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4. 小亮与小明在做游戏，两人各报一个整式，小明报的被除式是$x^3y - 2xy^2$，商式必须是$2xy$，则小亮报一个除式是。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}x^2 - y}$
解析
【分析】
解题的核心是明确整式除法中被除式、除式、商式三者的关系：被除式÷除式=商式，由此可推导得出除式=被除式÷商式。接下来只需运用多项式除以单项式的运算法则，将被除式的每一项分别除以商式，再把所得的商相加即可算出结果。
【解析】
根据整式除法各部分的关系可得：
除式 = 被除式 ÷ 商式
将已知的被除式$x^3y - 2xy^2$和商式$2xy$代入，按多项式除以单项式的规则计算：
$\begin{aligned}&(x^3y - 2xy^2) ÷ 2xy \\=&x^3y ÷ 2xy - 2xy^2 ÷ 2xy \\=&\frac{1}{2}x^{3-1}y^{1-1} - (2÷2)x^{1-1}y^{2-1} \\=&\frac{1}{2}x^2 - y\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}x^2 - y}$
【知识点】
1. 整式除法各部分关系
2. 多项式除以单项式运算
【点评】
本题属于整式除法的基础应用题型，解题的关键是牢记除法各量间的关系，熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时注意同底数幂的指数运算规则不要混淆。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确整式除法中被除式、除式、商式三者的关系：被除式÷除式=商式，由此可推导得出除式=被除式÷商式。接下来只需运用多项式除以单项式的运算法则，将被除式的每一项分别除以商式，再把所得的商相加即可算出结果。
【解析】
根据整式除法各部分的关系可得：
除式 = 被除式 ÷ 商式
将已知的被除式$x^3y - 2xy^2$和商式$2xy$代入，按多项式除以单项式的规则计算：
$\begin{aligned}&(x^3y - 2xy^2) ÷ 2xy \\=&x^3y ÷ 2xy - 2xy^2 ÷ 2xy \\=&\frac{1}{2}x^{3-1}y^{1-1} - (2÷2)x^{1-1}y^{2-1} \\=&\frac{1}{2}x^2 - y\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}x^2 - y}$
【知识点】
1. 整式除法各部分关系
2. 多项式除以单项式运算
【点评】
本题属于整式除法的基础应用题型，解题的关键是牢记除法各量间的关系，熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时注意同底数幂的指数运算规则不要混淆。
【难度系数】
0.8
5. 化简求值: $[x^2+y^2-(x-y)^2+2y(x-y)]÷4y$,其中 $y=2x-10.$
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&[x^2+y^2-(x-y)^2+2y(x-y)]÷4y\\=&[x^2+y^2-(x^2-2xy+y^2)+2xy-2y^2]÷4y\\=&(x^2+y^2-x^2+2xy-y^2+2xy-2y^2)÷4y\\=&(4xy-2y^2)÷4y\\=&4xy÷4y - 2y^2÷4y\\=&x-\frac{1}{2}y\end{aligned}$
将$y=2x-10$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}x-\frac{1}{2}y&=x-\frac{1}{2}(2x-10)\\&=x-x+5\\&=5\end{aligned}$
所以原式的值为$\boldsymbol{5}$。
先化简原式：
$\begin{aligned}&[x^2+y^2-(x-y)^2+2y(x-y)]÷4y\\=&[x^2+y^2-(x^2-2xy+y^2)+2xy-2y^2]÷4y\\=&(x^2+y^2-x^2+2xy-y^2+2xy-2y^2)÷4y\\=&(4xy-2y^2)÷4y\\=&4xy÷4y - 2y^2÷4y\\=&x-\frac{1}{2}y\end{aligned}$
将$y=2x-10$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}x-\frac{1}{2}y&=x-\frac{1}{2}(2x-10)\\&=x-x+5\\&=5\end{aligned}$
所以原式的值为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的通用思路，可避免直接代入数值带来的繁琐计算。第一步先处理中括号内的运算：先利用完全平方公式展开$(x-y)^2$，再按单项式乘多项式法则计算$2y(x-y)$，去括号时注意带负号的括号要逐项变号，之后合并同类项得到最简多项式，再按多项式除以单项式的法则计算除法，得到原式的最简形式，最后将$y=2x-10$代入最简式计算即可，代入后$x$项会相互抵消，直接得到常数结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&[x^2+y^2-(x-y)^2+2y(x-y)]÷4y\\=&[x^2+y^2-(x^2-2xy+y^2)+2xy-2y^2]÷4y\\=&(x^2+y^2-x^2+2xy-y^2+2xy-2y^2)÷4y\\=&(4xy-2y^2)÷4y\\=&4xy÷4y - 2y^2÷4y\\=&x-\frac{1}{2}y\end{aligned}$
将$y=2x-10$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}x-\frac{1}{2}y&=x-\frac{1}{2}(2x-10)\\&=x-x+5\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
