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变式训练
3.用单项式填空，并指出它的系数和次数.
某班有女生$m$名，男生人数是女生的$1\dfrac{1}{4}$倍，
那么该班有男生
知识建构
3.用单项式填空，并指出它的系数和次数.
某班有女生$m$名，男生人数是女生的$1\dfrac{1}{4}$倍，
那么该班有男生
$\dfrac{5}{4}m$
名.知识建构
答案
3. $\dfrac{5}{4}m$，它的系数是$\dfrac{5}{4}$，次数是1。
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的数量关系：男生人数=女生人数×男生人数是女生人数的倍数。首先将带分数$1\dfrac{1}{4}$化为假分数，再乘以女生人数$m$即可得到表示男生人数的单项式；再根据单项式系数、次数的定义：单项式的数字因数为系数，所有字母的指数和为次数，对应计算即可。
【解析】
1. 列表示男生人数的单项式：
先将带分数转化为假分数：$1\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$，
已知女生有$m$名，男生人数是女生的$1\dfrac{1}{4}$倍，因此男生人数为$\dfrac{5}{4}× m=\dfrac{5}{4}m$。
2. 确定系数和次数：
单项式$\dfrac{5}{4}m$中的数字因数是$\dfrac{5}{4}$，因此系数为$\dfrac{5}{4}$；
单项式中仅含有字母$m$，$m$的指数是1，因此次数为1。
【答案】
$\dfrac{5}{4}m$，它的系数是$\dfrac{5}{4}$，次数是1。
【知识点】
1. 用字母表示数
2. 单项式的系数与次数
【点评】
本题属于基础题型，既考查了实际问题中数量关系的表示，也考查了单项式相关的基础概念，需要注意书写单项式时系数如果是带分数要化为假分数，避免出现书写错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理题目中的数量关系：男生人数=女生人数×男生人数是女生人数的倍数。首先将带分数$1\dfrac{1}{4}$化为假分数，再乘以女生人数$m$即可得到表示男生人数的单项式；再根据单项式系数、次数的定义：单项式的数字因数为系数，所有字母的指数和为次数，对应计算即可。
【解析】
1. 列表示男生人数的单项式：
先将带分数转化为假分数：$1\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$，
已知女生有$m$名，男生人数是女生的$1\dfrac{1}{4}$倍，因此男生人数为$\dfrac{5}{4}× m=\dfrac{5}{4}m$。
2. 确定系数和次数：
单项式$\dfrac{5}{4}m$中的数字因数是$\dfrac{5}{4}$，因此系数为$\dfrac{5}{4}$；
单项式中仅含有字母$m$，$m$的指数是1，因此次数为1。
【答案】
$\dfrac{5}{4}m$，它的系数是$\dfrac{5}{4}$，次数是1。
【知识点】
1. 用字母表示数
2. 单项式的系数与次数
【点评】
本题属于基础题型，既考查了实际问题中数量关系的表示，也考查了单项式相关的基础概念，需要注意书写单项式时系数如果是带分数要化为假分数，避免出现书写错误。
【难度系数】
0.9
1. 下列单项式书写不规范的有 （
①$3\frac{1}{2}a^2b$；②$2x^1y^2$；③$-\frac{3}{2}x^2$；④$-1a^2b$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$3\frac{1}{2}a^2b$；②$2x^1y^2$；③$-\frac{3}{2}x^2$；④$-1a^2b$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. C
解析
【分析】
要判断单项式书写是否规范，首先要明确单项式的书写规则：1. 系数为带分数时，需将带分数化为假分数；2. 字母的指数为1时，1要省略不写；3. 系数为1或-1时，1要省略不写。接下来逐个对照规则判断每个单项式是否规范，统计不规范的数量即可选出正确答案。
【解析】
我们依次分析每个单项式：
① $3\frac{1}{2}a^2b$：系数是带分数，不符合书写规范，应化为假分数$\frac{7}{2}a^2b$，故①书写不规范；
② $2x^1y^2$：x的指数为1，按规则应省略1，正确写法为$2xy^2$，故②书写不规范；
③ $-\frac{3}{2}x^2$：系数为假分数，字母指数书写符合要求，属于规范书写；
④ $-1a^2b$：系数为-1，按规则应省略1，正确写法为$-a^2b$，故④书写不规范。
综上，书写不规范的共有3个。
【答案】
C
【知识点】
单项式书写规范
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对单项式书写规则的掌握，牢记相关书写要求即可快速判断，这类规则也是后续整式运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要判断单项式书写是否规范，首先要明确单项式的书写规则：1. 系数为带分数时，需将带分数化为假分数；2. 字母的指数为1时，1要省略不写；3. 系数为1或-1时，1要省略不写。接下来逐个对照规则判断每个单项式是否规范，统计不规范的数量即可选出正确答案。
【解析】
我们依次分析每个单项式：
① $3\frac{1}{2}a^2b$：系数是带分数，不符合书写规范，应化为假分数$\frac{7}{2}a^2b$，故①书写不规范；
② $2x^1y^2$：x的指数为1，按规则应省略1，正确写法为$2xy^2$，故②书写不规范；
③ $-\frac{3}{2}x^2$：系数为假分数，字母指数书写符合要求，属于规范书写；
④ $-1a^2b$：系数为-1，按规则应省略1，正确写法为$-a^2b$，故④书写不规范。
综上，书写不规范的共有3个。
【答案】
C
【知识点】
单项式书写规范
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查对单项式书写规则的掌握，牢记相关书写要求即可快速判断，这类规则也是后续整式运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
