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6. 某校为了扩建劳动实践基地,准备在长、宽如图1所示的长方形空地上修建横、纵宽度均为$a$ m的三条小路(阴影部分),其余部分(即空白部分)作为劳动实践基地. 则劳动实践基地的总面积是 $\mathrm{m}^2$.
答案
$\boldsymbol{2a^2+10ab+8b^2}$
解析
【分析】
求解含道路的空白区域面积问题时，可通过平移法将分散的空白区域拼接为规则的长方形，简化计算流程。首先确定拼接后长方形的长与宽：原长方形长为$2a+4b$，减去1条纵向小路的宽度$a$可得空白区域的长；原长方形宽为$4a+2b$，减去2条横向小路的总宽度$2a$可得空白区域的宽，最后根据长方形面积公式结合整式乘法法则计算即可。
【解析】
1. 平移空白区域，拼接得到全新的长方形：
拼接后长方形的长：$(2a+4b)-a=a+4b$
拼接后长方形的宽：$(4a+2b)-2a=2a+2b$
2. 根据长方形面积公式计算总面积：
$\begin{aligned}\mathrm{总面积}&=(a+4b)(2a+2b)\\&=a·2a + a·2b + 4b·2a + 4b·2b\\&=2a^2+2ab+8ab+8b^2\\&=2a^2+10ab+8b^2\end{aligned}$
【答案】
$2a^2+10ab+8b^2$
【知识点】
多项式乘多项式，平移法求面积，整式的混合运算
【点评】
本题解题核心是通过平移将不规则的空白区域转化为规则长方形，既简化了计算，也能避免直接减去阴影面积时重复扣除交叉区域的易错点，同时考查了多项式乘法的运算能力。
【难度系数】
0.7
求解含道路的空白区域面积问题时，可通过平移法将分散的空白区域拼接为规则的长方形，简化计算流程。首先确定拼接后长方形的长与宽：原长方形长为$2a+4b$，减去1条纵向小路的宽度$a$可得空白区域的长；原长方形宽为$4a+2b$，减去2条横向小路的总宽度$2a$可得空白区域的宽，最后根据长方形面积公式结合整式乘法法则计算即可。
【解析】
1. 平移空白区域，拼接得到全新的长方形：
拼接后长方形的长：$(2a+4b)-a=a+4b$
拼接后长方形的宽：$(4a+2b)-2a=2a+2b$
2. 根据长方形面积公式计算总面积：
$\begin{aligned}\mathrm{总面积}&=(a+4b)(2a+2b)\\&=a·2a + a·2b + 4b·2a + 4b·2b\\&=2a^2+2ab+8ab+8b^2\\&=2a^2+10ab+8b^2\end{aligned}$
【答案】
$2a^2+10ab+8b^2$
【知识点】
多项式乘多项式，平移法求面积，整式的混合运算
【点评】
本题解题核心是通过平移将不规则的空白区域转化为规则长方形，既简化了计算，也能避免直接减去阴影面积时重复扣除交叉区域的易错点，同时考查了多项式乘法的运算能力。
【难度系数】
0.7
7. 化简：
(1) $2(2x^2 - xy) + x(x - y)$;
(2) $ab(2ab^2 - a^2b) - (2ab)^2b + a^3b^2$.
(1) $2(2x^2 - xy) + x(x - y)$;
(2) $ab(2ab^2 - a^2b) - (2ab)^2b + a^3b^2$.
