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三、选一选。（把正确答案的序号填在括号里）（12分）
1. a是一个大于1的数，下列算式中结果最大的是（
A.$a÷\frac{2}{5}$
B.$a×\frac{2}{5}$
C.$\frac{2}{5}÷ a$
D.$\frac{3}{5}× a$
1. a是一个大于1的数，下列算式中结果最大的是（
A
）。A.$a÷\frac{2}{5}$
B.$a×\frac{2}{5}$
C.$\frac{2}{5}÷ a$
D.$\frac{3}{5}× a$
答案
1. A
解析
【分析】
要比较四个算式的大小，我们可以用两种常用思路：一是规律法，利用分数乘除法中积和因数、商和被除数的大小关系判断；二是赋值法，因为a是大于1的数，我们可以给a赋一个具体的大于1的数值，代入各选项计算出结果后再比较，两种方法都能快速得出答案。
【解析】
方法一：规律判断法
首先将除法算式转化为乘法方便比较：
A选项：$a÷\frac{2}{5}=a×\frac{5}{2}$
首先分析C选项：$\frac{2}{5}÷a$，因为a＞1，一个正数除以大于1的数，商小于被除数，所以$\frac{2}{5}÷a＜\frac{2}{5}$，是四个选项里最小的。
剩下A、B、D三个算式都为a乘一个数的形式，因为a＞1＞0，另一个因数越大，乘积越大。比较三个因数：$\frac{5}{2}＞\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，所以$a×\frac{5}{2}$的结果最大，即A选项结果最大。
方法二：赋值法
假设a=5（取任意大于1的数都可以），分别计算四个选项：
A：$5÷\frac{2}{5}=5×\frac{5}{2}=12.5$
B：$5×\frac{2}{5}=2$
C：$\frac{2}{5}÷5=\frac{2}{25}=0.08$
D：$5×\frac{3}{5}=3$
比较结果：$12.5＞3＞2＞0.08$，所以A选项结果最大。
【答案】
A
【知识点】
分数乘除法运算、积与因数的关系、商与被除数的关系
【点评】
本题考查分数乘除法的相关性质，解题方法灵活，既可以通过代入具体数值计算比较，也可以直接利用乘除法的变化规律快速判断，熟练掌握相关规律能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
要比较四个算式的大小，我们可以用两种常用思路：一是规律法，利用分数乘除法中积和因数、商和被除数的大小关系判断；二是赋值法，因为a是大于1的数，我们可以给a赋一个具体的大于1的数值，代入各选项计算出结果后再比较，两种方法都能快速得出答案。
【解析】
方法一：规律判断法
首先将除法算式转化为乘法方便比较：
A选项：$a÷\frac{2}{5}=a×\frac{5}{2}$
首先分析C选项：$\frac{2}{5}÷a$，因为a＞1，一个正数除以大于1的数，商小于被除数，所以$\frac{2}{5}÷a＜\frac{2}{5}$，是四个选项里最小的。
剩下A、B、D三个算式都为a乘一个数的形式，因为a＞1＞0，另一个因数越大，乘积越大。比较三个因数：$\frac{5}{2}＞\frac{3}{5}＞\frac{2}{5}$，所以$a×\frac{5}{2}$的结果最大，即A选项结果最大。
方法二：赋值法
假设a=5（取任意大于1的数都可以），分别计算四个选项：
A：$5÷\frac{2}{5}=5×\frac{5}{2}=12.5$
B：$5×\frac{2}{5}=2$
C：$\frac{2}{5}÷5=\frac{2}{25}=0.08$
D：$5×\frac{3}{5}=3$
比较结果：$12.5＞3＞2＞0.08$，所以A选项结果最大。
【答案】
A
【知识点】
分数乘除法运算、积与因数的关系、商与被除数的关系
【点评】
本题考查分数乘除法的相关性质，解题方法灵活，既可以通过代入具体数值计算比较，也可以直接利用乘除法的变化规律快速判断，熟练掌握相关规律能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
2.【数形结合】已知a、b两数在数轴上的位置如下图所示，则$\frac{3}{4}÷a$（
A.＞
B.＜
C.=
D.无法比较