整式混合运算，完全平方公式，化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，核心考查整式运算的基本规则，需要注意去括号时的符号变化、完全平方公式的正确展开，养成先化简再求值的解题习惯可大幅降低计算出错概率，本题代入后未知数抵消的特征也提醒大家解题时要注意观察代数式的结构特点。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值类题目，解题遵循“先化简，再求值”的通用思路，可避免直接代入数值带来的繁琐计算。第一步先处理中括号内的运算：先利用完全平方公式展开$(x-y)^2$，再按单项式乘多项式法则计算$2y(x-y)$，去括号时注意带负号的括号要逐项变号，之后合并同类项得到最简多项式，再按多项式除以单项式的法则计算除法，得到原式的最简形式，最后将$y=2x-10$代入最简式计算即可，代入后$x$项会相互抵消，直接得到常数结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&[x^2+y^2-(x-y)^2+2y(x-y)]÷4y\\=&[x^2+y^2-(x^2-2xy+y^2)+2xy-2y^2]÷4y\\=&(x^2+y^2-x^2+2xy-y^2+2xy-2y^2)÷4y\\=&(4xy-2y^2)÷4y\\=&4xy÷4y - 2y^2÷4y\\=&x-\frac{1}{2}y\end{aligned}$
将$y=2x-10$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}x-\frac{1}{2}y&=x-\frac{1}{2}(2x-10)\\&=x-x+5\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
整式混合运算，完全平方公式，化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，核心考查整式运算的基本规则，需要注意去括号时的符号变化、完全平方公式的正确展开，养成先化简再求值的解题习惯可大幅降低计算出错概率，本题代入后未知数抵消的特征也提醒大家解题时要注意观察代数式的结构特点。
【难度系数】
0.8
1. 下列变形是因式分解的是 （）
A.$ x(x+1)=x^2+x $
B.$ x^2+2x+1=(x+1)^2 $
C.$ x^2+xy-3=x(x+y)-3 $
D.$ x^2+6x+4=(x+3)^2-5 $
A.$ x(x+1)=x^2+x $
B.$ x^2+2x+1=(x+1)^2 $
C.$ x^2+xy-3=x(x+y)-3 $
D.$ x^2+6x+4=(x+3)^2-5 $
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是牢记因式分解的定义：因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的变形，需满足两个核心要求：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式相乘的形式，不能为和差形式。我们只需对照这个定义逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的变形，叫做因式分解。对各选项逐一判断：
A选项：变形是从整式乘积的形式得到多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
B选项：左边是多项式$x^2+2x+1$，右边$(x+1)^2=(x+1)(x+1)$，是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，属于因式分解；
C选项：变形后的结果为$x(x+y)-3$，整体是差的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解；
D选项：变形后的结果为$(x+3)^2-5$，整体是差的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题关键是抓住因式分解结果为“几个整式的积”这一核心特征，同时要注意区分整式乘法和因式分解的变形方向，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题的核心是牢记因式分解的定义：因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的变形，需满足两个核心要求：①变形对象是多项式；②变形结果是几个整式相乘的形式，不能为和差形式。我们只需对照这个定义逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的变形，叫做因式分解。对各选项逐一判断：
A选项：变形是从整式乘积的形式得到多项式，属于整式的乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
B选项：左边是多项式$x^2+2x+1$，右边$(x+1)^2=(x+1)(x+1)$，是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，属于因式分解；
C选项：变形后的结果为$x(x+y)-3$，整体是差的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解；
D选项：变形后的结果为$(x+3)^2-5$，整体是差的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题关键是抓住因式分解结果为“几个整式的积”这一核心特征，同时要注意区分整式乘法和因式分解的变形方向，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. (2024·自贡)分解因式:$x^2 - 3x =$.