2.下列关于单项式$-\dfrac{3x^2y}{5}$的说法中，正确的是（
A.系数是$-\dfrac{3}{5}$，次数是3
B.系数是$-\dfrac{3}{5}$，次数是2
C.系数是－3，次数是3
D.系数是－3，次数是2
A
）A.系数是$-\dfrac{3}{5}$，次数是3
B.系数是$-\dfrac{3}{5}$，次数是2
C.系数是－3，次数是3
D.系数是－3，次数是2
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确单项式系数和次数的定义，分两步推导：第一步找系数，单项式的数字因数就是系数，要注意包含数字前的符号；第二步算次数，单项式中所有字母的指数和就是次数，单个字母的指数为1，不要漏算。得出系数和次数后再匹配选项即可。
【解析】
先求单项式$-\dfrac{3x^2y}{5}$的系数：该单项式的数字因数为$-\dfrac{3}{5}$，因此系数是$-\dfrac{3}{5}$；
再求单项式的次数：单项式包含字母x和y，x的指数是2，y的指数是1，所有字母的指数和为$2+1=3$，因此次数是3。
对比选项，只有A项表述正确。
【答案】
A
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是准确记忆单项式的相关定义，解题时要注意不要遗漏系数的负号，也不要漏算指数为1的字母的次数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确单项式系数和次数的定义，分两步推导：第一步找系数，单项式的数字因数就是系数，要注意包含数字前的符号；第二步算次数，单项式中所有字母的指数和就是次数，单个字母的指数为1，不要漏算。得出系数和次数后再匹配选项即可。
【解析】
先求单项式$-\dfrac{3x^2y}{5}$的系数：该单项式的数字因数为$-\dfrac{3}{5}$，因此系数是$-\dfrac{3}{5}$；
再求单项式的次数：单项式包含字母x和y，x的指数是2，y的指数是1，所有字母的指数和为$2+1=3$，因此次数是3。
对比选项，只有A项表述正确。
【答案】
A
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是准确记忆单项式的相关定义，解题时要注意不要遗漏系数的负号，也不要漏算指数为1的字母的次数。
【难度系数】
0.8
3.下列结论正确的是 （
A.8是单项式，它的次数是1
B.π不是单项式
C.$a+1$是单项式
D.$-\dfrac{3a^2b^3c}{5}$是六次单项式，它的系数是$-\dfrac{3}{5}$
D
）A.8是单项式，它的次数是1
B.π不是单项式
C.$a+1$是单项式
D.$-\dfrac{3a^2b^3c}{5}$是六次单项式，它的系数是$-\dfrac{3}{5}$
答案
3. D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确单项式、单项式的系数、单项式的次数的核心概念：①由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；②单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；③一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单独的非零常数的次数为0。解题时我们逐个将选项对应上述概念判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：8是单独的常数，属于单项式，但是单独的非零常数的次数为0，不是1，因此A错误；
B选项：π是固定的常数，属于单独的数，符合单项式的定义，是单项式，因此B错误；
C选项：$a+1$含有加法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，因此C错误；
D选项：$-\dfrac{3a^2b^3c}{5}$的数字因数是$-\dfrac{3}{5}$，即系数为$-\dfrac{3}{5}$；所有字母的指数和为$2+3+1=6$，因此是六次单项式，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是对单项式基础概念的考查，解题的关键是牢记相关定义，尤其要注意π属于常数、单独的非零常数次数为0、含有加减运算的整式不是单项式这几个易错点。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确单项式、单项式的系数、单项式的次数的核心概念：①由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；②单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；③一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单独的非零常数的次数为0。解题时我们逐个将选项对应上述概念判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：8是单独的常数，属于单项式，但是单独的非零常数的次数为0，不是1，因此A错误；
B选项：π是固定的常数，属于单独的数，符合单项式的定义，是单项式，因此B错误；
C选项：$a+1$含有加法运算，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，因此C错误；
D选项：$-\dfrac{3a^2b^3c}{5}$的数字因数是$-\dfrac{3}{5}$，即系数为$-\dfrac{3}{5}$；所有字母的指数和为$2+3+1=6$，因此是六次单项式，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的定义；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是对单项式基础概念的考查，解题的关键是牢记相关定义，尤其要注意π属于常数、单独的非零常数次数为0、含有加减运算的整式不是单项式这几个易错点。
【难度系数】
0.8
4.用单项式填空，并指出它的系数和次数.