A
）$\frac{3}{4}÷b$。A.＞
B.＜
C.=
D.无法比较
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，根据“数轴上右侧的数总比左侧的数大”，先确定a、b的大小关系：0＜a＜1＜b，即a＜b且两数均为正数。接下来观察要比较的两个算式，发现被除数均为$\frac{3}{4}$，此时有两种思路：一是回忆除法中商的变化规律，被除数不为0时，除以正数，除数越小商越大，直接根据a、b的大小判断商的大小；二是用赋值法，给a、b取符合范围的具体数值，分别计算两个算式的结果再比较，两种方法都能快速得到答案。
【解析】
方法1（规律法）：
1. 由数轴可知：0 ＜ a ＜ 1 ＜ b，可得a ＜ b，且a、b都是正数。
2. 两个算式的被除数相同，都是不为0的$\frac{3}{4}$，根据除法的商的变化规律：被除数不变，除以一个正数时，除数越小，商越大。
3. 因为a ＜ b，所以$\frac{3}{4}÷a ＞ \frac{3}{4}÷b$。
方法2（赋值法验证）：
取符合数轴范围的数值，令$a=\frac{1}{2}$，$b=2$：
$\frac{3}{4}÷a = \frac{3}{4}÷\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$\frac{3}{4}÷b = \frac{3}{4}÷2 = \frac{3}{8}$
因为$\frac{3}{2}＞\frac{3}{8}$，所以$\frac{3}{4}÷a ＞ \frac{3}{4}÷b$。
【答案】
A
【知识点】
1. 数轴比较数的大小 2. 商的变化规律 3. 分数除法计算
【点评】
本题是数形结合的基础题型，结合数轴考查数的大小判断和除法运算规律，既可以用规律直接推导，也可以用赋值法计算验证，解题方式灵活，能够很好地考查学生对基础规律的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴，根据“数轴上右侧的数总比左侧的数大”，先确定a、b的大小关系：0＜a＜1＜b，即a＜b且两数均为正数。接下来观察要比较的两个算式，发现被除数均为$\frac{3}{4}$，此时有两种思路：一是回忆除法中商的变化规律，被除数不为0时，除以正数，除数越小商越大，直接根据a、b的大小判断商的大小；二是用赋值法，给a、b取符合范围的具体数值，分别计算两个算式的结果再比较，两种方法都能快速得到答案。
【解析】
方法1（规律法）：
1. 由数轴可知：0 ＜ a ＜ 1 ＜ b，可得a ＜ b，且a、b都是正数。
2. 两个算式的被除数相同，都是不为0的$\frac{3}{4}$，根据除法的商的变化规律：被除数不变，除以一个正数时，除数越小，商越大。
3. 因为a ＜ b，所以$\frac{3}{4}÷a ＞ \frac{3}{4}÷b$。
方法2（赋值法验证）：
取符合数轴范围的数值，令$a=\frac{1}{2}$，$b=2$：
$\frac{3}{4}÷a = \frac{3}{4}÷\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$\frac{3}{4}÷b = \frac{3}{4}÷2 = \frac{3}{8}$
因为$\frac{3}{2}＞\frac{3}{8}$，所以$\frac{3}{4}÷a ＞ \frac{3}{4}÷b$。
【答案】
A
【知识点】
1. 数轴比较数的大小 2. 商的变化规律 3. 分数除法计算
【点评】
本题是数形结合的基础题型，结合数轴考查数的大小判断和除法运算规律，既可以用规律直接推导，也可以用赋值法计算验证，解题方式灵活，能够很好地考查学生对基础规律的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
3.【数形结合】下面四幅图中的a和b表示不同的数，则图(
C
)中的a和b互为倒数。答案
3. C
解析
【分析】要判断a和b是否互为倒数，首先明确倒数的核心特征：两个数的乘积为1。我们只需结合每个图对应的几何公式，推导a和b的数量关系，筛选出满足$a×b=1$的选项即可。解题时先回忆各图形的计算公式，再逐个代入条件验证关系式。
