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学习任务一 单项式
|情境创设|
(1)买单价为2元的圆珠笔m支,共用多少元?
(2)某中学共有学生a人,其中女生占45%,求该中学女生有多少人,男生有多少人.
(3)一辆火车以v km/h的速度匀速行驶了t h,这辆火车行驶的路程是多少千米?
(4)若正方形的边长是a,则该正方形的周长和面积分别是多少?
问题1:请列出上面四个问题的代数式.
问题2:请总结上面代数式的共同点.
|知识梳理|
1.这些代数式都是数或字母的
2.单独的一个
|情境创设|
(1)买单价为2元的圆珠笔m支,共用多少元?
(2)某中学共有学生a人,其中女生占45%,求该中学女生有多少人,男生有多少人.
(3)一辆火车以v km/h的速度匀速行驶了t h,这辆火车行驶的路程是多少千米?
(4)若正方形的边长是a,则该正方形的周长和面积分别是多少?
问题1:请列出上面四个问题的代数式.
问题2:请总结上面代数式的共同点.
|知识梳理|
1.这些代数式都是数或字母的
积
,像这样的代数式叫作单项式.2.单独的一个
数
或一个字母
也是单项式.答案
问题1.(1) 2m
(2) 女生人数为45%a,男生人数为55%a
(3) vt
(4) 周长为4a,面积为a²
问题2. 这些代数式都是数或字母的积.
1. 积
2. 数 字母
(2) 女生人数为45%a,男生人数为55%a
(3) vt
(4) 周长为4a,面积为a²
问题2. 这些代数式都是数或字母的积.
1. 积
2. 数 字母
解析
【分析】
解题可分为两步完成：①解决问题1：结合常见的数量关系（总价=单价×数量、部分量=总量×对应占比、路程=速度×时间、正方形周长和面积公式），把题目中给出的字母代入对应数量关系，即可列出符合要求的代数式；②解决问题2和知识梳理：观察问题1得到的所有代数式的结构，发现它们均只有乘法运算（乘方是相同因数的乘法），没有加减运算，由此总结出代数式的共同点，再对应单项式的定义完成概念填空即可。
【解析】
问题1解答：
(1) 圆珠笔总价=单价×数量，代入数据得：$2 × m = 2m$；
(2) 女生人数=总人数×女生占比，代入得女生人数为$45\% × a = 45\%a$；男生人数=总人数-女生人数，即$a - 45\%a = (1-45\%)a = 55\%a$；
(3) 路程=速度×时间，代入得行驶路程为$v × t = vt$；
(4) 正方形周长=4×边长，得周长为$4 × a = 4a$；正方形面积=边长×边长，得面积为$a × a = a^2$。
问题2解答：
观察列出的代数式$2m、45\%a、55\%a、vt、4a、a^2$，可知它们均是数与字母的乘法运算结果，因此共同点为：都是数或字母的积。
知识梳理填空：
1. 根据上述总结的共同点，结合单项式定义可知，此处填“积”；
2. 根据单项式的补充定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，因此依次填“数”“字母”。
【答案】
问题1.(1) $2m$
(2) 女生人数为$45\%a$，男生人数为$55\%a$
(3) $vt$
(4) 周长为$4a$，面积为$a^2$
问题2. 这些代数式都是数或字母的积
1. 积
2. 数 字母
【知识点】
列代数式；单项式的定义
【点评】
本题从实际生活情境出发，通过列代数式、观察代数式结构的过程，自然生成单项式的核心概念，既考查了基础数量关系的应用，又帮助理解单项式的本质特征，是概念新授课阶段的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解题可分为两步完成：①解决问题1：结合常见的数量关系（总价=单价×数量、部分量=总量×对应占比、路程=速度×时间、正方形周长和面积公式），把题目中给出的字母代入对应数量关系，即可列出符合要求的代数式；②解决问题2和知识梳理：观察问题1得到的所有代数式的结构，发现它们均只有乘法运算（乘方是相同因数的乘法），没有加减运算，由此总结出代数式的共同点，再对应单项式的定义完成概念填空即可。
【解析】
问题1解答：
(1) 圆珠笔总价=单价×数量，代入数据得：$2 × m = 2m$；
(2) 女生人数=总人数×女生占比，代入得女生人数为$45\% × a = 45\%a$；男生人数=总人数-女生人数，即$a - 45\%a = (1-45\%)a = 55\%a$；
(3) 路程=速度×时间，代入得行驶路程为$v × t = vt$；
(4) 正方形周长=4×边长，得周长为$4 × a = 4a$；正方形面积=边长×边长，得面积为$a × a = a^2$。
问题2解答：
观察列出的代数式$2m、45\%a、55\%a、vt、4a、a^2$，可知它们均是数与字母的乘法运算结果，因此共同点为：都是数或字母的积。
知识梳理填空：
1. 根据上述总结的共同点，结合单项式定义可知，此处填“积”；
2. 根据单项式的补充定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，因此依次填“数”“字母”。
【答案】
问题1.(1) $2m$
(2) 女生人数为$45\%a$，男生人数为$55\%a$
(3) $vt$
(4) 周长为$4a$，面积为$a^2$
问题2. 这些代数式都是数或字母的积
1. 积
2. 数 字母
【知识点】
列代数式；单项式的定义
【点评】
本题从实际生活情境出发，通过列代数式、观察代数式结构的过程，自然生成单项式的核心概念，既考查了基础数量关系的应用，又帮助理解单项式的本质特征，是概念新授课阶段的典型基础题。
