公式计算，观察数字特征：1001和999分别可改写为$1000+1$、$1000-1$，刚好符合平方差公式的结构；997可改写为$1000-3$，符合完全平方差公式的结构，先套用公式展开，再去括号合并计算即可，避免大数直接相乘降低错误率。
【解析】
(1) 先利用完全平方差公式、平方差公式展开：
原式$=x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - y^2)$
去括号：
$=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + y^2$
合并同类项：
$=-4xy + 5y^2$
(2) 先将数字改写为整千数与较小数的和/差形式，套用乘法公式：
原式$=(1000+1)(1000-1) - (1000-3)^2$
分别利用平方差公式、完全平方差公式展开：
$=1000^2 - 1^2 - (1000^2 - 2×1000×3 + 3^2)$
去括号计算：
$=1000000 - 1 - 1000000 + 6000 - 9$
$=5990$
【答案】
(1) $-4xy + 5y^2$；(2) $5990$
【知识点】
1. 完全平方公式；2. 平方差公式；3. 整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的识别与灵活运用，解题核心是准确判断式子/数字对应的公式结构，计算时需注意去括号的符号规则，第二问通过拆数凑公式的方法可大幅简化大数运算，是整式乘法简便计算的常用技巧。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先观察式子结构：$(x-2y)^2$符合完全平方差公式的形式，$(x-y)(x+y)$符合平方差公式的形式，因此先分别套用两个乘法公式展开，再去括号合并同类项即可得到化简结果，注意去括号时括号前是负号，括号内各项要变号。
(2) 要求利用公式计算，观察数字特征：1001和999分别可改写为$1000+1$、$1000-1$，刚好符合平方差公式的结构；997可改写为$1000-3$，符合完全平方差公式的结构，先套用公式展开，再去括号合并计算即可，避免大数直接相乘降低错误率。
【解析】
(1) 先利用完全平方差公式、平方差公式展开：
原式$=x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - y^2)$
去括号：
$=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + y^2$
合并同类项：
$=-4xy + 5y^2$
(2) 先将数字改写为整千数与较小数的和/差形式，套用乘法公式：
原式$=(1000+1)(1000-1) - (1000-3)^2$
分别利用平方差公式、完全平方差公式展开：
$=1000^2 - 1^2 - (1000^2 - 2×1000×3 + 3^2)$
去括号计算：
$=1000000 - 1 - 1000000 + 6000 - 9$
$=5990$
【答案】
(1) $-4xy + 5y^2$；(2) $5990$
【知识点】
1. 完全平方公式；2. 平方差公式；3. 整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的识别与灵活运用，解题核心是准确判断式子/数字对应的公式结构，计算时需注意去括号的符号规则，第二问通过拆数凑公式的方法可大幅简化大数运算，是整式乘法简便计算的常用技巧。
【难度系数】
0.8
8. (2024·陕西)先化简,再求值:$(x+y)^2 + x(x-2y)$,其中$x=1$, $y=-2$.
答案
解：
$\begin{aligned}(x+y)^2 + x(x-2y)&=x^2+2xy+y^2 + x^2 - 2xy\\&=2x^2 + y^2\end{aligned}$
当$x=1$，$y=-2$时，
原式$=2×1^2 + (-2)^2 = 2 + 4 = 6$
$\begin{aligned}(x+y)^2 + x(x-2y)&=x^2+2xy+y^2 + x^2 - 2xy\\&=2x^2 + y^2\end{aligned}$
当$x=1$，$y=-2$时，
原式$=2×1^2 + (-2)^2 = 2 + 4 = 6$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题时优先选择先化简再代值的思路，避免直接代入原式计算量过大出错：第一步先处理整式运算，看到$(x+y)^2$可利用完全平方公式展开，$x(x-2y)$利用单项式乘多项式的分配律展开，再合并同类项得到最简结果；第二步将已知的x、y的值代入最简式计算即可得到最终答案。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(x+y)^2 + x(x-2y)&=x^2+2xy+y^2 + x^2 - 2xy\\&=2x^2 + y^2\end{aligned}$
当$x=1$，$y=-2$时，代入化简后的式子：
原式$=2×1^2 + (-2)^2 = 2 + 4 = 6$
【答案】
$6$
【知识点】
完全平方公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对乘法公式、整式运算法则的掌握程度，养成先化简再求值的解题习惯能有效减少计算失误。
【难度系数】
0.9
这是整式化简求值类题目，解题时优先选择先化简再代值的思路，避免直接代入原式计算量过大出错：第一步先处理整式运算，看到$(x+y)^2$可利用完全平方公式展开，$x(x-2y)$利用单项式乘多项式的分配律展开，再合并同类项得到最简结果；第二步将已知的x、y的值代入最简式计算即可得到最终答案。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(x+y)^2 + x(x-2y)&=x^2+2xy+y^2 + x^2 - 2xy\\&=2x^2 + y^2\end{aligned}$
当$x=1$，$y=-2$时，代入化简后的式子：
原式$=2×1^2 + (-2)^2 = 2 + 4 = 6$
【答案】
$6$
【知识点】
完全平方公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对乘法公式、整式运算法则的掌握程度，养成先化简再求值的解题习惯能有效减少计算失误。
【难度系数】
0.9
9. 已知$x^2 - 3x - 4 = 0$，求代数式$(x+1)(x-1) - (x+3)^2 + 2x^2$的值。
答案
解：
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(x+1)(x-1)-(x+3)^2+2x^2\\=&x^2 - 1 - (x^2 + 6x + 9) + 2x^2\\=&x^2 - 1 - x^2 - 6x - 9 + 2x^2\\=&2x^2 - 6x - 10\end{aligned}$
由$x^2 - 3x - 4 = 0$，可得$x^2 - 3x = 4$。
