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【例3】若$a+2b-1=0$，则$3a+6b$的值是
3
。答案
3
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式和待求代数式的结构关系：已知等式含有$a+2b$，待求式$3a+6b$可以提取公因式3转化为$3(a+2b)$，因此不需要分别求解$a$、$b$的具体值，只需先从已知等式求出$a+2b$的值，再整体代入变形后的待求式计算即可。
【解析】
解：已知$a + 2b - 1 = 0$，
移项可得：$a + 2b = 1$，
对待求式变形提取公因式得：$3a + 6b = 3(a + 2b)$，
将$a + 2b = 1$代入上式得：$3×1 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
代数式求值、整体代入法、提公因式因式分解
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考察整体代入的数学思想，解题关键是发现待求代数式与已知等式中含未知数部分的倍数关系，通过变形实现整体代入，避免无意义的单个未知数求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式和待求代数式的结构关系：已知等式含有$a+2b$，待求式$3a+6b$可以提取公因式3转化为$3(a+2b)$，因此不需要分别求解$a$、$b$的具体值，只需先从已知等式求出$a+2b$的值，再整体代入变形后的待求式计算即可。
【解析】
解：已知$a + 2b - 1 = 0$，
移项可得：$a + 2b = 1$，
对待求式变形提取公因式得：$3a + 6b = 3(a + 2b)$，
将$a + 2b = 1$代入上式得：$3×1 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
代数式求值、整体代入法、提公因式因式分解
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考察整体代入的数学思想，解题关键是发现待求代数式与已知等式中含未知数部分的倍数关系，通过变形实现整体代入，避免无意义的单个未知数求解。
【难度系数】
0.8
【例4】当$a=2,b=-1$时,求下列代数式的值.
(1)$(a^2+2b)(a-b)$; (2)$a^2+3ab+2b^2$.
(1)$(a^2+2b)(a-b)$; (2)$a^2+3ab+2b^2$.
答案
解:(1)6. (2)0.
解析
【分析】
本题是代数式求值类基础题，解题思路为：首先明确已知字母a、b的取值，再将数值分别代入两个代数式中，按照有理数的运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的部分）逐步计算即可，注意代入负数时要加括号，避免出现符号错误。
【解析】
解：将$a=2$，$b=-1$分别代入两个代数式计算：
(1) 计算$(a^2+2b)(a-b)$：
先算括号内的部分：
$a^2+2b=2^2+2×(-1)=4-2=2$，
$a-b=2-(-1)=2+1=3$，
因此原式$=2×3=6$。
(2) 计算$a^2+3ab+2b^2$：
原式$=2^2+3×2×(-1)+2×(-1)^2$
$=4-6+2×1$
$=4-6+2$
$=0$。
【答案】
(1)6；(2)0
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的常规题型，难度较低，解题的关键是注意负数代入时的符号处理，严格按照运算顺序计算即可，是巩固基础运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.9
本题是代数式求值类基础题，解题思路为：首先明确已知字母a、b的取值，再将数值分别代入两个代数式中，按照有理数的运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的部分）逐步计算即可，注意代入负数时要加括号，避免出现符号错误。
【解析】
解：将$a=2$，$b=-1$分别代入两个代数式计算：
(1) 计算$(a^2+2b)(a-b)$：
先算括号内的部分：
$a^2+2b=2^2+2×(-1)=4-2=2$，
$a-b=2-(-1)=2+1=3$，
因此原式$=2×3=6$。
(2) 计算$a^2+3ab+2b^2$：
原式$=2^2+3×2×(-1)+2×(-1)^2$
$=4-6+2×1$
$=4-6+2$
$=0$。
【答案】
(1)6；(2)0
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的常规题型，难度较低，解题的关键是注意负数代入时的符号处理，严格按照运算顺序计算即可，是巩固基础运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.9
【例5】如图所示，某长方形广场的四角都有一块半径相同的扇形草地，若扇形的半径为$ r $ m，长方形长为$ a $ m，宽为$ b $ m.
(1)请用代数式表示空地的面积；
(2)若长方形长为300 m，宽为200 m，扇形的半径为10 m，求广场空地的面积(计算结果保留$ π $).
(1)请用代数式表示空地的面积；
(2)若长方形长为300 m，宽为200 m，扇形的半径为10 m，求广场空地的面积(计算结果保留$ π $).
