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【变式2】如图，已知直线$a// b// c$，直线$m$分别与直线$a,b,c$交于点$A,B,C$，直线$n$分别与直线$a,b,c$交于点$D,E,F$。若$DE=6$，$EF=8$，则$\frac{BC}{AC}$的值为（
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$
D
）A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$
答案
D
解析
【分析】
看到题目给出三条平行直线被两条直线所截的图形，首先联想到平行线分线段成比例定理。解题时首先计算截线n上的总线段长DF=DE+EF，再根据定理找到所求的$\frac{BC}{AC}$对应的比例关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because a// b// c$，直线m、n分别被直线a、b、c所截，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$。
已知$DE=6$，$EF=8$，
$\therefore DF=DE+EF=6+8=14$，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确识别对应线段，避免因对应关系混淆出错，熟练掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
看到题目给出三条平行直线被两条直线所截的图形，首先联想到平行线分线段成比例定理。解题时首先计算截线n上的总线段长DF=DE+EF，再根据定理找到所求的$\frac{BC}{AC}$对应的比例关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because a// b// c$，直线m、n分别被直线a、b、c所截，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}$。
已知$DE=6$，$EF=8$，
$\therefore DF=DE+EF=6+8=14$，
$\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确识别对应线段，避免因对应关系混淆出错，熟练掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【例1】(2025哈尔滨期末)如图，$AB// CD// EF$，$AF$与$BE$相交于点$G$，且$AG=2$，$GD=1$，$DF=5$，那么$\frac{BC}{CE}$的值为 （
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$2$
D.$\frac{3}{5}$
D
）A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$2$
D.$\frac{3}{5}$
答案
D
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，首先观察图形可知三条平行线AB、CD、EF截两条直线AF、BE，所得对应线段成比例。第一步先计算线段AD的长度，第二步找到与BC、CE对应的成比例线段，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知AG=2，GD=1，因此$AD = AG + GD = 2 + 1 = 3$。
∵ $AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$。
又
∵ $DF=5$，将$AD=3$，$DF=5$代入得：$\frac{BC}{CE}=\frac{3}{5}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握平行线分线段成比例定理，解题时注意准确识别对应成比例的线段，避免因线段对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，首先观察图形可知三条平行线AB、CD、EF截两条直线AF、BE，所得对应线段成比例。第一步先计算线段AD的长度，第二步找到与BC、CE对应的成比例线段，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：已知AG=2，GD=1，因此$AD = AG + GD = 2 + 1 = 3$。
∵ $AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$。
又
∵ $DF=5$，将$AD=3$，$DF=5$代入得：$\frac{BC}{CE}=\frac{3}{5}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握平行线分线段成比例定理，解题时注意准确识别对应成比例的线段，避免因线段对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025衡阳期中)如图，AB//CD//EF，若AC=5，CE=10，DF=8，则BD的长为（
A.7
B.6
C.5
D.4
D
）A.7
B.6
C.5
D.4
答案
D
解析
【分析】
当题目中出现多条平行线被两条直线所截的图形时，首先联想到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先找到两条截线被平行线截得的对应线段：左侧截线的线段AC、CE分别对应右侧截线的线段BD、DF，据此列出比例式，代入已知数值即可求解BD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD//EF
∴根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$
已知AC=5，CE=10，DF=8，代入比例式得：
$\frac{5}{10}=\frac{BD}{8}$
化简得：$\frac{1}{2}=\frac{BD}{8}$
解得：$BD=4$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的核心是准确识别对应线段，避免对应关系混淆，只要熟练掌握定理内容就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
当题目中出现多条平行线被两条直线所截的图形时，首先联想到平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先找到两条截线被平行线截得的对应线段：左侧截线的线段AC、CE分别对应右侧截线的线段BD、DF，据此列出比例式，代入已知数值即可求解BD的长度。
【解析】
解：
∵AB//CD//EF
∴根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$
已知AC=5，CE=10，DF=8，代入比例式得：
$\frac{5}{10}=\frac{BD}{8}$
化简得：$\frac{1}{2}=\frac{BD}{8}$
解得：$BD=4$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的核心是准确识别对应线段，避免对应关系混淆，只要熟练掌握定理内容就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
【例2】(2025娄底期中)如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE//BC,EF//AB,则下列结论正确的是（
A.$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AC}$
B.$\frac{AD}{AB}=\frac{CF}{BC}$
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}$
D.$\frac{AD}{BD}=\frac{CF}{BF}$
方法技巧（1）在定理和推论中,比例式中涉及的线段都在两条被截的直线上,而不是在平行线上的线段.
（2）基本事实和推论中的“对应”是指两条线段在图形中的位置关系是一致的,如$\frac{上}{下}=\frac{上}{下},\frac{上}{全}=\frac{上}{全}$……
C
）A.$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AC}$
B.$\frac{AD}{AB}=\frac{CF}{BC}$
C.$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}$
D.$\frac{AD}{BD}=\frac{CF}{BF}$
方法技巧（1）在定理和推论中,比例式中涉及的线段都在两条被截的直线上,而不是在平行线上的线段.
