【例1】如图，有一座抛物线形拱桥.在正常水位时，水面宽$AB=20\ \mathrm{m}$；当水位上升$3\ \mathrm{m}$时，水面宽$CD=10\ \mathrm{m}$.
(1)请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式.
(2)当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为8米？
(3)在正常水位情况下，一艘宽为12 m，高2.6 m的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由.

(1) 由题意，设抛物线的解析式为 $y=ax^2(a＜0)$。
∵正常水位时，水面宽$AB=20\ \mathrm{m}$，
∴$A(-10,y_1),B(10,y_1)$，
代入得:$y_1=a· 10^2=100a$。
∵水位上升3 m后，水面宽$CD=10\ \mathrm{m}$，
∴$C(-5,y_2),D(5,y_2),|y_1-y_2|=3$，
代入，得 $y_2=a· 5^2=25a$，
∴$|100a-25a|=3$，
解得$|a|=\frac{1}{25}$。
∵$a＜0$，
∴抛物线的函数解析式为 $y=-\frac{1}{25}x^2$。
(2) 当 $x=10$ 时，$y_1=-\frac{1}{25}× 10^2=-4$，即正常水位在$y=-4$处。
∵水面宽8 m，
∴当 $x=4$ 时，$y=-\frac{1}{25}× 4^2=-\frac{16}{25}$，
∴水位上升高度为 $-\frac{16}{25}-(-4)=\frac{84}{25}(\mathrm{m})$。
(3) 由题意得，正常水位下，船宽12 m，即船的左右边缘在$x=\pm6$处，
∴当 $x=6$ 时，$y=-\frac{1}{25}× 6^2=-1.44$，
∵$1.44\ \mathrm{m}＜2.6\ \mathrm{m}$，
∴船不能安全通过此桥。

【变式】如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8 m，公司计划在大门两侧距地面5 m处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（）

A.$2\sqrt{6}$ m
B.$2\sqrt{5}$ m
C.$2\sqrt{3}$ m
D.4 m

A

【例2】如图，在一次模拟高层建筑物起火救援中，云梯消防车的喷水口A距离地面30 m，距离大楼起火侧面20 m，喷出水柱呈抛物线形，水柱最高处B距离地面45 m，距离大楼起火侧面5 m，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求水柱所对应的抛物线解析式.
(2)若起火楼层的窗户顶端到地面的距离为45 m，窗户底端到地面的距离为43 m，云梯消防车此时所在位置喷出的水能否射进起火窗户内？

(1) 根据题意，得抛物线的顶点坐标为$(5,45)$，且经过点$(20,30)$，
设抛物线的解析式为 $y=a(x-5)^2+45(a≠0)$，
将$(20,30)$代入，得 $a=-\frac{1}{15}$，
∴抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{15}(x-5)^2+45$。
(2) 令 $x=0$，则 $y=-\frac{1}{15}×(0-5)^2+45=43\frac{1}{3}$，
∵$43＜43\frac{1}{3}＜45$，
∴云梯消防车此时所在位置喷出的水能射进起火窗户内。

【变式】第十五届全国运动会会期为2025年11月9日至21日，这是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，也是全运会第一次走进香港、澳门.若在羽毛球小组赛中，某次羽毛球发球的运动路线可以看作抛物线 $y=-\dfrac{1}{5}x^2+\dfrac{3}{2}x+1$ 的一部分（如图），其中发球点A离地面O点的距离是1 m，点O与球网的水平距离为4 m，球网的高度为1.55 m.
(1)请通过计算说明，该次发球能否越过球网？
(2)当该羽毛球过网后，在球离地面的高度为2.8 m时，接球运动员接球成功，求此时羽毛球飞行的水平距离.

(1) 将 $x=4$ 代入 $y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{3}{2}x+1$，
得 $y=-\frac{1}{5}×4^2+\frac{3}{2}×4+1=3.8$，
∵球网的高度为1.55 m，$3.8＞1.55$，
∴该次发球能越过球网。
(2) 将 $y=2.8$ 代入，得 $-\frac{1}{5}x^2+\frac{3}{2}x+1=2.8$，
解得 $x_1=1.5,x_2=6$，
∵点O与球网的水平距离为4 m，当该羽毛球过网后，在球离地面的高度为2.8 m时，接球运动员接球成功，
∴$x=6$，即此时羽毛球飞行的水平距离为6 m。