【解析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形面积=底×高÷2，已知面积为1，底为a，高为b，代入得$\frac{1}{2}ab=1$，计算得$ab=2$，不符合乘积为1的要求，排除。
2. 选项B：线段总长度为两段长度之和，已知总长为1，可得$a+b=1$，是和为1，不是乘积为1，排除。
3. 选项C：长方形面积=长×宽，已知面积为1，长为a，宽为b，代入得$ab=1$，符合倒数的定义，当选。
4. 选项D：长方体体积=长×宽×高，已知体积为1，长宽高分别为b、a、a，代入得$a^2b=1$，不符合$ab=1$的要求，排除。
【答案】C
【知识点】1.倒数的定义 2.长方形面积计算
【点评】本题属于数形结合的基础题型，将数的概念和几何计算公式结合考查，只要熟练掌握倒数的定义和常见图形的基础计算公式，细心推导就能快速得出答案。
【难度系数】0.8
【解析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形面积=底×高÷2，已知面积为1，底为a，高为b，代入得$\frac{1}{2}ab=1$，计算得$ab=2$，不符合乘积为1的要求，排除。
2. 选项B：线段总长度为两段长度之和，已知总长为1，可得$a+b=1$，是和为1，不是乘积为1，排除。
3. 选项C：长方形面积=长×宽，已知面积为1，长为a，宽为b，代入得$ab=1$，符合倒数的定义，当选。
4. 选项D：长方体体积=长×宽×高，已知体积为1，长宽高分别为b、a、a，代入得$a^2b=1$，不符合$ab=1$的要求，排除。
【答案】C
【知识点】1.倒数的定义 2.长方形面积计算
【点评】本题属于数形结合的基础题型，将数的概念和几何计算公式结合考查，只要熟练掌握倒数的定义和常见图形的基础计算公式，细心推导就能快速得出答案。
【难度系数】0.8
4.【数形结合】如图，下面说法错误的是(
A.红粉笔比白粉笔少$\frac{2}{5}$
B.白粉笔比红粉笔多$\frac{2}{3}$
C.红、白粉笔的和是白粉笔的$\frac{8}{5}$
D.红、白粉笔的差是红粉笔的$\frac{2}{5}$
D
)。A.红粉笔比白粉笔少$\frac{2}{5}$
B.白粉笔比红粉笔多$\frac{2}{3}$
C.红、白粉笔的和是白粉笔的$\frac{8}{5}$
D.红、白粉笔的差是红粉笔的$\frac{2}{5}$
答案
4. D
解析
【分析】
首先观察线段图，可得出红粉笔对应3份、白粉笔对应5份，两者相差2份。判断各选项对错的核心是找准单位“1”：求A比B多/少几分之几，就用两者的差除以单位“1”B的量；求A是B的几分之几，就用A除以B。接下来逐个验证选项即可找出错误说法。
【解析】
由线段图可知，将每一段看作1份，则红粉笔共3份，白粉笔共5份，两种粉笔相差$5-3=2$份。
选项A：红粉笔比白粉笔少几分之几，单位“1”是白粉笔的份数，计算得：$2÷5=\frac{2}{5}$，说法正确。
选项B：白粉笔比红粉笔多几分之几，单位“1”是红粉笔的份数，计算得：$2÷3=\frac{2}{3}$，说法正确。
选项C：红、白粉笔的和是$3+5=8$份，是白粉笔的几分之几，单位“1”是白粉笔的份数，计算得：$8÷5=\frac{8}{5}$，说法正确。
选项D：红、白粉笔的差是2份，是红粉笔的几分之几，单位“1”是红粉笔的份数，计算得：$2÷3=\frac{2}{3}≠\frac{2}{5}$，说法错误。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分数的意义；求一个数是另一个数的几分之几；求一个数比另一个数多（少）几分之几
【点评】
本题结合线段图考查分数相关计算，解题的关键是准确区分不同问题中的单位“1”，避免因单位“1”混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
首先观察线段图，可得出红粉笔对应3份、白粉笔对应5份，两者相差2份。判断各选项对错的核心是找准单位“1”：求A比B多/少几分之几，就用两者的差除以单位“1”B的量；求A是B的几分之几，就用A除以B。接下来逐个验证选项即可找出错误说法。
【解析】
由线段图可知，将每一段看作1份，则红粉笔共3份，白粉笔共5份，两种粉笔相差$5-3=2$份。
选项A：红粉笔比白粉笔少几分之几，单位“1”是白粉笔的份数，计算得：$2÷5=\frac{2}{5}$，说法正确。
