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12. 声音的强弱用分贝表示,通常人们讲话时的声音是50分贝,它表示声音的强度是$10^5$;汽车的声音是100分贝,表示声音的强度是$10^{10}$;喷气式飞机的声音是150分贝.求:
(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍?
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍?
(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍?
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍?
答案
解：
(1) 计算汽车声音的强度是人声音的强度的倍数：
$10^{10} ÷ 10^5 = 10^{10-5} = 10^5$
(2) 由题中分贝与声音强度的对应关系，可得150分贝的喷气式飞机声音强度为$10^{15}$，因此喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的倍数为：
$10^{15} ÷ 10^{10} = 10^{15-10} = 10^5$
答：(1) 汽车声音的强度是人声音的强度的$10^5$倍；(2) 喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的$10^5$倍。
(1) 计算汽车声音的强度是人声音的强度的倍数：
$10^{10} ÷ 10^5 = 10^{10-5} = 10^5$
(2) 由题中分贝与声音强度的对应关系，可得150分贝的喷气式飞机声音强度为$10^{15}$，因此喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的倍数为：
$10^{15} ÷ 10^{10} = 10^{15-10} = 10^5$
答：(1) 汽车声音的强度是人声音的强度的$10^5$倍；(2) 喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的$10^5$倍。
解析
【分析】
本题是结合生活场景的幂运算应用题，解题思路清晰：首先明确求两个量的倍数关系用除法计算。第(1)问可直接从题干提取人和汽车的声音强度，利用同底数幂的除法法则计算即可。第(2)问需要先观察已知的分贝与声音强度的对应规律：50分贝对应$10^5$、100分贝对应$10^{10}$，可推出分贝数等于10的指数的10倍，由此得到150分贝对应的声音强度，再用同底数幂的除法计算倍数即可。
【解析】
(1) 计算汽车声音强度是人声音强度的倍数：
$10^{10} ÷ 10^5 = 10^{10-5} = 10^5$
(2) 根据已知对应规律可得，150分贝的喷气式飞机声音强度为$10^{15}$，计算喷气式飞机声音强度是汽车声音强度的倍数：
$10^{15} ÷ 10^{10} = 10^{15-10} = 10^5$
【答案】
(1) 汽车声音的强度是人声音的强度的$10^5$倍；
(2) 喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的$10^5$倍。
【知识点】
同底数幂的除法、规律探究、倍数计算
【点评】
本题结合生活中常见的分贝常识命题，既考查了基础的幂运算能力，也考查了从已知条件中归纳规律的能力，运算难度低，注重数学知识在实际场景中的应用。
【难度系数】
0.8
本题是结合生活场景的幂运算应用题，解题思路清晰：首先明确求两个量的倍数关系用除法计算。第(1)问可直接从题干提取人和汽车的声音强度，利用同底数幂的除法法则计算即可。第(2)问需要先观察已知的分贝与声音强度的对应规律：50分贝对应$10^5$、100分贝对应$10^{10}$，可推出分贝数等于10的指数的10倍，由此得到150分贝对应的声音强度，再用同底数幂的除法计算倍数即可。
【解析】
(1) 计算汽车声音强度是人声音强度的倍数：
$10^{10} ÷ 10^5 = 10^{10-5} = 10^5$
(2) 根据已知对应规律可得，150分贝的喷气式飞机声音强度为$10^{15}$，计算喷气式飞机声音强度是汽车声音强度的倍数：
$10^{15} ÷ 10^{10} = 10^{15-10} = 10^5$
【答案】
(1) 汽车声音的强度是人声音的强度的$10^5$倍；
(2) 喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的$10^5$倍。
【知识点】
同底数幂的除法、规律探究、倍数计算
【点评】
本题结合生活中常见的分贝常识命题，既考查了基础的幂运算能力，也考查了从已知条件中归纳规律的能力，运算难度低，注重数学知识在实际场景中的应用。
【难度系数】
0.8
1. (2024·兰州)计算:$2a(a-1)-2a^2=$ ()
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
答案
D
解析
【分析】
这是一道整式混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：首先利用单项式乘多项式的法则计算$2a(a-1)$，再将展开后的式子代入原式，合并同类项即可得到最终结果，最后匹配对应选项。
【解析】
解：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则展开$2a(a-1)$：
$2a(a-1)=2a·a - 2a·1=2a^2 - 2a$
第二步，将展开结果代入原式，合并同类项：
$2a(a-1)-2a^2=(2a^2 - 2a)-2a^2=2a^2 - 2a - 2a^2=-2a$
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查整式运算的基本规则，运算过程中注意符号判断，避免因粗心出现计算失误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：首先利用单项式乘多项式的法则计算$2a(a-1)$，再将展开后的式子代入原式，合并同类项即可得到最终结果，最后匹配对应选项。
【解析】
解：第一步，根据单项式乘多项式的运算法则展开$2a(a-1)$：
$2a(a-1)=2a·a - 2a·1=2a^2 - 2a$
第二步，将展开结果代入原式，合并同类项：