答案
解：
(1) 原式 = 4x² - 2xy + x² - xy
= 5x² - 3xy
(2) 原式 = 2a²b³ - a³b² - 4a²b³ + a³b²
= -2a²b³
(1) 原式 = 4x² - 2xy + x² - xy
= 5x² - 3xy
(2) 原式 = 2a²b³ - a³b² - 4a²b³ + a³b²
= -2a²b³
解析
【分析】
这两道题均为整式混合运算题，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步先根据单项式乘多项式法则、积的乘方法则展开所有乘法项，展开时注意不要漏乘多项式的每一项，同时关注符号变化；第二步找出展开式中的同类项，按照合并同类项法则合并同类项，即可得到化简结果。
【解析】
(1) 先根据单项式乘多项式法则展开各项：
原式 $= 4x^2 - 2xy + x^2 - xy$
再合并同类项：
$= (4x^2+x^2) + (-2xy-xy)$
$= 5x^2 - 3xy$
(2) 先计算单项式乘多项式、积的乘方运算：
原式 $= 2a^2b^3 - a^3b^2 - 4a^2b^3 + a^3b^2$
再合并同类项：
$= (2a^2b^3-4a^2b^3) + (-a^3b^2+a^3b^2)$
$= -2a^2b^3$
【答案】
(1) $5x^2 - 3xy$；(2) $-2a^2b^3$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法的相关运算法则，解题的核心是注意运算顺序和符号处理，熟练掌握该类题型可为后续整式混合运算、因式分解等知识的学习打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
这两道题均为整式混合运算题，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步先根据单项式乘多项式法则、积的乘方法则展开所有乘法项，展开时注意不要漏乘多项式的每一项，同时关注符号变化；第二步找出展开式中的同类项，按照合并同类项法则合并同类项，即可得到化简结果。
【解析】
(1) 先根据单项式乘多项式法则展开各项：
原式 $= 4x^2 - 2xy + x^2 - xy$
再合并同类项：
$= (4x^2+x^2) + (-2xy-xy)$
$= 5x^2 - 3xy$
(2) 先计算单项式乘多项式、积的乘方运算：
原式 $= 2a^2b^3 - a^3b^2 - 4a^2b^3 + a^3b^2$
再合并同类项：
$= (2a^2b^3-4a^2b^3) + (-a^3b^2+a^3b^2)$
$= -2a^2b^3$
【答案】
(1) $5x^2 - 3xy$；(2) $-2a^2b^3$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法的相关运算法则，解题的核心是注意运算顺序和符号处理，熟练掌握该类题型可为后续整式混合运算、因式分解等知识的学习打下扎实基础。
【难度系数】
0.8
8. 计算：
(1)$(2x+3)(-x-1)$；
(2)$(2m-1)(3m-2)$；
(3)$x(y-x)-y(x-y)$。
(1)$(2x+3)(-x-1)$；
(2)$(2m-1)(3m-2)$；
(3)$x(y-x)-y(x-y)$。
答案
解：
(1) 原式 = 2x·(-x) + 2x·(-1) + 3·(-x) + 3·(-1)
= -2x² - 2x - 3x - 3
= -2x² - 5x - 3
(2) 原式 = 2m·3m + 2m·(-2) + (-1)·3m + (-1)·(-2)
= 6m² - 4m - 3m + 2
= 6m² - 7m + 2
(3) 原式 = xy - x² - xy + y²
= y² - x²
(1) 原式 = 2x·(-x) + 2x·(-1) + 3·(-x) + 3·(-1)
= -2x² - 2x - 3x - 3
= -2x² - 5x - 3
(2) 原式 = 2m·3m + 2m·(-2) + (-1)·3m + (-1)·(-2)
= 6m² - 4m - 3m + 2
= 6m² - 7m + 2
(3) 原式 = xy - x² - xy + y²
= y² - x²
解析
【分析】
这三道题均属于整式乘法运算类题目，解题思路清晰：①第(1)(2)题是两个二项式相乘，需运用多项式乘多项式法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最简结果，计算时要注意每项自带的符号，避免漏乘；②第(3)题是单项式乘多项式的混合运算，先根据单项式乘多项式法则分别展开两个乘积项，去括号时要注意：括号前是负号时，括号内各项都要变号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 原式 = 2x·(-x) + 2x·(-1) + 3·(-x) + 3·(-1)
= -2x² - 2x - 3x - 3
= -2x² - 5x - 3
(2) 原式 = 2m·3m + 2m·(-2) + (-1)·3m + (-1)·(-2)
= 6m² - 4m - 3m + 2
= 6m² - 7m + 2
(3) 原式 = xy - x² - xy + y²
= y² - x²
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x^2 - 5x - 3}$
(2) $\boldsymbol{6m^2 - 7m + 2}$
(3) $\boldsymbol{y^2 - x^2}$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查整式乘法的运算法则，解题最易出错的点是运算过程中的符号处理，常见错误有漏乘项、去括号符号错误、同类项合并计算错误，这类基础运算需要多加练习巩固，为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于整式乘法运算类题目，解题思路清晰：①第(1)(2)题是两个二项式相乘，需运用多项式乘多项式法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最简结果，计算时要注意每项自带的符号，避免漏乘；②第(3)题是单项式乘多项式的混合运算，先根据单项式乘多项式法则分别展开两个乘积项，去括号时要注意：括号前是负号时，括号内各项都要变号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 原式 = 2x·(-x) + 2x·(-1) + 3·(-x) + 3·(-1)
= -2x² - 2x - 3x - 3
= -2x² - 5x - 3
(2) 原式 = 2m·3m + 2m·(-2) + (-1)·3m + (-1)·(-2)
= 6m² - 4m - 3m + 2
= 6m² - 7m + 2
(3) 原式 = xy - x² - xy + y²
= y² - x²
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2x^2 - 5x - 3}$
(2) $\boldsymbol{6m^2 - 7m + 2}$
(3) $\boldsymbol{y^2 - x^2}$
【知识点】
多项式乘多项式、单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查整式乘法的运算法则，解题最易出错的点是运算过程中的符号处理，常见错误有漏乘项、去括号符号错误、同类项合并计算错误，这类基础运算需要多加练习巩固，为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
