变式训练
1. 在代数式$\frac{ab}{3}, -\frac{2}{3}abc, -5, x-y, \frac{2}{x}, π$中，单项式有（）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1. B

【分析】
解题前首先要明确单项式的判定标准：①由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独的一个数或单独的一个字母也属于单项式；②式子中不能含有加减运算（含加减运算的是多项式）；③分母中不能含有字母（分母含字母的是分式，不属于整式，更不是单项式）。接下来我们逐个判断给出的代数式是否符合上述标准即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析每个代数式：
1. $\frac{ab}{3}$：是$\frac{1}{3}$与$ab$的乘积，符合单项式定义，属于单项式；
2. $-\frac{2}{3}abc$：是$-\frac{2}{3}$与$abc$的乘积，符合单项式定义，属于单项式；
3. $-5$：是单独的常数，符合单项式定义，属于单项式；
4. $x-y$：式子中含有减法运算，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式；
5. $\frac{2}{x}$：分母中含有字母$x$，属于分式，不是单项式；
6. $π$：是固定的常数，属于单独的数，是单项式。
综上，单项式共有4个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的判定
2. 整式的分类
【点评】
本题核心考查对单项式概念的掌握，解题时要注意规避常见误区：不要把π当成字母，不要误将分母含字母的代数式、含加减运算的整式判定为单项式。
【难度系数】
0.7

【例2】指出下列各单项式的系数和次数：
$-\frac{2xy}{3}, -mx, \frac{3ax^2}{2}, 7^{10}xyz^2, 2^7, -π r^2.$
解：
【规律方法】
有关单项式的系数和次数的三个关键点
(1)单项式的系数包括它前面的正负号，且只与数字因数有关.
(2)单项式的次数只与字母有关，且是所有字母的指数的和，与数字的指数无关；当字母的指数是1时省略不写，判断单项式的次数时不要遗漏.
(3)圆周率π是一个常数，当单项式中含有π时，需把它看成系数的组成部分.
变式训练

$-\frac{2xy}{3}$的系数是$-\frac{2}{3}$,次数是2；
$-mx$的系数是$-1$,次数是2；
$\frac{3ax^2}{2}$的系数是$\frac{3}{2}$,次数是3；
$7^{10}xyz^2$的系数是$7^{10}$,次数是4；
$2^7$的系数是$2^7$,次数是0；
$-πr^2$的系数是$-π$,次数是2.

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确单项式系数和次数的判定规则：①单项式的系数是单项式中的数字因数，包含前面的正负号，圆周率π是常数，属于系数的组成部分；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，数字的指数不计入次数，单独的常数不含字母，次数为0。接下来我们逐个拆分每个单项式的数字因数和字母部分，分别计算对应的系数和次数即可。
【解析】
1. 计算$-\frac{2xy}{3}$的系数和次数：数字因数为$-\frac{2}{3}$，即系数为$-\frac{2}{3}$；包含字母x、y，指数均为1，次数为$1+1=2$。
2. 计算$-mx$的系数和次数：数字因数为$-1$，即系数为$-1$；包含字母m、x，指数均为1，次数为$1+1=2$。
3. 计算$\frac{3ax^2}{2}$的系数和次数：数字因数为$\frac{3}{2}$，即系数为$\frac{3}{2}$；包含字母a、x，a的指数为1，x的指数为2，次数为$1+2=3$。
4. 计算$7^{10}xyz^2$的系数和次数：数字因数为$7^{10}$，即系数为$7^{10}$；包含字母x、y、z，x和y的指数均为1，z的指数为2，次数为$1+1+2=4$。
5. 计算$2^7$的系数和次数：它是单独的常数，数字因数为$2^7$即系数为$2^7$，不含字母，所以次数为0。
6. 计算$-π r^2$的系数和次数：π是常数，数字因数为$-π$即系数为$-π$；仅含字母r，指数为2，所以次数为2。
【答案】
$-\frac{2xy}{3}$的系数是$-\frac{2}{3}$,次数是2；
$-mx$的系数是$-1$,次数是2；
$\frac{3ax^2}{2}$的系数是$\frac{3}{2}$,次数是3；
$7^{10}xyz^2$的系数是$7^{10}$,次数是4；
$2^7$的系数是$2^7$,次数是0；
$-πr^2$的系数是$-π$,次数是2.
【知识点】
单项式的系数、单项式的次数、常数的定义
【点评】
本题是单项式相关概念的基础考查题，解题的关键是准确把握系数和次数的判定规则，注意不要遗漏系数的符号、不要将π错认为字母、不要把数字的指数计入次数，掌握这些易错点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

2.填表.