$2a(a-1)-2a^2=(2a^2 - 2a)-2a^2=2a^2 - 2a - 2a^2=-2a$
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查整式运算的基本规则，运算过程中注意符号判断，避免因粗心出现计算失误。
【难度系数】
0.8
2. $2x · 3x^2$ 的值是（）
A.$5x^2$
B.$5x^3$
C.$6x^2$
D.$6x^3$
A.$5x^2$
B.$5x^3$
C.$6x^2$
D.$6x^3$
答案
D
解析
【分析】
这是一道单项式乘单项式的基础运算题，解题思路可分为两步：第一步先计算两个单项式系数的乘积，第二步计算相同字母的幂的乘积，根据同底数幂相乘的运算性质，底数不变，指数相加，最后把两部分的结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 先算系数的乘积：$2 × 3 = 6$
2. 再算同底数幂的乘积：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$x · x^2 = x^{1+2} = x^3$
3. 合并两部分结果可得：$2x · 3x^2 = 6x^3$
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，主要考查单项式乘法的运算法则，只要熟练掌握相关运算规则就能快速得出正确结果，是后续学习复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.9
这是一道单项式乘单项式的基础运算题，解题思路可分为两步：第一步先计算两个单项式系数的乘积，第二步计算相同字母的幂的乘积，根据同底数幂相乘的运算性质，底数不变，指数相加，最后把两部分的结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 先算系数的乘积：$2 × 3 = 6$
2. 再算同底数幂的乘积：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$x · x^2 = x^{1+2} = x^3$
3. 合并两部分结果可得：$2x · 3x^2 = 6x^3$
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，主要考查单项式乘法的运算法则，只要熟练掌握相关运算规则就能快速得出正确结果，是后续学习复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.9
3. 下列运算正确的是 （）
A.$x - 2x = x$
B.$x(x + 3) = x^2 + 3$
C.$(-2x^2)^3 = -8x^6$
D.$3x^2 · 4x^2 = 12x^2$
A.$x - 2x = x$
B.$x(x + 3) = x^2 + 3$
C.$(-2x^2)^3 = -8x^6$
D.$3x^2 · 4x^2 = 12x^2$
答案
C
解析
【分析】
本题是整式运算正误判断题，解题思路为逐一验证每个选项的运算是否符合对应运算法则：首先回忆合并同类项、单项式乘多项式、积的乘方、单项式乘单项式的运算规则，再分别计算每个选项的结果，与选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：合并同类项时，同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，$x-2x=(1-2)x=-x≠ x$，故A错误；
B选项：单项式乘多项式，需用单项式乘多项式的每一项再相加，$x(x+3)=x· x + x· 3=x^2+3x≠ x^2+3$，故B错误；
C选项：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，$(-2x^2)^3=(-2)^3· (x^2)^3=-8x^{2×3}=-8x^6$，运算正确，故C正确；
D选项：单项式乘单项式，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变指数相加，$3x^2· 4x^2=(3×4)· x^{2+2}=12x^4≠12x^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；整式的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算考查题，重点检验对整式各类运算法则的掌握程度，解题时需注意运算中系数、指数的计算规则，避免因粗心漏乘、指数计算错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是整式运算正误判断题，解题思路为逐一验证每个选项的运算是否符合对应运算法则：首先回忆合并同类项、单项式乘多项式、积的乘方、单项式乘单项式的运算规则，再分别计算每个选项的结果，与选项给出的结果对比，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：合并同类项时，同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变，$x-2x=(1-2)x=-x≠ x$，故A错误；
B选项：单项式乘多项式，需用单项式乘多项式的每一项再相加，$x(x+3)=x· x + x· 3=x^2+3x≠ x^2+3$，故B错误；
C选项：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，$(-2x^2)^3=(-2)^3· (x^2)^3=-8x^{2×3}=-8x^6$，运算正确，故C正确；
D选项：单项式乘单项式，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变指数相加，$3x^2· 4x^2=(3×4)· x^{2+2}=12x^4≠12x^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
合并同类项；整式的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算考查题，重点检验对整式各类运算法则的掌握程度，解题时需注意运算中系数、指数的计算规则，避免因粗心漏乘、指数计算错误失分。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算正确的是（）