答案
解：
$x^2 - 3x = x(x - 3)$
$x^2 - 3x = x(x - 3)$
解析
【分析】
首先观察给定的多项式，是由两项组成的二项式，分解因式时先判断是否存在公因式。两项分别为$x^2$和$-3x$，它们都含有公共因式$x$，因此可以采用提公因式法进行因式分解，提取公因式$x$后，将原多项式的每一项除以公因式得到剩余的项，组合成括号内的多项式即可完成分解。
【解析】
对多项式$x^2 - 3x$提取公因式$x$：
$x^2 - 3x = x· x - x· 3 = x(x - 3)$
【答案】
$x(x - 3)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时优先观察多项式是否含有公因式，准确提取公因式即可得到结果，属于因式分解类的常考基础题。
【难度系数】
0.9
首先观察给定的多项式，是由两项组成的二项式，分解因式时先判断是否存在公因式。两项分别为$x^2$和$-3x$，它们都含有公共因式$x$，因此可以采用提公因式法进行因式分解，提取公因式$x$后，将原多项式的每一项除以公因式得到剩余的项，组合成括号内的多项式即可完成分解。
【解析】
对多项式$x^2 - 3x$提取公因式$x$：
$x^2 - 3x = x· x - x· 3 = x(x - 3)$
【答案】
$x(x - 3)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时优先观察多项式是否含有公因式，准确提取公因式即可得到结果，属于因式分解类的常考基础题。
【难度系数】
0.9
3. 分解因式：$x^2 -4x +4 =$ .
答案
解：
$x^2 -4x +4$
$=x^2 - 2· x· 2 + 2^2$
$=(x-2)^2$
$x^2 -4x +4$
$=x^2 - 2· x· 2 + 2^2$
$=(x-2)^2$
解析
【分析】
首先观察待分解的多项式是二次三项式，优先判断是否符合公式法因式分解的结构特征。回忆完全平方差公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对比原式：首项$x^2$对应公式里的$a^2$，即$a=x$；常数项$4=2^2$对应公式里的$b^2$，即$b=2$；中间项$-4x=-2·x·2$，刚好对应公式中的$-2ab$项，完全符合完全平方差公式的结构，因此直接套用公式即可完成分解。
【解析】
$x^2 -4x +4$
$=x^2 - 2· x· 2 + 2^2$
$=(x-2)^2$
【答案】
$(x-2)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式对应的a、b项即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察待分解的多项式是二次三项式，优先判断是否符合公式法因式分解的结构特征。回忆完全平方差公式：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对比原式：首项$x^2$对应公式里的$a^2$，即$a=x$；常数项$4=2^2$对应公式里的$b^2$，即$b=2$；中间项$-4x=-2·x·2$，刚好对应公式中的$-2ab$项，完全符合完全平方差公式的结构，因此直接套用公式即可完成分解。
【解析】
$x^2 -4x +4$
$=x^2 - 2· x· 2 + 2^2$
$=(x-2)^2$
【答案】
$(x-2)^2$
【知识点】
因式分解；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式对应的a、b项即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.已知$a^2 - b^2 = 12$，且$a - b = -2$，则$a + b =$。
答案
$\boldsymbol{-6}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件中$a^2 - b^2$的结构，可联想到平方差公式，对其因式分解得到$(a+b)(a-b)$，此时式子中恰好包含题目给出的已知量$a-b$和待求量$a+b$，将已知数值代入因式分解后的等式，即可直接求出$a+b$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
将$a^2 - b^2 = 12$，$a - b = -2$代入上式，得：
$12 = (a + b) × (-2)$
等式两边同时除以$-2$，解得：
$a + b = 12 ÷ (-2) = -6$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的逆用，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特点，直接代入已知条件即可求解，是对公式基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件中$a^2 - b^2$的结构，可联想到平方差公式，对其因式分解得到$(a+b)(a-b)$，此时式子中恰好包含题目给出的已知量$a-b$和待求量$a+b$，将已知数值代入因式分解后的等式，即可直接求出$a+b$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
将$a^2 - b^2 = 12$，$a - b = -2$代入上式，得：
$12 = (a + b) × (-2)$
等式两边同时除以$-2$，解得：
$a + b = 12 ÷ (-2) = -6$
【答案】
$\boldsymbol{-6}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的逆用，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特点，直接代入已知条件即可求解，是对公式基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