【难度系数】
0.9
学习任务二 单项式的系数和次数
1.单项式的系数
（1）系数:单项式中的
（2）书写规则:单项式表示数与字母相乘时,通常把
2.单项式的次数
（1）定义:一个单项式中,所有字母的指数的
（2）一般地,我们规定:一个非零的数的次数为
1.单项式的系数
（1）系数:单项式中的
数字因数
叫作这个单项式的系数.（2）书写规则:单项式表示数与字母相乘时,通常把
数
写在前面.单项式的系数是1
或-1
时,1
通常省略不写.2.单项式的次数
（1）定义:一个单项式中,所有字母的指数的
和
叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是n,那么称这个单项式是n次单项式
.（2）一般地,我们规定:一个非零的数的次数为
0
,0没有次数.答案
1.(1) 数字因数
(2) 数 1 -1 1
2.(1) 和 n次单项式
(2) 0
(2) 数 1 -1 1
2.(1) 和 n次单项式
(2) 0
解析
【分析】
本题考查单项式系数、次数的基础概念类内容，解题时只需对应回忆教材中相关的定义、书写规则及特殊规定，逐空匹配内容即可：首先回忆单项式系数的定义，再记清系数的书写规范，接下来回忆单项式次数的定义，最后对应常数项次数的规定就能完成所有填空。
【解析】
1.（1）根据单项式系数的定义，单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，因此此处填数字因数。
（2）按照单项式的书写规则，单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面；当单项式的系数是1或-1时，数字“1”通常省略不写，例如$a$的系数为1，$-mn$的系数为-1，均省略了数字1，因此依次填入对应内容。
2.（1）根据单项式次数的定义，一个单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数；如果一个单项式的次数是$n$，那么称这个单项式是$n$次单项式，因此依次填入对应内容。
（2）按照规定，非零常数不含字母，因此一个非零的数的次数为0，0没有次数，因此此处填0。
【答案】
1.(1) 数字因数
(2) 数；1；-1；1
2.(1) 和；n次单项式
(2) 0
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；单项式书写规范
【点评】
本题是基础概念识记类题目，直接考查整式部分的入门核心概念，难度较低，熟练掌握教材中的相关定义即可正确解答，是后续整式加减、乘除运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式系数、次数的基础概念类内容，解题时只需对应回忆教材中相关的定义、书写规则及特殊规定，逐空匹配内容即可：首先回忆单项式系数的定义，再记清系数的书写规范，接下来回忆单项式次数的定义，最后对应常数项次数的规定就能完成所有填空。
【解析】
1.（1）根据单项式系数的定义，单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数，因此此处填数字因数。
（2）按照单项式的书写规则，单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面；当单项式的系数是1或-1时，数字“1”通常省略不写，例如$a$的系数为1，$-mn$的系数为-1，均省略了数字1，因此依次填入对应内容。
2.（1）根据单项式次数的定义，一个单项式中所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数；如果一个单项式的次数是$n$，那么称这个单项式是$n$次单项式，因此依次填入对应内容。
（2）按照规定，非零常数不含字母，因此一个非零的数的次数为0，0没有次数，因此此处填0。
【答案】
1.(1) 数字因数
(2) 数；1；-1；1
2.(1) 和；n次单项式
(2) 0
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；单项式书写规范
【点评】
本题是基础概念识记类题目，直接考查整式部分的入门核心概念，难度较低，熟练掌握教材中的相关定义即可正确解答，是后续整式加减、乘除运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】下列各式中，哪些是单项式？
①$-13$；②$\frac{2x}{3}$；③$-\frac{8}{5}a^3$；④$2ab - 3c$；⑤$3a + 2b$；⑥$0$；⑦$7t$。
①$-13$；②$\frac{2x}{3}$；③$-\frac{8}{5}a^3$；④$2ab - 3c$；⑤$3a + 2b$；⑥$0$；⑦$7t$。
答案
①. 是单项式
②. 是单项式
③. 是单项式
④. 不是单项式
⑤. 不是单项式
⑥. 是单项式
⑦. 是单项式
根据单项式的定义：由数与字母的乘积组成的代数式，以及单独的一个数、单独的一个字母都属于单项式，含有加减运算的代数式为多项式，不属于单项式。综上，①②③⑥⑦是单项式。
②. 是单项式
③. 是单项式
④. 不是单项式
⑤. 不是单项式
⑥. 是单项式
⑦. 是单项式
根据单项式的定义：由数与字母的乘积组成的代数式，以及单独的一个数、单独的一个字母都属于单项式，含有加减运算的代数式为多项式，不属于单项式。综上，①②③⑥⑦是单项式。
解析
【分析】