选项B：白粉笔比红粉笔多几分之几，单位“1”是红粉笔的份数，计算得：$2÷3=\frac{2}{3}$，说法正确。
选项C：红、白粉笔的和是$3+5=8$份，是白粉笔的几分之几，单位“1”是白粉笔的份数，计算得：$8÷5=\frac{8}{5}$，说法正确。
选项D：红、白粉笔的差是2份，是红粉笔的几分之几，单位“1”是红粉笔的份数，计算得：$2÷3=\frac{2}{3}≠\frac{2}{5}$，说法错误。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分数的意义；求一个数是另一个数的几分之几；求一个数比另一个数多（少）几分之几
【点评】
本题结合线段图考查分数相关计算，解题的关键是准确区分不同问题中的单位“1”，避免因单位“1”混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
5.一辆汽车从甲地到乙地，已经行驶了全程的$\frac{2}{5}$，这时距离终点还有225千米。已经行驶了(
A.100
B.120
C.150
D.200
C
)千米。A.100
B.120
C.150
D.200
答案
5. C
解析
【分析】
这是一道分数应用题，解题的关键是先确定单位“1”为甲乙两地的全程。首先计算剩下的路程占全程的分率，已知剩余路程的实际长度是225千米，利用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”求出全程的长度，最后用全程乘已经行驶的分率，即可得到已经行驶的路程。
【解析】
1. 计算剩余路程占全程的分率：
把全程看作单位“1”，已经行驶了$\frac{2}{5}$，则剩余路程占全程的$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。
2. 计算甲乙两地全程长度：
剩余的225千米对应全程的$\frac{3}{5}$，因此全程长度为$225÷\frac{3}{5}=225×\frac{5}{3}=375$（千米）。
3. 计算已经行驶的路程：
已经行驶的路程是全程的$\frac{2}{5}$，即$375×\frac{2}{5}=150$（千米）。
【答案】
C
【知识点】
1. 分数除法应用题
2. 单位“1”的应用
【点评】
本题属于分数应用的常规题型，核心是找准数量和分率的对应关系，先求出单位“1”的总数量，再求解对应的部分量，熟练掌握对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道分数应用题，解题的关键是先确定单位“1”为甲乙两地的全程。首先计算剩下的路程占全程的分率，已知剩余路程的实际长度是225千米，利用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”求出全程的长度，最后用全程乘已经行驶的分率，即可得到已经行驶的路程。
【解析】
1. 计算剩余路程占全程的分率：
把全程看作单位“1”，已经行驶了$\frac{2}{5}$，则剩余路程占全程的$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。
2. 计算甲乙两地全程长度：
剩余的225千米对应全程的$\frac{3}{5}$，因此全程长度为$225÷\frac{3}{5}=225×\frac{5}{3}=375$（千米）。
3. 计算已经行驶的路程：
已经行驶的路程是全程的$\frac{2}{5}$，即$375×\frac{2}{5}=150$（千米）。
【答案】
C
【知识点】
1. 分数除法应用题
2. 单位“1”的应用
【点评】
本题属于分数应用的常规题型，核心是找准数量和分率的对应关系，先求出单位“1”的总数量，再求解对应的部分量，熟练掌握对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6.为创建“美丽乡村”，村里要对长860米的主道进行翻修。甲队单独修需要12天完成，乙队单独修需要15天完成。为加快进度，两队合修，多少天可以完成？下面列式正确的是（
A.$(12+15)÷2$
B.$860÷(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15})$