A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a(a+1) = a^2 + a$
A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^6$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a(a+1) = a^2 + a$
答案
D
解析
【分析】
这道题是整式运算的正误判断题，解题时需要依次对每个选项运用对应的整式运算法则计算，逐一排除错误选项即可得到正确答案：首先判断是否为同类项确定能否合并，再分别运用同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的法则验证各选项计算是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $a^2$与$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，因此A计算错误；
B. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠a^6$，因此B计算错误；
C. 根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，因此C计算错误；
D. 根据单项式乘多项式的法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(a+1)=a·a + a·1=a^2+a$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 合并同类项
2. 幂的运算
3. 单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，核心是区分各类整式运算法则的差异，避免混淆幂运算中指数的运算规则，是整式乘法章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
这道题是整式运算的正误判断题，解题时需要依次对每个选项运用对应的整式运算法则计算，逐一排除错误选项即可得到正确答案：首先判断是否为同类项确定能否合并，再分别运用同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘多项式的法则验证各选项计算是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $a^2$与$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，因此A计算错误；
B. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠a^6$，因此B计算错误；
C. 根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，因此C计算错误；
D. 根据单项式乘多项式的法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(a+1)=a·a + a·1=a^2+a$，因此D计算正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 合并同类项
2. 幂的运算
3. 单项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，核心是区分各类整式运算法则的差异，避免混淆幂运算中指数的运算规则，是整式乘法章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 某人计算$(x-2)(x+■)$时,已正确得出结果中的一次项系数为-1,不小心将第二个括号中的常数染黑了,则被染黑的常数为.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
我们可以先设被染黑的常数为$a$，解题时先利用多项式乘多项式的运算法则展开$(x-2)(x+a)$，找到展开式中的一次项，根据题目给出的一次项系数为$-1$的条件，建立关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出被染黑的常数。
【解析】
设被染黑的常数为$a$，
根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(x-2)(x+a)&=x^2 + ax - 2x - 2a\\&=x^2 + (a-2)x - 2a\end{aligned}$
由题意得一次项系数为$-1$，即：
$a - 2 = -1$
解得：$a = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
多项式乘多项式，多项式的系数，解一元一次方程
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查多项式乘多项式的展开规则，通过对应项系数相等建立方程是解决这类问题的常用思路，熟练掌握整式乘法运算规则就能快速作答。
【难度系数】
0.8
我们可以先设被染黑的常数为$a$，解题时先利用多项式乘多项式的运算法则展开$(x-2)(x+a)$，找到展开式中的一次项，根据题目给出的一次项系数为$-1$的条件，建立关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出被染黑的常数。
【解析】
设被染黑的常数为$a$，
根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(x-2)(x+a)&=x^2 + ax - 2x - 2a\\&=x^2 + (a-2)x - 2a\end{aligned}$
由题意得一次项系数为$-1$，即：
$a - 2 = -1$
解得：$a = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
多项式乘多项式，多项式的系数，解一元一次方程
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查多项式乘多项式的展开规则，通过对应项系数相等建立方程是解决这类问题的常用思路，熟练掌握整式乘法运算规则就能快速作答。
【难度系数】
0.8