将$2x^2 -6x = 2(x^2 - 3x)$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(x^2 - 3x) -10\\&=2×4 -10\\&=8 -10\\&=-2\end{aligned}$
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(x+1)(x-1)-(x+3)^2+2x^2\\=&x^2 - 1 - (x^2 + 6x + 9) + 2x^2\\=&x^2 - 1 - x^2 - 6x - 9 + 2x^2\\=&2x^2 - 6x - 10\end{aligned}$
由$x^2 - 3x - 4 = 0$，可得$x^2 - 3x = 4$。
将$2x^2 -6x = 2(x^2 - 3x)$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(x^2 - 3x) -10\\&=2×4 -10\\&=8 -10\\&=-2\end{aligned}$
解析
【分析】
遇到已知方程求代数式值的题目时，优先选择先化简代数式再代入求值的方法，避免直接解方程的繁琐计算。首先利用平方差公式和完全平方公式将目标代数式展开，合并同类项化简后，观察化简结果和已知方程的联系，发现可以提取公因式转化为含$x^2-3x$的形式，再从已知方程中求出$x^2-3x$的值，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简代数式
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算$(x+1)(x-1)$，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$计算$(x+3)^2$：
$\begin{aligned}&(x+1)(x-1)-(x+3)^2+2x^2\\=&x^2 - 1 - (x^2 + 6x + 9) + 2x^2\\=&x^2 - 1 - x^2 - 6x - 9 + 2x^2\\=&2x^2 - 6x - 10\end{aligned}$
第二步：整理已知条件
由$x^2 - 3x - 4 = 0$，移项可得$x^2 - 3x = 4$。
第三步：整体代入求值
观察化简后的式子，可将$2x^2 -6x$变形为$2(x^2 - 3x)$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(x^2 - 3x) -10\\&=2×4 -10\\&=8 -10\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题重点考查整式的混合运算与整体代入的数学思想，熟练掌握乘法公式的结构特征是正确化简代数式的前提，采用整体代入的方法可有效简化计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
遇到已知方程求代数式值的题目时，优先选择先化简代数式再代入求值的方法，避免直接解方程的繁琐计算。首先利用平方差公式和完全平方公式将目标代数式展开，合并同类项化简后，观察化简结果和已知方程的联系，发现可以提取公因式转化为含$x^2-3x$的形式，再从已知方程中求出$x^2-3x$的值，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简代数式
利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算$(x+1)(x-1)$，利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$计算$(x+3)^2$：
$\begin{aligned}&(x+1)(x-1)-(x+3)^2+2x^2\\=&x^2 - 1 - (x^2 + 6x + 9) + 2x^2\\=&x^2 - 1 - x^2 - 6x - 9 + 2x^2\\=&2x^2 - 6x - 10\end{aligned}$
第二步：整理已知条件
由$x^2 - 3x - 4 = 0$，移项可得$x^2 - 3x = 4$。
第三步：整体代入求值
观察化简后的式子，可将$2x^2 -6x$变形为$2(x^2 - 3x)$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(x^2 - 3x) -10\\&=2×4 -10\\&=8 -10\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
$-2$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题重点考查整式的混合运算与整体代入的数学思想，熟练掌握乘法公式的结构特征是正确化简代数式的前提，采用整体代入的方法可有效简化计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
1. (2024·泸州)下列运算正确的是 ()
A.$3a + 2a^3 = 5a^4$
B.$3a^2 · 2a^3 = 6a^6$
C.$(-2a^3)^2 = 4a^6$
D.$4a^6 ÷ a^2 = 4a^3$
A.$3a + 2a^3 = 5a^4$
B.$3a^2 · 2a^3 = 6a^6$
C.$(-2a^3)^2 = 4a^6$
D.$4a^6 ÷ a^2 = 4a^3$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查整式的各类运算法则，解题时需要逐个分析选项，结合对应的运算法则判断运算是否正确，最终选出正确选项。解题思路为：先回忆合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式的相关法则，再逐一验证每个选项的运算是否符合法则，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个选项：
A. $3a$和$2a^3$所含字母相同，但相同字母$a$的指数不同，不是同类项，不能合并，因此A运算错误；
B. 单项式乘单项式，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变、指数相加，因此$3a^2·2a^3=(3×2)·a^{2+3}=6a^5≠6a^6$，B运算错误；
C. 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方底数不变、指数相乘，因此$(-2a^3)^2=(-2)^2·(a^3)^2=4a^6$，C运算正确；
D. 单项式除以单项式，系数相除作为商的系数，同底数幂相除底数不变、指数相减，因此$4a^6÷a^2=4·a^{6-2}=4a^4≠4a^3$，D运算错误。
综上，选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；幂的运算；整式乘除