C.$1÷(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15})$
D.$1÷(\dfrac{860}{12}+\dfrac{860}{15})$
C
）。A.$(12+15)÷2$
B.$860÷(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15})$
C.$1÷(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15})$
D.$1÷(\dfrac{860}{12}+\dfrac{860}{15})$
答案
6. C
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时我们优先依据工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率和思考。工程问题中通常可以把总工作量看作单位“1”，不需要用到题干给出的具体长度数值。甲队单独12天完成，说明甲每天能完成总工作量的$\frac{1}{12}$（即甲的工作效率），乙队单独15天完成，乙的工作效率就是$\frac{1}{15}$，两队合作的效率就是两者效率相加，再用总工作量1除以效率和，就能得到合作需要的时间，对照选项即可选出正确答案。
【解析】
我们把主道翻修的总工作量看作单位“1”：
1. 甲队工作效率：$1÷12=\frac{1}{12}$，即甲每天完成总工作量的$\frac{1}{12}$；
2. 乙队工作效率：$1÷15=\frac{1}{15}$，即乙每天完成总工作量的$\frac{1}{15}$；
3. 两队合作的工作效率和为：$\frac{1}{12}+\frac{1}{15}$；
4. 合作所需时间=总工作量÷效率和，即$1÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})$，对应选项C。
其他选项错误原因：
A选项是求两队单独施工时间的平均数，不符合工程问题逻辑，错误；
B选项分子是具体长度860米，分母是分率形式的效率和，单位不匹配，计算逻辑错误；
D选项分母是用具体长度计算的每天修的米数，总工作量应该用860米而不是1，错误。
【答案】
C
【知识点】
工程问题，分数除法应用，工作三量关系
【点评】
本题考查工程问题的基础解法，核心是掌握将工作总量看作单位“1”的常用解题思路，解题时要注意数量的对应关系，避免被题干中多余的具体长度干扰。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程问题，解题时我们优先依据工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率和思考。工程问题中通常可以把总工作量看作单位“1”，不需要用到题干给出的具体长度数值。甲队单独12天完成，说明甲每天能完成总工作量的$\frac{1}{12}$（即甲的工作效率），乙队单独15天完成，乙的工作效率就是$\frac{1}{15}$，两队合作的效率就是两者效率相加，再用总工作量1除以效率和，就能得到合作需要的时间，对照选项即可选出正确答案。
【解析】
我们把主道翻修的总工作量看作单位“1”：
1. 甲队工作效率：$1÷12=\frac{1}{12}$，即甲每天完成总工作量的$\frac{1}{12}$；
2. 乙队工作效率：$1÷15=\frac{1}{15}$，即乙每天完成总工作量的$\frac{1}{15}$；
3. 两队合作的工作效率和为：$\frac{1}{12}+\frac{1}{15}$；
4. 合作所需时间=总工作量÷效率和，即$1÷(\frac{1}{12}+\frac{1}{15})$，对应选项C。
其他选项错误原因：
A选项是求两队单独施工时间的平均数，不符合工程问题逻辑，错误；
B选项分子是具体长度860米，分母是分率形式的效率和，单位不匹配，计算逻辑错误；
D选项分母是用具体长度计算的每天修的米数，总工作量应该用860米而不是1，错误。
【答案】
C
【知识点】
工程问题，分数除法应用，工作三量关系
【点评】
本题考查工程问题的基础解法，核心是掌握将工作总量看作单位“1”的常用解题思路，解题时要注意数量的对应关系，避免被题干中多余的具体长度干扰。
【难度系数】
0.8