5. (2024·淄博)若多项式 $4x^2 - mxy + 9y^2$ 能用完全平方公式因式分解，则m的值是。
答案
$\boldsymbol{\pm12}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式有两种形式，分别为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即首平方、尾平方，中间是首尾乘积的2倍，符号可正可负。首先确定给定多项式的首项和尾项对应的平方项，再根据中间项的两种可能符号列等式求解m的值，注意不要漏解。
【解析】
首先将多项式的首项和尾项改写为平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$
因为多项式能用完全平方公式因式分解，所以它符合完全平方公式的两种结构：
$4x^2 - mxy + 9y^2=(2x+3y)^2$ 或 $4x^2 - mxy + 9y^2=(2x-3y)^2$
分别展开等号右侧的完全平方：
$(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$，对应中间项可得：$-m=12$，解得$m=-12$
$(2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$，对应中间项可得：$-m=-12$，解得$m=12$
综上，m的值为$\pm12$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm12}$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题是完全平方公式应用的基础题型，解题关键是牢记完全平方公式有和、差两种形式，中间项的符号有两种可能，避免漏解是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式有两种形式，分别为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，即首平方、尾平方，中间是首尾乘积的2倍，符号可正可负。首先确定给定多项式的首项和尾项对应的平方项，再根据中间项的两种可能符号列等式求解m的值，注意不要漏解。
【解析】
首先将多项式的首项和尾项改写为平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$
因为多项式能用完全平方公式因式分解，所以它符合完全平方公式的两种结构：
$4x^2 - mxy + 9y^2=(2x+3y)^2$ 或 $4x^2 - mxy + 9y^2=(2x-3y)^2$
分别展开等号右侧的完全平方：
$(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$，对应中间项可得：$-m=12$，解得$m=-12$
$(2x-3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$，对应中间项可得：$-m=-12$，解得$m=12$
综上，m的值为$\pm12$。
【答案】
$\boldsymbol{\pm12}$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题是完全平方公式应用的基础题型，解题关键是牢记完全平方公式有和、差两种形式，中间项的符号有两种可能，避免漏解是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
6. 配方法是数学中重要的一种思想方法,这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形,并结合非负数的意义来解决一些问题的.我们规定:一个整数能表示成$a^2+b^2$($a$、$b$是整数)的形式,则称这个整数为“完美数”.例如,因为$10=3^2+1^2$,所以10是“完美数”.
【解决问题】
(1)下列各数中,“完美数”有(填序号).
①29 ②48 ③13 ④28
(2)若$a^2-6a+18$可配方成$(a-m)^2+n^2$($m$、$n$为常数),则$mn$的值为.
(3)已知$S=a^2+4ab+5b^2-12b+k$($a$、$b$是整数,$k$是常数),要使$S$为“完美数”,试求出符合条件的一个$k$值,并说明理由.
【拓展应用】
(4)已知实数$a$、$b$满足$-a^2+5a+b-3=0$,求$a+b$的最小值.
【解决问题】
(1)下列各数中,“完美数”有(填序号).
①29 ②48 ③13 ④28
(2)若$a^2-6a+18$可配方成$(a-m)^2+n^2$($m$、$n$为常数),则$mn$的值为.
(3)已知$S=a^2+4ab+5b^2-12b+k$($a$、$b$是整数,$k$是常数),要使$S$为“完美数”,试求出符合条件的一个$k$值,并说明理由.
【拓展应用】
(4)已知实数$a$、$b$满足$-a^2+5a+b-3=0$,求$a+b$的最小值.
答案
解：
(1) ①③
(2) 9
(3) 取$k=36$，理由如下：
$S=a^2+4ab+5b^2-12b+k$
$=a^2+4ab+4b^2 + b^2 -12b + 36$
$=(a+2b)^2 + (b-6)^2$
∵a、b是整数，
∴$a+2b$、$b-6$均为整数，
∴S可以表示为两个整数的平方和，符合“完美数”的定义，故$k=36$是符合条件的一个值。
(4) 由$-a^2+5a+b-3=0$，变形得：
$b=a^2-5a+3$
∴$a+b=a + a^2 -5a +3 = a^2 -4a +3$
配方得：
$a^2-4a+3=(a-2)^2 -1$
∵$(a-2)^2≥0$，