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对整式各类运算法则的掌握程度，解题核心是准确区分不同运算中指数的变化规律，避免法则混淆。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式的各类运算法则，解题时需要逐个分析选项，结合对应的运算法则判断运算是否正确，最终选出正确选项。解题思路为：先回忆合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方、单项式除以单项式的相关法则，再逐一验证每个选项的运算是否符合法则，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断每个选项：
A. $3a$和$2a^3$所含字母相同，但相同字母$a$的指数不同，不是同类项，不能合并，因此A运算错误；
B. 单项式乘单项式，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变、指数相加，因此$3a^2·2a^3=(3×2)·a^{2+3}=6a^5≠6a^6$，B运算错误；
C. 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方底数不变、指数相乘，因此$(-2a^3)^2=(-2)^2·(a^3)^2=4a^6$，C运算正确；
D. 单项式除以单项式，系数相除作为商的系数，同底数幂相除底数不变、指数相减，因此$4a^6÷a^2=4·a^{6-2}=4a^4≠4a^3$，D运算错误。
综上，选择C选项。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；幂的运算；整式乘除
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对整式各类运算法则的掌握程度，解题核心是准确区分不同运算中指数的变化规律，避免法则混淆。
【难度系数】
0.8
2.计算:$(6a^3b - 3ab) ÷ 3ab =$ .
答案
解：
原式$=6a^3b÷ 3ab - 3ab÷ 3ab$
$=2a^2 - 1$
原式$=6a^3b÷ 3ab - 3ab÷ 3ab$
$=2a^2 - 1$
解析
【分析】
本题是多项式除以单项式的基础运算题，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。计算单除以单时，结合同底数幂的除法规则运算即可，注意要对多项式的每一项都做除法运算，不要漏项。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则拆分计算：
原式$=6a^3b÷ 3ab - 3ab÷ 3ab$
计算第一项：系数$6÷3=2$，同底数幂$a^3÷a=a^{3-1}=a^2$，$b÷b=1$，得$2a^2$；
计算第二项：$-3ab÷3ab=-1$；
将两个商相加，最终结果为$2a^2-1$。
【答案】
$2a^2 - 1$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时容易出现漏算第二项、漏写$-1$的错误，做题时要注意逐项运算、仔细检查。
【难度系数】
0.8
本题是多项式除以单项式的基础运算题，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。计算单除以单时，结合同底数幂的除法规则运算即可，注意要对多项式的每一项都做除法运算，不要漏项。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则拆分计算：
原式$=6a^3b÷ 3ab - 3ab÷ 3ab$
计算第一项：系数$6÷3=2$，同底数幂$a^3÷a=a^{3-1}=a^2$，$b÷b=1$，得$2a^2$；
计算第二项：$-3ab÷3ab=-1$；
将两个商相加，最终结果为$2a^2-1$。
【答案】
$2a^2 - 1$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时容易出现漏算第二项、漏写$-1$的错误，做题时要注意逐项运算、仔细检查。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$-5a^5b^3c÷15a^4b=$
答案
$\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}ab^2c}$
解析
【分析】
本题考查单项式除以单项式的运算，解题时按照单项式除以单项式的法则分步计算即可：①先处理系数部分，将被除式和除式的系数相除，注意负数的符号不要遗漏；②再处理同底数幂部分，按照同底数幂除法“底数不变，指数相减”的规则分别计算；③最后把只在被除式里出现的字母连同它的指数直接作为商的因式，将所有部分相乘就得到最终结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}-5a^5b^3c÷15a^4b&=(-5÷15)·(a^5÷ a^4)·(b^3÷ b)· c\\&=-\dfrac{1}{3}· a^{5-4}· b^{3-1}· c\\&=-\dfrac{1}{3}ab^2c\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}ab^2c}$
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式除法中单项式除法的运算法则，解题时只要注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则，不遗漏仅在被除式中出现的字母，细心计算就能拿到分数。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式除以单项式的运算，解题时按照单项式除以单项式的法则分步计算即可：①先处理系数部分，将被除式和除式的系数相除，注意负数的符号不要遗漏；②再处理同底数幂部分，按照同底数幂除法“底数不变，指数相减”的规则分别计算；③最后把只在被除式里出现的字母连同它的指数直接作为商的因式，将所有部分相乘就得到最终结果。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}-5a^5b^3c÷15a^4b&=(-5÷15)·(a^5÷ a^4)·(b^3÷ b)· c\\&=-\dfrac{1}{3}· a^{5-4}· b^{3-1}· c\\&=-\dfrac{1}{3}ab^2c\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{1}{3}ab^2c}$
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查整式除法中单项式除法的运算法则，解题时只要注意系数的符号、同底数幂的指数运算规则，不遗漏仅在被除式中出现的字母，细心计算就能拿到分数。
【难度系数】
0.8