（2）基本事实和推论中的“对应”是指两条线段在图形中的位置关系是一致的,如$\frac{上}{下}=\frac{上}{下},\frac{上}{全}=\frac{上}{全}$……
答案
C
解析
【分析】
解题时先根据已知的两组平行条件，结合平行线分线段成比例的推论，得到各对应线段的比例关系，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得到相等的线段，最后逐一验证每个选项的比例式是否成立即可。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，因此A选项$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AC}$不成立，排除A；
又
∵$EF// AB$，同理可得：
$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$，$\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$；
同时
∵$DE// BC$，$EF// AB$，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴$DE=BF$，$BD=EF$。
验证剩余选项：
B选项：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$，仅当E为AC中点时两者相等，一般情况不成立，排除B；
C选项：
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}$，该式成立；
D选项：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{BF}{CF}≠\frac{CF}{BF}$，排除D。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是找准平行线截得的对应线段，注意比例式中线段的对应关系，必要时结合平行四边形的性质做线段的等量代换即可快速判断。
【难度系数】
0.7
解题时先根据已知的两组平行条件，结合平行线分线段成比例的推论，得到各对应线段的比例关系，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得到相等的线段，最后逐一验证每个选项的比例式是否成立即可。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，因此A选项$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AC}$不成立，排除A；
又
∵$EF// AB$，同理可得：
$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$，$\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$；
同时
∵$DE// BC$，$EF// AB$，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴$DE=BF$，$BD=EF$。
验证剩余选项：
B选项：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{CF}{BC}=\frac{CE}{AC}$，仅当E为AC中点时两者相等，一般情况不成立，排除B；
C选项：
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BF}{BC}$，该式成立；
D选项：$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{CF}{BF}=\frac{CE}{AE}$，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{BF}{CF}≠\frac{CF}{BF}$，排除D。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是找准平行线截得的对应线段，注意比例式中线段的对应关系，必要时结合平行四边形的性质做线段的等量代换即可快速判断。
【难度系数】
0.7
【变式1】如图，在$△ ABC$中，已知$DE// BC$，若$AD=3$，$DB=6$，$AE=2$，则$AC$的长是
（
A.4
B.9
C.6
D.8
（
C
）A.4
B.9
C.6
D.8
答案
C
解析
【分析】
首先观察图形条件，已知DE平行于BC，可联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。我们可以先通过该比例关系求出EC的长度，再结合AC=AE+EC的线段和差关系，即可求出AC的总长。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
将$AD=3$，$DB=6$，$AE=2$代入比例式：
$\frac{3}{6}=\frac{2}{EC}$
交叉相乘计算得：$3EC=12$，解得$EC=4$
$\therefore AC=AE+EC=2+4=6$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时要找准对应的成比例线段，注意题目所求为AC的总长，避免仅算出EC就误选答案的粗心问题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形条件，已知DE平行于BC，可联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。我们可以先通过该比例关系求出EC的长度，再结合AC=AE+EC的线段和差关系，即可求出AC的总长。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
将$AD=3$，$DB=6$，$AE=2$代入比例式：
$\frac{3}{6}=\frac{2}{EC}$
交叉相乘计算得：$3EC=12$，解得$EC=4$
$\therefore AC=AE+EC=2+4=6$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时要找准对应的成比例线段，注意题目所求为AC的总长，避免仅算出EC就误选答案的粗心问题。
【难度系数】
0.8
【变式2】如图，$AB// CD$，AC与BD相交于点O. 若$AO=3$，$BO=6$，$CO=2$，则BD的长为（
A.4
B.10
C.11
D.12
B
）A.4
B.10
C.11
D.12
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据AB平行CD的条件，可得到两组内错角相等，由此证明△OAB与△OCD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AO、CO、BO的长度求出OD的长；最后BD的长度等于BO与OD的和，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）
∴△OAB∽△OCD（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$
将AO=3，BO=6，CO=2代入上式：
$\frac{3}{2}=\frac{6}{DO}$
解得$DO=4$
∴$BD=BO+DO=6+4=10$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是通过平行线的性质得到角相等，进而证明三角形相似，再利用相似的性质求解未知线段长度，掌握平行线判定三角形相似的方法是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据AB平行CD的条件，可得到两组内错角相等，由此证明△OAB与△OCD相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AO、CO、BO的长度求出OD的长；最后BD的长度等于BO与OD的和，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）
∴△OAB∽△OCD（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$
将AO=3，BO=6，CO=2代入上式：
$\frac{3}{2}=\frac{6}{DO}$
解得$DO=4$
∴$BD=BO+DO=6+4=10$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是通过平行线的性质得到角相等，进而证明三角形相似，再利用相似的性质求解未知线段长度，掌握平行线判定三角形相似的方法是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7