∴当$a=2$时，$(a-2)^2$取得最小值0，
此时$a+b$取得最小值，最小值为$-1$。
(1) ①③
(2) 9
(3) 取$k=36$，理由如下：
$S=a^2+4ab+5b^2-12b+k$
$=a^2+4ab+4b^2 + b^2 -12b + 36$
$=(a+2b)^2 + (b-6)^2$
∵a、b是整数，
∴$a+2b$、$b-6$均为整数，
∴S可以表示为两个整数的平方和，符合“完美数”的定义，故$k=36$是符合条件的一个值。
(4) 由$-a^2+5a+b-3=0$，变形得：
$b=a^2-5a+3$
∴$a+b=a + a^2 -5a +3 = a^2 -4a +3$
配方得：
$a^2-4a+3=(a-2)^2 -1$
∵$(a-2)^2≥0$，
∴当$a=2$时，$(a-2)^2$取得最小值0，
此时$a+b$取得最小值，最小值为$-1$。
解析
【分析】
(1) 依据“完美数”的定义，逐一验证每个数是否可以表示为两个整数的平方和即可得出结果；
(2) 对多项式$a^2-6a+18$进行配方，将配方结果与$(a-m)^2+n^2$对照，求出$m$、$n$的值后计算$mn$即可；
(3) 利用拆项法将含$a$、$b$的项分组，分别配成完全平方形式，使剩余含$k$的部分满足完全平方的常数项要求，即可得到符合条件的$k$，再结合完美数定义验证即可；
(4) 先将已知等式变形，用含$a$的代数式表示$b$，代入$a+b$后得到关于$a$的二次多项式，配方后结合平方的非负性即可求出最小值。
【解析】
(1) ①$29=5^2+2^2$，符合完美数定义；②48无法拆成两个整数的平方和，不符合；③$13=3^2+2^2$，符合完美数定义；④28无法拆成两个整数的平方和，不符合。故完美数为①③。
(2) 对$a^2-6a+18$配方：
$a^2-6a+18=a^2-6a+9+9=(a-3)^2+3^2$
对照$(a-m)^2+n^2$得$m=3$，$n=3$，因此$mn=3×3=9$。
(3) 取$k=36$，理由如下：
$\begin{aligned}S&=a^2+4ab+5b^2-12b+k\\&=(a^2+4ab+4b^2)+(b^2-12b+36)\\&=(a+2b)^2+(b-6)^2\end{aligned}$
∵$a$、$b$是整数，
∴$a+2b$、$b-6$均为整数，即$S$可表示为两个整数的平方和，符合完美数的定义，因此$k=36$是符合条件的一个值（答案不唯一）。
(4) 由$-a^2+5a+b-3=0$变形得：$b=a^2-5a+3$，
代入$a+b$得：
$\begin{aligned}a+b&=a+a^2-5a+3\\&=a^2-4a+3\end{aligned}$
对多项式配方得：$a^2-4a+3=(a-2)^2-1$，
∵$(a-2)^2≥0$，
∴当$a=2$时，$(a-2)^2$取最小值0，此时$a+b$的最小值为$0-1=-1$。
【答案】
(1) ①③；(2) $9$；(3) $k=36$（答案不唯一）；(4) $-1$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题以新定义“完美数”为载体，综合考查了对新定义的理解、配方法的使用技巧以及利用非负数性质求最值的能力，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能对多项式进行合理拆分配方。
【难度系数】
0.7
(1) 依据“完美数”的定义，逐一验证每个数是否可以表示为两个整数的平方和即可得出结果；
(2) 对多项式$a^2-6a+18$进行配方，将配方结果与$(a-m)^2+n^2$对照，求出$m$、$n$的值后计算$mn$即可；
(3) 利用拆项法将含$a$、$b$的项分组，分别配成完全平方形式，使剩余含$k$的部分满足完全平方的常数项要求，即可得到符合条件的$k$，再结合完美数定义验证即可；
(4) 先将已知等式变形，用含$a$的代数式表示$b$，代入$a+b$后得到关于$a$的二次多项式，配方后结合平方的非负性即可求出最小值。
【解析】
(1) ①$29=5^2+2^2$，符合完美数定义；②48无法拆成两个整数的平方和，不符合；③$13=3^2+2^2$，符合完美数定义；④28无法拆成两个整数的平方和，不符合。故完美数为①③。
(2) 对$a^2-6a+18$配方：
$a^2-6a+18=a^2-6a+9+9=(a-3)^2+3^2$
对照$(a-m)^2+n^2$得$m=3$，$n=3$，因此$mn=3×3=9$。
(3) 取$k=36$，理由如下：
$\begin{aligned}S&=a^2+4ab+5b^2-12b+k\\&=(a^2+4ab+4b^2)+(b^2-12b+36)\\&=(a+2b)^2+(b-6)^2\end{aligned}$
∵$a$、$b$是整数，
∴$a+2b$、$b-6$均为整数，即$S$可表示为两个整数的平方和，符合完美数的定义，因此$k=36$是符合条件的一个值（答案不唯一）。
(4) 由$-a^2+5a+b-3=0$变形得：$b=a^2-5a+3$，
代入$a+b$得：
$\begin{aligned}a+b&=a+a^2-5a+3\\&=a^2-4a+3\end{aligned}$
对多项式配方得：$a^2-4a+3=(a-2)^2-1$，
∵$(a-2)^2≥0$，
∴当$a=2$时，$(a-2)^2$取最小值0，此时$a+b$的最小值为$0-1=-1$。
【答案】
(1) ①③；(2) $9$；(3) $k=36$（答案不唯一）；(4) $-1$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题以新定义“完美数”为载体，综合考查了对新定义的理解、配方法的使用技巧以及利用非负数性质求最值的能力，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能对多项式进行合理拆分配方。
【难度系数】
0.7