学校购买了一批图书，共$a$箱，每箱$b$册，若将这批图书的一半捐给社区，则捐给社区的图书为
学校购买了一批图书，共$a$箱，每箱$b$册，若将这批图书的一半捐给社区，则捐给社区的图书为
$\frac{1}{2}ab$
册.答案
4. 解:$\frac{1}{2}ab$ 它的系数是$\frac{1}{2}$,次数是 2.
解析
【分析】
解题时首先计算这批图书的总册数，总册数等于箱数乘以每箱的册数，得到总册数为ab册；再求总册数的一半，即可得到捐给社区的图书数量。之后根据单项式系数和次数的定义判断：单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，据此得出对应的系数和次数即可。
【解析】
第一步：计算图书总册数：共有a箱，每箱b册，总册数为$a× b = ab$册；
第二步：计算捐给社区的图书数量：捐出总数量的一半，即$\frac{1}{2}× ab=\frac{1}{2}ab$册；
第三步：判断单项式$\frac{1}{2}ab$的系数和次数：数字因数是$\frac{1}{2}$，所以系数为$\frac{1}{2}$；字母a的指数是1，字母b的指数是1，次数为$1+1=2$。
【答案】
$\frac{1}{2}ab$，系数是$\frac{1}{2}$，次数是2。
【知识点】
1.列代数式 2.单项式的系数 3.单项式的次数
【点评】
本题属于基础题型，既考查了根据实际问题列代数式的能力，又考查了单项式系数和次数的基础定义，熟练掌握相关概念是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先计算这批图书的总册数，总册数等于箱数乘以每箱的册数，得到总册数为ab册；再求总册数的一半，即可得到捐给社区的图书数量。之后根据单项式系数和次数的定义判断：单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和，据此得出对应的系数和次数即可。
【解析】
第一步：计算图书总册数：共有a箱，每箱b册，总册数为$a× b = ab$册；
第二步：计算捐给社区的图书数量：捐出总数量的一半，即$\frac{1}{2}× ab=\frac{1}{2}ab$册；
第三步：判断单项式$\frac{1}{2}ab$的系数和次数：数字因数是$\frac{1}{2}$，所以系数为$\frac{1}{2}$；字母a的指数是1，字母b的指数是1，次数为$1+1=2$。
【答案】
$\frac{1}{2}ab$，系数是$\frac{1}{2}$，次数是2。
【知识点】
1.列代数式 2.单项式的系数 3.单项式的次数
【点评】
本题属于基础题型，既考查了根据实际问题列代数式的能力，又考查了单项式系数和次数的基础定义，熟练掌握相关概念是解题的关键。
【难度系数】
0.9
5.下列各式中，哪些是单项式？请指出单项式的系数和次数.
$\frac{3}{7}x, -\frac{9}{4}a^2, \frac{3x^2}{m}, a, 4x+6, x^2 - y, -16.$
$\frac{3}{7}x, -\frac{9}{4}a^2, \frac{3x^2}{m}, a, 4x+6, x^2 - y, -16.$
答案
5. 解:$\frac{3}{7}x,-\frac{9}{4}a^2,a,-16$ 是单项式.
$\frac{3}{7}x$ 的系数是$\frac{3}{7}$,次数是 1;
$-\frac{9}{4}a^2$ 的系数是$-\frac{9}{4}$,次数是 2;
$a$ 的系数是 1, 次数是 1;
$-16$ 的系数是$-16$, 次数是 0.