答案
1. $(ab−πr^2)\mathrm{m}^2$ 2. $(60\ 000−100π)\mathrm{m}^2$
解析
【分析】
解题思路：(1)要求空地面积，需明确空地面积=长方形广场总面积减去四块扇形草地的总面积。观察四块扇形草地，半径均相同，且每个扇形的圆心角都是90°，四块拼合后恰好是一个完整的圆形，因此只需计算长方形面积和整圆面积作差即可列出代数式。(2)第二问属于代数式求值，直接将对应数值代入第一问得到的代数式，按运算规则计算即可，注意结果保留π的要求。
【解析】
(1) 首先计算长方形广场的面积：长方形面积=长×宽，即$S_{\mathrm{长方形}}=ab\ \mathrm{m}^2$。
四块扇形草地的圆心角均为90°，半径均为$r$，4个圆心角90°的扇形拼接后为1个完整的圆，因此四块草地总面积等于半径为$r$的圆的面积，即$S_{\mathrm{草地}}=π r^2\ \mathrm{m}^2$。
因此空地面积为：$S_{\mathrm{空地}}=S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{草地}}=(ab - π r^2)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 将$a=300$，$b=200$，$r=10$代入$ab - π r^2$得：
原式$=300×200 - π×10^2=60000 - 100π$，即广场空地面积为$(60000 - 100π)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
1. $(ab−πr^2)\mathrm{m}^2$ 2. $(60\ 000−100π)\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算、圆的面积计算、代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积的常规考题，解题关键是运用转化思想，将分散的四个扇形拼接为整圆简化计算，同时要掌握代数式的列式规范和代入求值的运算规则，审题时注意结果是否需要保留π的要求。
【难度系数】
0.8
解题思路：(1)要求空地面积，需明确空地面积=长方形广场总面积减去四块扇形草地的总面积。观察四块扇形草地，半径均相同，且每个扇形的圆心角都是90°，四块拼合后恰好是一个完整的圆形，因此只需计算长方形面积和整圆面积作差即可列出代数式。(2)第二问属于代数式求值，直接将对应数值代入第一问得到的代数式，按运算规则计算即可，注意结果保留π的要求。
【解析】
(1) 首先计算长方形广场的面积：长方形面积=长×宽，即$S_{\mathrm{长方形}}=ab\ \mathrm{m}^2$。
四块扇形草地的圆心角均为90°，半径均为$r$，4个圆心角90°的扇形拼接后为1个完整的圆，因此四块草地总面积等于半径为$r$的圆的面积，即$S_{\mathrm{草地}}=π r^2\ \mathrm{m}^2$。
因此空地面积为：$S_{\mathrm{空地}}=S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{草地}}=(ab - π r^2)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 将$a=300$，$b=200$，$r=10$代入$ab - π r^2$得：
原式$=300×200 - π×10^2=60000 - 100π$，即广场空地面积为$(60000 - 100π)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
1. $(ab−πr^2)\mathrm{m}^2$ 2. $(60\ 000−100π)\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算、圆的面积计算、代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积的常规考题，解题关键是运用转化思想，将分散的四个扇形拼接为整圆简化计算，同时要掌握代数式的列式规范和代入求值的运算规则，审题时注意结果是否需要保留π的要求。
【难度系数】
0.8
【例1】如果$a+b=5$，那么$(a+b)^2 -4(a+b)=$
5
答案
5
解析
【分析】
本题已知$a+b$的整体数值，待求的代数式中均以$(a+b)$为整体出现，因此不需要分别求解$a$、$b$的数值，直接使用整体代入法，将$a+b=5$代入待求式，再按照有理数的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
已知$a+b=5$，将其整体代入代数式$(a+b)^2 -4(a+b)$中：
$\begin{aligned}原式&=5^2 - 4×5\\&=25 - 20\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题是基础的代数式求值类题目，核心考查整体代入的解题思路，避免拆分计算单个未知数的值可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
本题已知$a+b$的整体数值，待求的代数式中均以$(a+b)$为整体出现，因此不需要分别求解$a$、$b$的数值，直接使用整体代入法，将$a+b=5$代入待求式，再按照有理数的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
已知$a+b=5$，将其整体代入代数式$(a+b)^2 -4(a+b)$中：
$\begin{aligned}原式&=5^2 - 4×5\\&=25 - 20\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
代数式求值、整体代入思想
【点评】
本题是基础的代数式求值类题目，核心考查整体代入的解题思路，避免拆分计算单个未知数的值可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
【例2】若$x^2 + 2x - 1 = 0$，则$3x^2 + 6x - 2$的值是
1
。答案
1
解析
【分析】
解题时先观察已知等式和所求代数式的结构特征，发现所求代数式中的二次项、一次项部分（$3x^2+6x$）是已知等式中二次项、一次项部分（$x^2+2x$）的3倍，因此不需要求出$x$的具体值，可先通过等式变形得到$x^2+2x$的值，再将其整体代入所求代数式计算即可，这种方法比求解未知数更简便，也符合当前学段的知识要求。
【解析】
已知$x^2 + 2x - 1 = 0$，对等式移项可得：
$x^2 + 2x = 1$
观察所求代数式$3x^2 + 6x - 2$，提取公因数3变形得：
$3x^2 + 6x - 2 = 3(x^2 + 2x) - 2$