要判断给定式子是否为单项式，首先要明确单项式的判定规则：1. 单独的一个数或者单独的一个字母属于单项式；2. 由数与字母的乘积组成的代数式属于单项式；若代数式中含有加法或减法运算，则属于多项式，不属于单项式。解题时只需将每个式子与上述规则逐一比对即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
①$-13$是单独的一个数，符合单项式定义，是单项式；
②$\frac{2x}{3}$可看作$\frac{2}{3}$与$x$的乘积，无加减运算，符合单项式定义，是单项式；
③$-\frac{8}{5}a^3$是$-\frac{8}{5}$与$a^3$的乘积，无加减运算，符合单项式定义，是单项式；
④$2ab - 3c$中含有减法运算，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式；
⑤$3a + 2b$中含有加法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
⑥$0$是单独的一个数，符合单项式定义，是单项式；
⑦$7t$是$7$与$t$的乘积，无加减运算，符合单项式定义，是单项式。
综上，①②③⑥⑦是单项式。
【答案】
①②③⑥⑦是单项式
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 单项式的判定
【点评】
本题核心考查对单项式概念的理解，解题关键是抓住单项式的判定特征，尤其要注意单独的常数（如0）也属于单项式，含有加减运算的代数式一定不是单项式，避免出现漏判或错判。
【难度系数】
0.85
要判断给定式子是否为单项式，首先要明确单项式的判定规则：1. 单独的一个数或者单独的一个字母属于单项式；2. 由数与字母的乘积组成的代数式属于单项式；若代数式中含有加法或减法运算，则属于多项式，不属于单项式。解题时只需将每个式子与上述规则逐一比对即可得出结论。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
①$-13$是单独的一个数，符合单项式定义，是单项式；
②$\frac{2x}{3}$可看作$\frac{2}{3}$与$x$的乘积，无加减运算，符合单项式定义，是单项式；
③$-\frac{8}{5}a^3$是$-\frac{8}{5}$与$a^3$的乘积，无加减运算，符合单项式定义，是单项式；
④$2ab - 3c$中含有减法运算，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式；
⑤$3a + 2b$中含有加法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
⑥$0$是单独的一个数，符合单项式定义，是单项式；
⑦$7t$是$7$与$t$的乘积，无加减运算，符合单项式定义，是单项式。
综上，①②③⑥⑦是单项式。
【答案】
①②③⑥⑦是单项式
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 单项式的判定
【点评】
本题核心考查对单项式概念的理解，解题关键是抓住单项式的判定特征，尤其要注意单独的常数（如0）也属于单项式，含有加减运算的代数式一定不是单项式，避免出现漏判或错判。
【难度系数】
0.85
|思路分析|
思考:判断一个式子是不是单项式,先看它是
不是单独的一个
解:
【规律方法】
判断代数式是否为单项式的方法
(1)前提条件:代数式的分母中不能含有字母(π除外).
(2)观察形式:所给式子必须是数或字母的积的形式.
(3)特殊情况:单独的一个数或一个字母也是单项式.
思考:判断一个式子是不是单项式,先看它是
不是单独的一个
数或字母
,再看它是不是数或字母的积
的形式.若符合上述两条中的一条,则是单项式,否则不是.解:
【规律方法】
判断代数式是否为单项式的方法
(1)前提条件:代数式的分母中不能含有字母(π除外).
(2)观察形式:所给式子必须是数或字母的积的形式.
(3)特殊情况:单独的一个数或一个字母也是单项式.
答案
1. 数或字母
2. 数或字母的积
解：①②③⑥⑦是单项式.
2. 数或字母的积
解：①②③⑥⑦是单项式.
解析
【分析】
本题考查单项式的基础判定规则，解题时先回忆单项式的两类判定标准：第一类是特殊情况，单独的某类代数式也属于单项式；第二类是一般形式，满足特定乘积结构的代数式属于单项式，结合所学概念对应补全空缺内容即可。
【解析】
根据单项式的判定规则：
1. 特殊情况：单独的一个数或者一个字母属于单项式，因此第一个空填“数或字母”；
2. 一般形式：由数或字母的积组成的式子属于单项式，因此第二个空填“数或字母的积”。
【答案】
1. 数或字母
2. 数或字母的积
【知识点】
单项式的定义、单项式的判定
【点评】
本题是对代数基础概念的考查，熟练掌握单项式的判定要点是区分整式类型的基础，也能为后续整式运算的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式的基础判定规则，解题时先回忆单项式的两类判定标准：第一类是特殊情况，单独的某类代数式也属于单项式；第二类是一般形式，满足特定乘积结构的代数式属于单项式，结合所学概念对应补全空缺内容即可。
【解析】
根据单项式的判定规则：
1. 特殊情况：单独的一个数或者一个字母属于单项式，因此第一个空填“数或字母”；
2. 一般形式：由数或字母的积组成的式子属于单项式，因此第二个空填“数或字母的积”。
【答案】
1. 数或字母
2. 数或字母的积
【知识点】
单项式的定义、单项式的判定
【点评】
本题是对代数基础概念的考查，熟练掌握单项式的判定要点是区分整式类型的基础，也能为后续整式运算的学习做好铺垫。
【难度系数】
0.9