$\frac{3}{7}x$ 的系数是$\frac{3}{7}$,次数是 1;
$-\frac{9}{4}a^2$ 的系数是$-\frac{9}{4}$,次数是 2;
$a$ 的系数是 1, 次数是 1;
$-16$ 的系数是$-16$, 次数是 0.
解析
【分析】
解题时首先要明确单项式的判定依据：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；注意如果式子含有加减运算，或者分母中含有字母，都不属于单项式。筛选出所有单项式后，再根据定义确定每个单项式的系数和次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，单独的常数项次数为0，单独的字母的系数为1。按照这个思路逐一判断、计算即可。
【解析】
第一步：逐个判断式子是否为单项式：
① $\frac{3}{7}x$是数与字母的乘积，是单项式；
② $-\frac{9}{4}a^2$是数与字母的乘积，是单项式；
③ $\frac{3x^2}{m}$的分母含有字母，属于分式，不是单项式；
④ $a$是单独的字母，是单项式；
⑤ $4x+6$含有加法运算，是多项式，不是单项式；
⑥ $x^2-y$含有减法运算，是多项式，不是单项式；
⑦ $-16$是单独的数，是单项式。
第二步：分别确定各单项式的系数和次数：
$\frac{3}{7}x$的数字因数为$\frac{3}{7}$，故系数是$\frac{3}{7}$；仅含字母$x$，指数为1，故次数是1；
$-\frac{9}{4}a^2$的数字因数为$-\frac{9}{4}$，故系数是$-\frac{9}{4}$；仅含字母$a$，指数为2，故次数是2；
$a$可看作$1· a$，数字因数为1，故系数是1；字母$a$的指数为1，故次数是1；
$-16$是常数，数字因数为它本身，故系数是$-16$；不含字母，故次数是0。
【答案】
$\frac{3}{7}x,-\frac{9}{4}a^2,a,-16$ 是单项式.
$\frac{3}{7}x$ 的系数是$\frac{3}{7}$,次数是 1;
$-\frac{9}{4}a^2$ 的系数是$-\frac{9}{4}$,次数是 2;
$a$ 的系数是 1, 次数是 1;
$-16$ 的系数是$-16$, 次数是 0.
【知识点】
单项式的判定；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题考查单项式的基础概念，解题的关键是准确掌握单项式的判定标准，以及系数、次数的计算规则，注意不要忽略系数的符号，同时牢记常数项的次数为0，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确单项式的判定依据：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；注意如果式子含有加减运算，或者分母中含有字母，都不属于单项式。筛选出所有单项式后，再根据定义确定每个单项式的系数和次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，单独的常数项次数为0，单独的字母的系数为1。按照这个思路逐一判断、计算即可。
【解析】
第一步：逐个判断式子是否为单项式：
① $\frac{3}{7}x$是数与字母的乘积，是单项式；
② $-\frac{9}{4}a^2$是数与字母的乘积，是单项式；
③ $\frac{3x^2}{m}$的分母含有字母，属于分式，不是单项式；
④ $a$是单独的字母，是单项式；
⑤ $4x+6$含有加法运算，是多项式，不是单项式；
⑥ $x^2-y$含有减法运算，是多项式，不是单项式；
⑦ $-16$是单独的数，是单项式。
第二步：分别确定各单项式的系数和次数：
$\frac{3}{7}x$的数字因数为$\frac{3}{7}$，故系数是$\frac{3}{7}$；仅含字母$x$，指数为1，故次数是1；
$-\frac{9}{4}a^2$的数字因数为$-\frac{9}{4}$，故系数是$-\frac{9}{4}$；仅含字母$a$，指数为2，故次数是2；
$a$可看作$1· a$，数字因数为1，故系数是1；字母$a$的指数为1，故次数是1；
$-16$是常数，数字因数为它本身，故系数是$-16$；不含字母，故次数是0。
【答案】
$\frac{3}{7}x,-\frac{9}{4}a^2,a,-16$ 是单项式.
$\frac{3}{7}x$ 的系数是$\frac{3}{7}$,次数是 1;
$-\frac{9}{4}a^2$ 的系数是$-\frac{9}{4}$,次数是 2;
$a$ 的系数是 1, 次数是 1;
$-16$ 的系数是$-16$, 次数是 0.
【知识点】
单项式的判定；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题考查单项式的基础概念，解题的关键是准确掌握单项式的判定标准，以及系数、次数的计算规则，注意不要忽略系数的符号，同时牢记常数项的次数为0，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