将$x^2 + 2x = 1$代入上式：
$3×1 - 2 = 3 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；整体代入法；等式的基本性质
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是找到已知条件和所求代数式之间的倍数关系，通过整体代入简化计算，避免无意义的复杂运算。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式和所求代数式的结构特征，发现所求代数式中的二次项、一次项部分（$3x^2+6x$）是已知等式中二次项、一次项部分（$x^2+2x$）的3倍，因此不需要求出$x$的具体值，可先通过等式变形得到$x^2+2x$的值，再将其整体代入所求代数式计算即可，这种方法比求解未知数更简便，也符合当前学段的知识要求。
【解析】
已知$x^2 + 2x - 1 = 0$，对等式移项可得：
$x^2 + 2x = 1$
观察所求代数式$3x^2 + 6x - 2$，提取公因数3变形得：
$3x^2 + 6x - 2 = 3(x^2 + 2x) - 2$
将$x^2 + 2x = 1$代入上式：
$3×1 - 2 = 3 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；整体代入法；等式的基本性质
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体代入的数学思想，解题关键是找到已知条件和所求代数式之间的倍数关系，通过整体代入简化计算，避免无意义的复杂运算。
【难度系数】
0.8
【例3】如图，某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示(单位:m)。
(1)求阴影部分的面积(用含$x$的代数式表示)；
(2)当$x=9$时，求阴影部分的面积($π$取3)。
(1)求阴影部分的面积(用含$x$的代数式表示)；
(2)当$x=9$时，求阴影部分的面积($π$取3)。
答案
(1) $S_{阴影}=(6x - 20 - \frac{9π}{2})\mathrm{m}^2$.
(2) $\frac{41}{2}\ \mathrm{m}^2$.
(2) $\frac{41}{2}\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
求解阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：阴影部分为两个长方形面积之和减去空白半圆形花圃的面积。第一步先计算两个长方形的总面积，再计算空白半圆的面积，二者作差即可得到含x的阴影面积代数式；第二问将x=9、π=3代入第一问得到的代数式计算即可。
首先确定各部分尺寸：半圆直径为4+2=6m，因此半径为3m；下方长方形长为(x-2)m、宽为2m，上方长方形长为(x-2-2)=(x-4)m、宽为4m。
【解析】
(1) 计算两个长方形的面积之和：
下方长方形面积：$2(x-2)$
上方长方形面积：$4(x-2-2)=4(x-4)$
总面积和为：
$\begin{aligned}2(x-2)+4(x-4)&=2x-4+4x-16\\&=6x-20\end{aligned}$
再计算空白半圆的面积：
半圆半径$r=(4+2)÷2=3\mathrm{m}$，面积为$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×3^2=\frac{9π}{2}$
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=长方形总面积 - 半圆面积=6x-20-\frac{9π}{2}$
(2) 当$x=9$，$π=3$时，代入上述代数式：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=6×9 -20 -\frac{9×3}{2}\\&=54-20-\frac{27}{2}\\&=34-\frac{27}{2}\\&=\frac{41}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $S_{阴影}=(6x - 20 - \frac{9π}{2})\mathrm{m}^2$
(2) $\frac{41}{2}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心是掌握“整体减空白”的割补思路，能准确识别图形各部分尺寸并列式计算，代入求值时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
求解阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：阴影部分为两个长方形面积之和减去空白半圆形花圃的面积。第一步先计算两个长方形的总面积，再计算空白半圆的面积，二者作差即可得到含x的阴影面积代数式；第二问将x=9、π=3代入第一问得到的代数式计算即可。
首先确定各部分尺寸：半圆直径为4+2=6m，因此半径为3m；下方长方形长为(x-2)m、宽为2m，上方长方形长为(x-2-2)=(x-4)m、宽为4m。
【解析】
(1) 计算两个长方形的面积之和：
下方长方形面积：$2(x-2)$
上方长方形面积：$4(x-2-2)=4(x-4)$
总面积和为：
$\begin{aligned}2(x-2)+4(x-4)&=2x-4+4x-16\\&=6x-20\end{aligned}$
再计算空白半圆的面积：
半圆半径$r=(4+2)÷2=3\mathrm{m}$，面积为$\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×3^2=\frac{9π}{2}$
因此阴影部分面积：
$S_{阴影}=长方形总面积 - 半圆面积=6x-20-\frac{9π}{2}$
(2) 当$x=9$，$π=3$时，代入上述代数式：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=6×9 -20 -\frac{9×3}{2}\\&=54-20-\frac{27}{2}\\&=34-\frac{27}{2}\\&=\frac{41}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $S_{阴影}=(6x - 20 - \frac{9π}{2})\mathrm{m}^2$
(2) $\frac{41}{2}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，核心是掌握“整体减空白”的割补思路，能准确识别图形各部分尺寸并列式计算，代入求值时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