2. 1 -1 $-\dfrac{5}{2}$ $π$ $-2^3$ 1 3 4 3 5

【分析】
要完成本题填表，首先要明确单项式的两个基础概念：1. 单项式的系数：是单项式中的数字因数，单独的字母系数默认为1或-1（数字1省略不写），π属于常数，是系数的一部分；2. 单项式的次数：是单项式中所有字母的指数之和，数字的指数不计入次数，单独字母的次数为1。接下来逐个分析每个单项式即可得到结果。
【解析】
逐个分析每个单项式的系数和次数：
1. 单项式$a$：可改写为$1· a$，数字因数是$1$，因此系数为$1$；仅含字母$a$，指数为$1$，因此次数为$1$。
2. 单项式$-x^2y$：可改写为$-1· x^2y$，数字因数是$-1$，因此系数为$-1$；字母$x$指数为2，字母$y$指数为1，次数为$2+1=3$。
3. 单项式$-\dfrac{5xy^2z}{2}$：数字因数是$-\dfrac{5}{2}$，因此系数为$-\dfrac{5}{2}$；字母$x$指数为1，$y$指数为2，$z$指数为1，次数为$1+2+1=4$。
4. 单项式$π x^2y$：π是常数，数字因数是$π$，因此系数为$π$；字母$x$指数为2，$y$指数为1，次数为$2+1=3$。
5. 单项式$-2^3a^2b^3$：$2^3$是数字部分，数字因数是$-2^3$，因此系数为$-2^3$；字母$a$指数为2，$b$指数为3，次数为$2+3=5$。
因此系数行从左到右依次填：$1$、$-1$、$-\dfrac{5}{2}$、$π$、$-2^3$；次数行从左到右依次填：$1$、$3$、$4$、$3$、$5$。
【答案】
系数：$1$，$-1$，$-\dfrac{5}{2}$，$π$，$-2^3$；次数：$1$，$3$，$4$，$3$，$5$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式概念的基础考查题，解题时要注意规避常见易错点：π是常数不是字母，不要误将其计入字母计算次数；单独字母隐含的系数1不要遗漏；数字本身的指数不计入单项式的次数。
【难度系数】
0.8

【例3】用单项式填空，并指出它们的系数和次数.
(1)某种商品的售价为每袋5.6元,在某个月内销售了$x$袋,则这种商品在该月内的销售收入为元.
(2)一个长方形的长是$a$ cm,宽是7 cm,则这个长方形的面积为cm$^2$.
解:

(1) 5.6x 它的系数是5.6,次数是1.
(2) 7a 它的系数是7,次数是1.

【分析】
解题时先根据实际问题对应的数量关系列出单项式，再结合单项式系数、次数的定义求解即可：①先找数量关系：第(1)题用到“销售收入=单价×销售量”，第(2)题用到“长方形面积=长×宽”，代入对应量列出代数式；②再明确概念：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，根据概念分别确定两个单项式的系数和次数。
【解析】
(1) 由“销售收入=单价×销售量”可得，销售收入为$5.6× x=5.6x$元；
根据单项式系数和次数的定义，$5.6x$的数字因数是5.6，字母$x$的指数为1，因此它的系数是5.6，次数是1。
(2) 由“长方形面积=长×宽”可得，长方形面积为$7× a=7a$ $\mathrm{cm}^2$；
根据单项式系数和次数的定义，$7a$的数字因数是7，字母$a$的指数为1，因此它的系数是7，次数是1。
【答案】
(1) 5.6x 它的系数是5.6,次数是1.
(2) 7a 它的系数是7,次数是1.
【知识点】
列代数式；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题结合生活情境和几何公式考查单项式的相关概念，属于基础题型，熟练掌握常见数量关系和单项式的基本概念是解题的关键。
【难度系数】
0.9